Фактор Лоренца - Lorentz factor

Фактор Лоренца или Лоренц термин является величиной выразить , насколько измерения времени, длиной и других изменений физических свойств для объекта в то время как объект двигается. Выражение появляется в нескольких уравнениях специальной теории относительности и возникает при выводе преобразований Лоренца . Название происходит от его более раннего появления в лоренцевой электродинамике - в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Обычно обозначается $γ$ (греческая строчная буква гамма ). Иногда (особенно при обсуждении сверхсветового движения ) коэффициент записывается как $Γ$ (греческий верхний регистр-гамма), а не $γ$ .

Определение

Фактор Лоренца $γ$ определяется как

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}} = {\ frac {1} {\ sqrt { 1- \ beta ^ {2}}}} = {\ frac {dt} {d \ tau}}}

,

куда:

v - относительная скорость между инерциальными системами отсчета,
c - скорость света в вакууме ,
$β$ - отношение v к c ,
t - координатное время ,
$τ$ - собственное время для наблюдателя (измерение временных интервалов в собственной системе отсчета наблюдателя).

Это наиболее часто используемая форма на практике, хотя и не единственная (альтернативные формы см. Ниже).

Чтобы дополнить определение, некоторые авторы определяют взаимное

{\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {\ gamma}} = {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ = {\ sqrt { 1 - {\ beta} ^ {2}}};}

см. формулу сложения скорости .

Вхождение

Ниже приводится список формул из специальной теории относительности, в которых $γ$ используется в качестве сокращения:

Преобразование Лоренца : простейший случай - усиление в x- направлении (более общие формы, включая произвольные направления и вращения, не перечисленные здесь), которое описывает, как координаты пространства-времени меняются от одной инерциальной системы отсчета с использованием координат ( x , y , z , t ) к другому ( x ′ , y ′ , z ′ , t ′ ) с относительной скоростью v : ${\ displaystyle t '= \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right),}$ ${\ displaystyle x '= \ gamma \ left (x-vt \ right).}$

Следствием вышеуказанных преобразований являются результаты:

Замедление времени : время (∆ t ' ) между двумя тактами, измеренное в кадре, в котором движутся часы, больше, чем время (∆ t ) между этими тактами, измеренное в кадре покоя часов: ${\ Displaystyle \ Delta t '= \ gamma \ Delta t.}$
Сокращение длины : длина (∆ x ' ) объекта, измеренная в кадре, в котором он движется, меньше его длины (∆ x ) в его собственной системе покоя: ${\ Displaystyle \ Delta x '= \ Delta x / \ gamma.}$

Применение сохранения в импульсах и энергии приводит к этим результатам:

Релятивистская масса : масса м объекта в движении зависит оти массы покоя м ₀ : ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle m = \ gamma m_ {0}.}$
Релятивистский импульс : соотношениерелятивистского импульса принимает ту же форму, что и для классического импульса, но с использованием указанной выше релятивистской массы: ${\ displaystyle {\ vec {p}} = m {\ vec {v}} = \ gamma m_ {0} {\ vec {v}}.}$
Релятивистская кинетическая энергия : соотношениерелятивистской кинетической энергии принимает слегка измененную форму: ${\ displaystyle E_ {k} = E-E_ {0} = (\ gamma -1) m_ {0} c ^ {2}}$ Как функция от , нерелятивистский предел дает , как и ожидалось из ньютоновских соображений. ${\ displaystyle \ gamma}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {v} {c}}}$ ${\ textstyle \ lim _ {c \ to \ infty} E_ {k} = {\ tfrac {1} {2}} m_ {0} v ^ {2}}$

Числовые значения

Фактор Лоренца

γ

как функция скорости. Его начальное значение - 1 (когда v = 0); и по мере приближения скорости к скорости света ( v → c )

γ неограниченно

возрастает (

γ

→ ∞).

α (обратный фактор Лоренца) как функция скорости - дуга окружности.

В приведенной ниже таблице в левом столбце показаны скорости в виде различных долей скорости света (то есть в единицах c ). В среднем столбце показан соответствующий фактор Лоренца, в последнем - обратный. Значения, выделенные жирным шрифтом, являются точными.

Скорость (единицы c), ${\ Displaystyle \ бета = v / c}$	Фактор Лоренца, ${\ displaystyle \ gamma}$	Взаимный, ${\ displaystyle 1 / \ gamma}$
0,000	1.000	1.000
0,050	1,001	0,999
0,100	1,005	0,995
0,150	1.011	0,989
0.200	1.021	0,980
0,250	1.033	0,968
0,300	1.048	0,954
0,400	1.091	0,917
0,500	1,155	0,866
0,600	1,250	0,800
0,700	1,400	0,714
0,750	1,512	0,661
0,800	1,667	0,600
0,866	2.000	0,500
0,900	2,294	0,436
0,990	7,089	0,141
0,999	22,366	0,045
0,99995	100.00	0,010

Альтернативные представления

Есть и другие способы записать коэффициент. Выше использовалась скорость v , но также могут быть удобны связанные переменные, такие как импульс и скорость .

