Уменьшение длины - Length contraction

Колеса, которые движутся со скоростью 9/10 скорости света. Скорость верхней части колеса составляет 0,994 c, а скорость нижней части всегда равна нулю. Вот почему верх сужен относительно низа.

Сокращение длины - это явление, при котором длина движущегося объекта, измеренная, чтобы быть короче его надлежащей длины , которая является длиной, измеренной в собственной раме покоя объекта . Это также известно как сжатие Лоренца или сокращение Лоренца – Фитцджеральда (после Хендрика Лоренца и Джорджа Фрэнсиса Фицджеральда ) и обычно заметно только при значительной части скорости света . Сокращение длины происходит только в том направлении, в котором движется тело. Для стандартных объектов этот эффект незначителен при повседневных скоростях и может игнорироваться для всех обычных целей, становясь значимым только тогда, когда объект приближается к скорости света относительно наблюдателя.

История

Сокращение длины было постулировано Джорджем Фитцджеральдом (1889) и Хендриком Антуном Лоренцем (1892) для объяснения отрицательного результата эксперимента Майкельсона-Морли и для спасения гипотезы о неподвижном эфире ( гипотеза сокращения Лоренца-Фитцджеральда ). Хотя и Фитцджеральд, и Лоренц ссылались на тот факт, что электростатические поля в движении были деформированы («Эллипсоид Хевисайда» в честь Оливера Хевисайда , который вывел эту деформацию из электромагнитной теории в 1888 году), это считалось специальной гипотезой , потому что в то время не было достаточным основанием предполагать, что межмолекулярные силы ведут себя так же, как электромагнитные. В 1897 году Джозеф Лармор разработал модель, в которой считается, что все силы имеют электромагнитное происхождение, и сокращение длины оказалось прямым следствием этой модели. Тем не менее, Анри Пуанкаре (1905) показал, что электромагнитные силы сами по себе не могут объяснить стабильность электрона. Поэтому ему пришлось выдвинуть другую специальную гипотезу: неэлектрические связывающие силы ( напряжения Пуанкаре ), которые обеспечивают стабильность электрона, дают динамическое объяснение сокращению длины и, таким образом, скрывают движение неподвижного эфира.

В конце концов, Альберт Эйнштейн (1905) был первым, кто полностью исключил случайный характер из гипотезы сжатия, продемонстрировав, что это сжатие не требует движения через предполагаемый эфир, но может быть объяснено с помощью специальной теории относительности , которая изменила представления о пространстве. , время и одновременность. Точка зрения Эйнштейна была развита Германом Минковским , который продемонстрировал геометрическую интерпретацию всех релятивистских эффектов, представив свою концепцию четырехмерного пространства - времени .

Основа теории относительности

В специальной теории относительности наблюдатель измеряет события по бесконечной решетке синхронизированных часов.

В первую очередь необходимо тщательно продумать методы измерения длины покоящихся и движущихся объектов. Здесь «объект» просто означает расстояние с конечными точками, которые всегда взаимно неподвижны, т. Е. Покоятся в одной и той же инерциальной системе отсчета . Если относительная скорость между наблюдателем (или его измерительными приборами) и наблюдаемым объектом равна нулю, то правильная длина объекта может быть просто определена путем прямого наложения измерительного стержня. Однако если относительная скорость> 0, то можно поступить следующим образом: ${\ displaystyle L_ {0}}$

Сокращение длины : три синих стержня покоятся в S и три красных стержня в S '. В момент, когда левые концы A и D достигают одинакового положения на оси x, длины стержней сравнивают. В S одновременные положения левой стороны A и правой стороны C более отдалены, чем позиции D и F. В то время как в S 'одновременные положения левой стороны D и правой стороны F более отдалены, чем те из A и C.

