Спин (физика) - Spin (physics)

Спин - это внутренняя форма углового момента, переносимого элементарными частицами и, следовательно, составными частицами ( адронами ) и атомными ядрами .

Спин - это один из двух типов углового момента в квантовой механике, другой - орбитальный угловой момент . Оператор орбитального углового момента является квантово-механическим аналогом классического углового момента орбитального вращения и появляется, когда существует периодическая структура его волновой функции при изменении угла. Для фотонов спин - квантово-механический аналог поляризации света; для электронов спин не имеет классического аналога.

О существовании спинового углового момента электронов свидетельствуют эксперименты, такие как эксперимент Штерна-Герлаха , в котором атомы серебра обладают двумя возможными дискретными угловыми моментами, несмотря на отсутствие орбитального углового момента. Существование электронного спина может быть также выведено теоретически из теоремы спиновой статистики и из принципа исключения Паули - и наоборот, учитывая конкретный спин электрона, можно вывести принцип исключения Паули.

Математически спин описывается как вектор для некоторых частиц, таких как фотоны, и как спиноры и биспиноры для других частиц, таких как электроны. Спиноры и биспиноры ведут себя аналогично векторам : они имеют определенные величины и изменяются при поворотах; однако они используют нетрадиционное «направление». Все элементарные частицы данного вида имеют одинаковую величину спинового углового момента, хотя его направление может меняться. На это указывает присвоение частице квантового числа спина .

Единица СИ спина такая же , как классический угловой момент (т.е. Н · м · с или Js или кг · м ² · с ^-1 ). На практике спин задаются как безразмерные спиновым квантовым число путем деления спинового момента со стороны пониженного постоянная Планк ħ , который имеет те же размеры , как угловой момент, хотя это не в полной мере вычисления этого значения. Очень часто «квантовое число спина» называют просто «спином». То, что это квантовое число, неявно.

История

Вольфганг Паули в 1924 году первым предложил удвоить количество доступных электронных состояний за счет двузначного неклассического «скрытого вращения». В 1925 год Уленбек и Гаудсмят в Лейденском университете , предложили простую физическую интерпретацию спиннинга частиц вокруг своей оси, в духе старой квантовой теории от Бора и Зоммерфельда . Ральф Крониг предвосхитил модель Уленбека – Гаудсмита в ходе обсуждения с Хендриком Крамерсом несколькими месяцами ранее в Копенгагене, но не опубликовал. Математическая теория была подробно разработана Паули в 1927 году. Когда Поль Дирак вывел свою релятивистскую квантовую механику в 1928 году, спин электрона был ее существенной частью.

Квантовое число

Как следует из названия, спин изначально задумывался как вращение частицы вокруг некоторой оси. Хотя вопрос о том, действительно ли вращаются элементарные частицы, неоднозначен (поскольку они кажутся точечными ), эта картина верна, поскольку спин подчиняется тем же математическим законам, что и квантованные угловые моменты ; в частности, спин означает, что фаза частицы изменяется с углом. С другой стороны, спин обладает некоторыми особенностями, которые отличают его от орбитального углового момента:

• Спиновые квантовые числа могут принимать полуцелые значения.
• Хотя направление ее вращения можно изменить, элементарную частицу нельзя заставить вращаться быстрее или медленнее.
• Спин заряженной частицы связан с магнитным дипольным моментом с g- фактором, отличным от 1. Это могло произойти классически, только если бы внутренний заряд частицы был распределен иначе, чем ее масса .

Традиционное определение из спинового квантового числа является s = п/2, где n может быть любым целым неотрицательным числом . Следовательно, допустимые значения s равны 0,1/2, 1, 3/2, 2 и т. Д. Значение s для элементарной частицы зависит только от типа частицы и не может быть изменено каким-либо известным образом (в отличие от направления вращения, описанного ниже). Спиновый угловой момент S любой физической системы квантован . Допустимые значения S :

${\ Displaystyle S = \ hbar \, {\ sqrt {s (s + 1)}} = {\ frac {h} {4 \ pi}} \, {\ sqrt {n (n + 2)}},}$

где h - постоянная Планка , а = ${\ displaystyle \ hbar}$час/2π- приведенная постоянная Планка. Напротив, орбитальный угловой момент может принимать только целые значения s ; т.е. четные значения n .