Импульс

Решение предыдущего уравнения релятивистского импульса для $γ$ приводит к

{\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {p} {m_ {0} c}} \ right) ^ {2}}}}

.

Эта форма используется редко, хотя она присутствует в распределении Максвелла – Юттнера .

Быстрота

Применяя определение скорости как гиперболический угол : ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ tanh \ varphi = \ beta}

также приводит к $γ$ (с помощью гиперболических тождеств ):

{\ displaystyle \ gamma = \ cos \ varphi = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ varphi}}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}}.}

Используя свойство преобразования Лоренца , можно показать, что скорость аддитивна, а это полезное свойство, которым скорость не обладает. Таким образом, параметр быстроты образует однопараметрическую группу , основу для физических моделей.

Расширение серии (скорость)

Фактор Лоренца имеет ряд Маклорена :

{\ displaystyle {\ begin {align} \ gamma & = {\ dfrac {1} {\ sqrt {1- \ beta ^ {2}}}} \\ & = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty } \ beta ^ {2n} \ prod _ {k = 1} ^ {n} \ left ({\ dfrac {2k-1} {2k}} \ right) \\ & = 1 + {\ tfrac {1} { 2}} \ beta ^ {2} + {\ tfrac {3} {8}} \ beta ^ {4} + {\ tfrac {5} {16}} \ beta ^ {6} + {\ tfrac {35} {128}} \ beta ^ {8} + {\ tfrac {63} {256}} \ beta ^ {10} + \ cdots, \\\ конец {выровнено}}}

который является частным случаем биномиального ряда .

Приближение $γ$ ≈ 1 +1/2 $β$ ² можно использовать для расчета релятивистских эффектов на низких скоростях. Он выдерживает ошибку в пределах 1% для v <0,4 c ( v <120 000 км / с) и с погрешностью 0,1% для v <0,22 c ( v <66 000 км / с).

Урезанные версии этой серии также позволяют физикам доказать, что специальная теория относительности сводится к ньютоновской механике на малых скоростях. Например, в специальной теории относительности выполняются следующие два уравнения:

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ vec {p}} & = \ gamma m {\ vec {v}}, \\ E & = \ gamma mc ^ {2}. \ end {выравнивается}}}

Для $γ$ ≈ 1 и $γ$ ≈ 1 +1/2 $β$ ² , соответственно, они сводятся к своим ньютоновским эквивалентам:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {p} & = m \ mathbf {v}, \\ E & = mc ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}. \ конец {выровнен}}}

Уравнение фактора Лоренца также может быть обращено, чтобы получить

{\ displaystyle \ beta = {\ sqrt {1 - {\ frac {1} {\ gamma ^ {2}}}}}.}

Это имеет асимптотику

{\ displaystyle \ beta = 1 - {\ tfrac {1} {2}} \ gamma ^ {- 2} - {\ tfrac {1} {8}} \ gamma ^ {- 4} - {\ tfrac {1} {16}} \ gamma ^ {- 6} - {\ tfrac {5} {128}} \ gamma ^ {- 8} + \ cdots}

.

Первые два члена иногда используются для быстрого вычисления скоростей по большим значениям $γ$ . Приближение $β$ ≈ 1 -1/2 $γ$ ⁻² выдерживается с точностью до 1% для $γ$ > 2 и с точностью до 0,1% для $γ$ > 3.5.

Приложения в астрономии

Стандартная модель длительных гамма-всплесков (GRB) утверждает, что эти взрывы являются ультрарелятивистскими (начальное значение больше примерно 100), что используется для объяснения так называемой проблемы «компактности»: отсутствие этого ультрарелятивистского расширения , выбросы будут оптически толстыми для образования пар при типичных пиковых спектральных энергиях в несколько 100 кэВ, тогда как быстрое излучение наблюдается нетепловым. ${\ displaystyle \ gamma}$

Субатомные частицы, называемые мюонами, движутся с такой скоростью, что имеют относительно высокий фактор Лоренца и, следовательно, испытывают сильное замедление времени . Например, мюоны обычно имеют среднее время жизни около2,2 мкс, что означает, что мюоны, генерируемые в результате столкновений космических лучей на высоте примерно 10 км в атмосфере, не должны обнаруживаться на земле из-за скорости их распада. Однако было обнаружено, что ~ 10% мюонов все еще обнаруживаются на поверхности, тем самым доказывая, что для обнаружения у них скорость распада замедлена относительно нашей инерциальной системы отсчета.

Смотрите также

использованная литература

внешние ссылки

Меррифилд, Майкл. «γ - фактор Лоренца (и замедление времени)» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .
Меррифилд, Майкл. «γ2 - Гамма-перезагрузка» . Шестьдесят символов . Brady Харан для Ноттингемского университета .

Languages

In other projects