Наблюдатель устанавливает ряд часов, которые синхронизируются: а) путем обмена световыми сигналами в соответствии с синхронизацией Пуанкаре-Эйнштейна , или б) за счет «медленной транспортировки часов», то есть одни часы перемещаются вдоль ряда часов в пределе. в нуль скорости транспорта. Теперь, когда процесс синхронизации завершен, объект перемещается по строке часов, и каждые часы сохраняют точное время, когда проходит левый или правый конец объекта. После этого, наблюдатель имеет только взглянуть на позицию часов А, сохранившее время , когда левый конец объекта проходившего мимо, и часы B , в которой правый конец объекта проходил мимо в то же время . Понятно, что расстояние AB равно длине движущегося объекта. Используя этот метод, определение одновременности имеет решающее значение для измерения длины движущихся объектов. ${\ displaystyle L}$

Другой метод - использовать часы, показывающие собственное время , которое движется от одной конечной точки стержня к другому во времени, измеряемом часами на опорной раме стержня. Длину стержня можно вычислить, умножив время его прохождения на его скорость, таким образом, в системе покоя стержня или в рамке покоя часов. ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle L_ {0} = Т \ cdot v}$ ${\ Displaystyle L = T_ {0} \ cdot v}$

В механике Ньютона одновременность и продолжительность времени абсолютны, и поэтому оба метода приводят к равенству и . Однако в теории относительности постоянство скорости света во всех инерциальных системах отсчета в сочетании с относительностью одновременности и замедления времени разрушает это равенство. В первом методе наблюдатель в одной формуле изобретения кадра, измерили конечные точки объекта одновременно, но наблюдатели во всех других инерциальных будут утверждать , что конечные точки объекта были не измерены одновременно. Во втором методе времена и не равны из-за замедления времени, что также приводит к разной длине. ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$

Отклонение между измерениями во всех инерциальных системах отсчета дается формулами для преобразования Лоренца и замедления времени (см. Вывод ). Оказывается, что правильная длина остается неизменной и всегда обозначает наибольшую длину объекта, а длина того же объекта, измеренная в другой инерциальной системе отсчета, короче, чем правильная длина. Это сокращение происходит только вдоль линии движения и может быть представлено соотношением

{\ Displaystyle L = {\ гидроразрыва {1} {\ gamma (v)}} L_ {0}}

куда

$L$ - длина, наблюдаемая наблюдателем в движении относительно объекта.
$L 0$ - правильная длина (длина объекта в его опорной раме)
γ ( v ) - фактор Лоренца , определяемый как

${\ Displaystyle \ гамма (v) \ экв {\ гидроразрыва {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}}$
${\ Displaystyle \ гамма (v) \ экв {\ гидроразрыва {1} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}}$
куда
- $v$ - относительная скорость между наблюдателем и движущимся объектом
- $c$ - скорость света

Замена фактора Лоренца в исходной формуле приводит к соотношению

{\ displaystyle L = L_ {0} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}

В этом уравнении L и L ₀ измеряются параллельно линии движения объекта. Для наблюдателя, находящегося в относительном движении, длина объекта измеряется путем вычитания одновременно измеренных расстояний до обоих концов объекта. Для более общих преобразований см. Преобразования Лоренца . Наблюдатель в состоянии покоя, наблюдающий за объектом, движущимся со скоростью, очень близкой к скорости света, заметил бы, что длина объекта в направлении движения очень близка к нулю.

Затем со скоростью 13 400 000 м / с (30 миллионов миль / ч, 0,0447 $c$ ) длина по контракту составляет 99,9% длины в состоянии покоя; со скоростью42 300 000 м / с (95 млн миль / ч, 0,141 $с$ ), длина все еще составляет 99%. Когда величина скорости приближается к скорости света, эффект становится заметным.

Симметрия

Принцип относительности (согласно которому законы природы инвариантны во всех инерциальных системах отсчета) требует, чтобы сокращение длины было симметричным: если стержень находится в инерциальной системе отсчета S, его собственная длина равна S, а его длина сокращается в S '. . Однако, если стержень лежит в S ', он имеет свою собственную длину в S', а его длина сокращается в S. Это можно наглядно проиллюстрировать с помощью симметричных диаграмм Минковского , поскольку преобразование Лоренца геометрически соответствует вращению в четырехмерном пространстве - времени. .

Магнитные силы

Магнитные силы вызываются релятивистским сжатием, когда электроны движутся относительно ядер атомов. Магнитная сила, действующая на движущийся заряд рядом с проводом с током, является результатом релятивистского движения между электронами и протонами.