Фермионы и бозоны

Частицы с полуцелыми спинами, например 1/2, 3/2, 5/2, известны как фермионы , а частицы с целочисленными спинами, например 0, 1, 2, известны как бозоны . Два семейства частиц подчиняются разным правилам и в целом играют разные роли в окружающем нас мире. Ключевое различие между этими двумя семействами заключается в том, что фермионы подчиняются принципу исключения Паули : то есть не может быть двух идентичных фермионов одновременно с одинаковыми квантовыми числами (что примерно означает, что они имеют одинаковое положение, скорость и направление спина). Фермионы подчиняются правилам статистики Ферми – Дирака . Напротив, бозоны подчиняются правилам статистики Бозе – Эйнштейна и не имеют такого ограничения, поэтому они могут «группироваться» в идентичных состояниях. Кроме того, композитные частицы могут иметь спин, отличный от составляющих их частиц. Например, атом гелия-4 в основном состоянии имеет спин 0 и ведет себя как бозон, хотя кварки и электроны, составляющие его, являются фермионами.

Это имеет серьезные последствия:

• Кварки и лептоны (включая электроны и нейтрино ), которые составляют то, что классически известно как материя , все являются фермионами со спином 1/2. Общая идея о том, что «материя занимает пространство», на самом деле исходит из принципа исключения Паули, действующего на эти частицы, чтобы не дать фермионам находиться в одном и том же квантовом состоянии. Дальнейшее уплотнение потребовало бы, чтобы электроны занимали одни и те же энергетические состояния, и поэтому действует своего рода давление (иногда известное как давление вырождения электронов ), препятствующее слишком близкому расположению фермионов.

Элементарные фермионы с другими спинами (3/2, 5/2и т. д.), о существовании которых не известно.

• Элементарные частицы, которые считаются несущими силами, являются бозонами со спином 1. К ним относятся фотон , несущий электромагнитную силу , глюон ( сильная сила ) и бозоны W и Z ( слабая сила ). Способность бозонов занимать одно и то же квантовое состояние используется в лазере , который выравнивает множество фотонов с одинаковым квантовым числом (одинаковое направление и частоту), сверхтекучий жидкий гелий, образующийся в результате того, что атомы гелия-4 являются бозонами, и сверхпроводимость , где пары электронов (которые по отдельности являются фермионами) действуют как отдельные составные бозоны.

Существование элементарных бозонов с другими спинами (0, 2, 3 и т. Д.) Исторически не известно, хотя они получили значительную теоретическую обработку и прочно обосновались в рамках соответствующих основных теорий. В частности, теоретики предложили гравитон (существование которого предсказывают некоторые теории квантовой гравитации ) со спином 2 и бозон Хиггса (объясняющий нарушение электрослабой симметрии ) со спином 0. С 2013 года считалось, что бозон Хиггса со спином 0 обладает доказанной способностью. существовать. Это первая скалярная элементарная частица (спин 0), которая, как известно, существует в природе.

• Атомные ядра имеют ядерный спин, который может быть как полуцелым, так и целым числом, так что ядра могут быть либо фермионами, либо бозонами.

Теорема спин-статистики

Теорема спин-статистики разделяет частицы на две группы: бозоны и фермионы , где бозоны подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна , а фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака (и, следовательно, принципу исключения Паули ). В частности, теория утверждает, что частицы с целым спином являются бозонами, а все другие частицы имеют полуцелые спины и являются фермионами. Например, электроны имеют полуцелый спин и являются фермионами, которые подчиняются принципу исключения Паули, в то время как фотоны имеют целочисленный спин, но не имеют. Теорема опирается как на квантовую механику, так и на специальную теорию относительности , и эту связь между спином и статистикой назвали «одним из наиболее важных приложений специальной теории относительности».

Отношение к классическому вращению

Поскольку элементарные частицы точечны, самовращение для них четко не определено. Тем не менее, спина означает , что фаза частицы зависит от угла , как , для вращения вокруг угла & thetas оси , параллельной спин S . Это эквивалентно квантово-механической интерпретации импульса как фазовой зависимости от положения и орбитального углового момента как зависимости от фазы от углового положения. ${\ displaystyle e ^ {iS \ theta}}$

Спин фотона - это квантово-механическое описание поляризации света , где спин +1 и спин -1 представляют два противоположных направления круговой поляризации . Таким образом, свет определенной круговой поляризации состоит из фотонов с одинаковым спином, либо все +1, либо все -1. Спин представляет поляризацию и для других векторных бозонов.