В 1820 году Андре-Мари Ампер показал, что параллельные провода, имеющие токи в одном направлении, притягиваются друг к другу. Для электронов проволока слегка сжимается, в результате чего протоны противоположной проволоки становятся локально более плотными . Поскольку электроны в противоположном проводе также движутся, они не сжимаются (так сильно). Это приводит к очевидному локальному дисбалансу между электронами и протонами; движущиеся электроны в одном проводе притягиваются к дополнительным протонам в другом. Можно также рассмотреть обратное. В системе отсчета статического протона электроны движутся и сжимаются, что приводит к тому же дисбалансу. Скорость дрейфа электронов относительно очень мала, порядка метра в час, но сила между электроном и протоном настолько огромна, что даже на этой очень низкой скорости релятивистское сжатие вызывает значительные эффекты.

Этот эффект также применим к магнитным частицам без тока, при этом ток заменяется спином электрона.

Экспериментальные проверки

Любой наблюдатель, движущийся вместе с наблюдаемым объектом, не может измерить сжатие объекта, потому что он может судить о себе и объекте как о неподвижном в одной и той же инерциальной системе отсчета в соответствии с принципом относительности (как это было продемонстрировано экспериментом Траутона – Ренкина ) . Таким образом, сокращение длины нельзя измерить в кадре покоя объекта, а только в кадре, в котором наблюдаемый объект находится в движении. Кроме того, даже в такой несовместимой системе координат трудно получить прямые экспериментальные подтверждения сокращения длины, потому что при нынешнем состоянии технологий объекты значительной протяженности не могут быть ускорены до релятивистских скоростей. И единственные объекты, движущиеся с необходимой скоростью, - это атомные частицы, но их пространственные размеры слишком малы для прямого измерения сжатия.

Однако есть косвенные подтверждения этого эффекта в несопровождающейся системе отсчета:

Это был отрицательный результат известного эксперимента, потребовавшего введения сокращения длины: эксперимента Майкельсона-Морли (а позже и эксперимента Кеннеди-Торндайка ). В специальной теории относительности это объясняется следующим образом: в системе покоя интерферометр можно рассматривать как покоящийся в соответствии с принципом относительности, поэтому время распространения света одинаково во всех направлениях. Хотя в кадре, в котором интерферометр находится в движении, поперечный луч должен пройти более длинный диагональный путь по отношению к неподвижному кадру, таким образом увеличивая время его прохождения, фактор, на который продольный луч будет задерживаться, принимая время L / ( c - v ) и L / ( c + v ) для прямого и обратного отключения соответственно еще длиннее. Следовательно, в продольном направлении интерферометр должен быть сжат, чтобы восстановить равенство обоих времен пробега в соответствии с отрицательным результатом (ами) эксперимента. Таким образом, двусторонняя скорость света остается постоянной, а время прохождения туда и обратно вдоль перпендикулярных плеч интерферометра не зависит от его движения и ориентации.
Учитывая толщину атмосферы, измеренную в системе отсчета Земли, чрезвычайно короткая продолжительность жизни мюонов не должна позволять им совершать путешествие на поверхность даже со скоростью света, но тем не менее они это делают. Однако с точки зрения земной системы отсчета это стало возможным только благодаря замедлению времени мюона из-за замедления времени . Однако в системе отсчета мюона эффект объясняется сжатием атмосферы, сокращающим время путешествия.
Тяжелые ионы , которые в состоянии покоя имеют сферическую форму, должны принимать форму «блинов» или плоских дисков при движении почти со скоростью света. Фактически, результаты, полученные при столкновении частиц, могут быть объяснены только с учетом увеличения плотности нуклонов из-за сокращения длины.
Ионизации способность электрически заряженных частиц с большими относительными скоростями выше , чем ожидалось. В дорелятивистской физике способность должна уменьшаться при высоких скоростях, потому что время, в течение которого движущиеся ионизирующие частицы могут взаимодействовать с электронами других атомов или молекул, уменьшается. Хотя в теории относительности более высокая, чем ожидалось, способность к ионизации может быть объяснена сокращением длины кулоновского поля в кадрах, в которых движутся ионизирующие частицы, что увеличивает напряженность их электрического поля перпендикулярно линии движения.
В синхротронах и лазерах на свободных электронах релятивистские электроны инжектировались в ондулятор , так что генерировалось синхротронное излучение . В правильной системе отсчета электронов ондулятор сжимается, что приводит к увеличению частоты излучения. Кроме того, чтобы узнать частоту, измеренную в лабораторной системе отсчета, необходимо применить релятивистский эффект Доплера . Итак, только с помощью сокращения длины и релятивистского эффекта Доплера можно объяснить чрезвычайно малую длину волны ондуляторного излучения.

Реальность сокращения длины

Диаграмма Минковского мысленного эксперимента Эйнштейна 1911 года по сокращению длины. Два стержня с опорной длиной перемещаются на 0,6c в противоположных направлениях, в результате чего .

{\ displaystyle A'B '= A''B' '= L_ {0}}

{\ displaystyle A ^ {\ ast} B ^ {\ ast} <L_ {0}}

В 1911 году Владимир Варичак утверждал, что, по словам Лоренца, сокращение длины воспринимается объективно, в то время как, по мнению Эйнштейна, это «всего лишь кажущееся субъективное явление, вызванное способом регулирования наших часов и измерением длины». Эйнштейн опубликовал опровержение:

Автор необоснованно заявил о различии взглядов Лоренца и моего взгляда на физические факты . Вопрос о том, действительно ли существует сокращение длины, вводит в заблуждение. Его «на самом деле» не существует, поскольку он не существует для сопутствующего наблюдателя; хотя он «действительно» существует, то есть таким образом, что в принципе может быть продемонстрирован физическими средствами сторонним наблюдателем.

- Альберт Эйнштейн, 1911 г.

Эйнштейн также утверждал в этой статье, что сокращение длины - это не просто продукт произвольных определений, касающихся способа измерения часов и измерения длины. Он представил следующий мысленный эксперимент: Пусть A'B 'и A "B" будут концами двух стержней одинаковой длины L ₀ , измеренных на x' и x "соответственно. Пусть они движутся в противоположных направлениях вдоль x * ось, рассматриваемая в состоянии покоя, имеет одинаковую скорость по отношению к ней. Конечные точки A'A "затем встречаются в точке A *, а B'B" встречаются в точке B *. Эйнштейн указал, что длина A * B * короче чем A'B 'или A "B", что также можно продемонстрировать, приведя один из стержней в состояние покоя относительно этой оси.

Парадоксы

Из-за поверхностного применения формулы сокращения могут возникнуть парадоксы. Примерами являются лестница парадокс и Парадокс Белла . Однако эти парадоксы могут быть разрешены правильным применением теории относительности одновременности. Другой известный парадокс - парадокс Эренфеста , который доказывает, что концепция твердых тел несовместима с теорией относительности, уменьшая применимость жесткости Борна и показывая, что для совместно вращающегося наблюдателя геометрия на самом деле неевклидова .

Визуальные эффекты

Формула на стене в Лейдене, Нидерланды. Лоренц был заведующим кафедрой теоретической физики в Лейденском университете 1877-1910 гг.

Сокращение длины относится к измерениям положения, выполненным одновременно в соответствии с системой координат. Это может означать, что если бы можно было сфотографировать быстро движущийся объект, то изображение показало бы объект, сжатый в направлении движения. Однако такие визуальные эффекты представляют собой совершенно разные измерения, поскольку такая фотография делается на расстоянии, в то время как сокращение длины можно непосредственно измерить только в точном местоположении конечных точек объекта. Несколько авторов, таких как Роджер Пенроуз и Джеймс Террелл, показали, что движущиеся объекты на фотографии обычно не выглядят сжатыми по длине. Этот результат популяризировал Виктор Вайскопф в статье Physics Today. Например, при небольшом угловом диаметре движущаяся сфера остается круглой и вращается. Такой эффект визуального вращения называется вращением Пенроуза-Террелла.

Вывод

Сокращение длины можно получить несколькими способами:

Известная длина перемещения

В инерциальной системе отсчета S, и должен обозначать конечные точки объекта, движущегося в этом кадре. Там его длина была измерена в соответствии с указанным выше соглашением путем определения одновременных положений его конечных точек в . Теперь правильная длина этого объекта в S 'должна быть вычислена с использованием преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из S в S 'приводит к разным временам, но это не проблематично, поскольку объект находится в состоянии покоя в S', где не имеет значения, когда измеряются конечные точки. Следовательно, достаточно преобразования пространственных координат, что дает: ${\ displaystyle x_ {1}}$ ${\ displaystyle x_ {2}}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$

{\ displaystyle x '_ {1} = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) \ quad {\ text {and}} \ quad x' _ {2} = \ gamma \ left ( x_ {2} -vt_ {2} \ right)}

Поскольку , и путем установки и , правильная длина в S 'определяется выражением ${\ displaystyle t_ {1} = t_ {2}}$ ${\ displaystyle L = x_ {2} -x_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {0} ^ {'} = x_ {2} ^ {'} - x_ {1} ^ {'}}$

{\ displaystyle L_ {0} ^ {'} = L \ cdot \ gamma.}

( 1 )

относительно которого измеренная длина в S сокращается на

{\ displaystyle L = L_ {0} ^ {'} / \ gamma.}

( 2 )

Согласно принципу относительности, объекты, покоящиеся в S, также должны сжиматься в S '. Симметрично меняя местами указанные выше знаки и штрихи, получаем:

{\ displaystyle L_ {0} = L '\ cdot \ gamma.}

( 3 )

Таким образом, сокращенная длина, измеренная в S ', определяется как:

{\ displaystyle L '= L_ {0} / \ gamma.}

( 4 )

Известная правильная длина

И наоборот, если объект лежит в S и его правильная длина известна, одновременность измерений в конечных точках объекта должна учитываться в другом кадре S ', поскольку объект постоянно меняет свое положение там. Следовательно, необходимо преобразовать как пространственные, так и временные координаты:

{\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} ^ {'} & = \ gamma \ left (x_ {1} -vt_ {1} \ right) & \ quad \ mathrm {and} \ quad && x_ {2} ^ {'} & = \ gamma \ left (x_ {2} -vt_ {2} \ right) \\ t_ {1} ^ {'} & = \ gamma \ left (t_ {1} -vx_ {1} / c ^ {2} \ right) & \ quad \ mathrm {and} \ quad && t_ {2} ^ {'} & = \ gamma \ left (t_ {2} -vx_ {2} / c ^ {2} \ right ) \ конец {выровнено}}}

Вычисляя интервал длины, а также предполагая одновременное измерение времени и вставляя нужную длину , получаем: ${\ displaystyle \ Delta x '= x_ {2} ^ {\ prime} -x_ {1} ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle \ Delta t '= t_ {2} ^ {\ prime} -t_ {1} ^ {\ prime} = 0}$ ${\ displaystyle L_ {0} = x_ {2} -x_ {1}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Delta x '& = \ gamma \ left (L_ {0} -v \ Delta t \ right) & (1) \\\ Delta t' & = \ gamma \ left (\ Дельта t - {\ frac {vL_ {0}} {c ^ {2}}} \ right) = 0 & (2) \ end {align}}}

Уравнение (2) дает

{\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {vL_ {0}} {c ^ {2}}}}

который при подключении к (1) демонстрирует, что становится сокращенной длиной : ${\ displaystyle \ Delta x '}$ ${\ displaystyle L '}$

{\ Displaystyle L '= L_ {0} / \ gamma}

.

Точно так же тот же метод дает симметричный результат для объекта, покоящегося в S ':

{\ Displaystyle L = L_ {0} ^ {'} / \ gamma}

.

Использование замедления времени

Сокращение длины также может быть получено из замедления времени , согласно которому скорость одиночных «движущихся» часов (указывающих свое собственное время ) ниже по сравнению с двумя синхронизированными «покоящимися» часами (показывающими ). Замедление времени было экспериментально подтверждено несколько раз и представлено соотношением: ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle T}$

{\ Displaystyle Т = Т_ {0} \ cdot \ gamma}

Предположим, что стержень соответствующей длины в состоянии покоя и часы в состоянии покоя движутся друг относительно друга со скоростью . Поскольку, согласно принципу относительности, величина относительной скорости одинакова в любой системе отсчета, соответствующие времена пробега часов между концами стержня задаются как in и in , таким образом и . Если вставить формулу замедления времени, соотношение между этими длинами будет: ${\ displaystyle L_ {0}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle T = L_ {0} / v}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle T '_ {0} = L' / v}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle L_ {0} = ТВ}$ ${\ displaystyle L '= T' _ {0} v}$

{\ displaystyle {\ frac {L '} {L_ {0}}} = {\ frac {T' _ {0} v} {Tv}} = 1 / \ gamma}

.

Следовательно, длина, измеренная в дюймах, определяется как ${\ displaystyle S '}$

{\ Displaystyle L '= L_ {0} / \ gamma}

Таким образом, поскольку время прохождения часов через стержень больше in, чем in (замедление времени ), длина стержня также больше in, чем in (сокращение длины ). Аналогичным образом, если бы часы были в состоянии покоя, а стержень был бы вставлен , вышеупомянутая процедура дала бы ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S '}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S '}$

{\ Displaystyle L = L '_ {0} / \ gamma}

Геометрические соображения

Кубоиды в пространстве-времени Евклида и Минковского

Дополнительные геометрические соображения показывают, что сокращение длины можно рассматривать как тригонометрическое явление по аналогии с параллельными срезами кубоида до и после поворота в E ³ (см. Левую половину рисунка справа). Это евклидов аналог увеличения кубоида в E ^1,2 . В последнем случае, однако, мы можем интерпретировать усиленный кубоид как мировую плиту движущейся пластины.

Изображение : Слева: повернутый кубоид в трехмерном евклидовом пространстве E ³ . Поперечное сечение длиннее в направлении вращения, чем оно было до вращения. Справа: мировая плита движущейся тонкой пластины в пространстве-времени Минковского (с подавленным одним пространственным измерением) E ^1,2 , которая представляет собой усиленный кубоид . Поперечное сечение в направлении повышения тоньше, чем было до повышения. В обоих случаях поперечные направления остаются неизменными, и три плоскости, встречающиеся в каждом углу кубоидов, взаимно ортогональны (в смысле E ^1,2 справа и в смысле E ³ слева).

В специальной теории относительности преобразования Пуанкаре - это класс аффинных преобразований, которые можно охарактеризовать как преобразования между альтернативными декартовыми координатными картами в пространстве-времени Минковского, соответствующими альтернативным состояниям инерционного движения (и различным вариантам начала координат ). Преобразования Лоренца - это преобразования Пуанкаре, которые являются линейными преобразованиями (сохраняют начало координат). Преобразования Лоренца играют ту же роль в геометрии Минковского ( группа Лоренца образует группу изотропии самоизометрий пространства-времени), которые играют вращения в евклидовой геометрии. Действительно, специальная теория относительности в значительной степени сводится к изучению своего рода неевклидовой тригонометрии в пространстве-времени Минковского, как показано в следующей таблице:

Тригонометрия на трех плоскостях
Тригонометрия	Круговой	Параболический	Гиперболический
Клейнианская геометрия	Евклидова плоскость	Галилейский самолет	Самолет Минковского
Условное обозначение	E ²	E ^0,1	E ^1,1
Квадратичная форма	Положительно определенный	Вырожденный	Невырожденный, но неопределенный
Группа изометрии	E (2)	E (0,1)	E (1,1)
Группа изотропии	ТАК (2)	SO (0,1)	ТАК (1,1)
Тип изотропии	Вращения	Ножницы	Повышает
Алгебра над R	Сложные числа	Двойные числа	Сплит-комплексные числа
ε ²	−1	0	1
Интерпретация пространства-времени	Никто	Ньютоновское пространство-время	Пространство-время Минковского
Склон	загар φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
"косинус"	cos φ = (1 + m ² ) ^−1/2	cosp φ = 1	cosh φ = (1 - v ² ) ^−1/2
"синус"	грех φ = м (1 + м ² ) ^−1/2	sinp φ = u	sh φ = v (1 - v ² ) ^−1/2
"секанс"	сек φ = (1 + m ² ) ^1/2	сек φ = 1	sech φ = (1 - v ² ) ^1/2
"косеканс"	csc φ = m ⁻¹ (1 + m ² ) ^1/2	cscp φ = u ⁻¹	csch φ = v ⁻¹ (1 - v ² ) ^1/2

использованная литература

внешние ссылки

Часто задаваемые вопросы по физике: видите ли вы сокращение Лоренца – Фицджеральда? Или: вращение Пенроуза-Террелла ; Сарай и полюс

Languages

In other projects