Для фермионов картина менее ясна. Угловая скорость равна по теореме Эренфеста к производному от гамильтониана к его сопряженному импульсу , который является всего оператором углового момента J = L + S . Следовательно, если гамильтониан H зависит от спина S , dH / dS не равно нулю, и спин вызывает угловую скорость и, следовательно, фактическое вращение, то есть изменение фазово-углового отношения во времени. Однако вопрос о том, справедливо ли это для свободного электрона, неоднозначен, поскольку для электрона S ² постоянна, и поэтому вопрос интерпретации включает ли гамильтониан такой член. Тем не менее, спина появляется в уравнении Дирака , и , таким образом , релятивистский гамильтониан электрона, рассматриваемый как поле Дирака , можно интерпретировать как включающая зависимость в спине S . Согласно этой интерпретации, свободные электроны также самовращаются, а эффект Циттербевегунга понимается как это вращение.

Магнитные моменты

Принципиальная схема, изображающая спин нейтрона в виде черной стрелки и силовые линии магнитного поля, связанные с магнитным моментом нейтрона . Нейтрон имеет отрицательный магнитный момент. В то время как нейтрон на этой диаграмме направлен вверх, силовые линии магнитного поля в центре диполя направлены вниз.

Частицы со спином могут обладать магнитным дипольным моментом , как вращающееся электрически заряженное тело в классической электродинамике . Эти магнитные моменты можно экспериментально наблюдать несколькими способами, например, отклонением частиц неоднородными магнитными полями в эксперименте Штерна-Герлаха или измерением магнитных полей, создаваемых самими частицами.

Собственный магнитный момент μ из спин-1/2частица с зарядом q , массой m и спиновым угловым моментом S , является

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mu}} = {\ frac {g_ {s} q} {2m}} \ mathbf {S},}$

где безразмерная величина g _s называется спиновым g -фактором . Для исключительно орбитального вращения это будет 1 (при условии, что масса и заряд занимают сферы равного радиуса).

Электрон как заряженная элементарная частица обладает ненулевым магнитным моментом . Одним из достижений теории квантовой электродинамики является точное предсказание g- фактора электрона , который, как было экспериментально определено, имеет значение−2,002 319 304 362 56 (35) , где цифры в скобках обозначают неопределенность измерения в последних двух цифрах при одном стандартном отклонении . Значение 2 возникает из уравнения Дирака , фундаментального уравнения, связывающего спин электрона с его электромагнитными свойствами, и поправки на0,002 319 304 ... возникает из-за взаимодействия электрона с окружающим электромагнитным полем , включая его собственное поле.

Составные частицы также обладают магнитными моментами, связанными с их спином. В частности, нейтрон обладает ненулевым магнитным моментом, несмотря на то, что он электрически нейтрален. Этот факт был первым признаком того, что нейтрон не является элементарной частицей. Фактически, он состоит из кварков , которые являются электрически заряженными частицами. Магнитный момент нейтрона происходит от спинов отдельных кварков и их орбитального движения.

Нейтрино элементарны и электрически нейтральны. Минимально расширенная Стандартная модель, которая учитывает ненулевые массы нейтрино, предсказывает магнитные моменты нейтрино:

${\ displaystyle \ mu _ {\ nu} \ примерно 3 \ times 10 ^ {- 19} \ mu _ {\ text {B}} {\ frac {m _ {\ nu}} {\ text {eV}}}, }$

где μ _ν - магнитные моменты нейтрино, m _ν - массы нейтрино, а μ _B - магнетон Бора . Однако новая физика выше электрослабой шкалы может привести к значительно более высоким магнитным моментам нейтрино. Это может быть показано в модельно-независимом образе , что нейтрино магнитных моментов больше , чем около 10 ^-14  мкм _B являются «неестественно» , потому что они также приводят к большому радиационному вкладу в массу нейтрино. Поскольку известно, что массы нейтрино не превышают примерно 1 эВ, большие радиационные поправки должны быть "тонко настроены", чтобы в значительной степени компенсировать друг друга и оставить массу нейтрино небольшой. Измерение магнитных моментов нейтрино - активная область исследований. Экспериментальные результаты показали, что магнитный момент нейтрино меньше, чем1,2 × 10 ⁻¹⁰  магнитного момента электрона.

С другой стороны, элементарные частицы со спином, но без электрического заряда, такие как фотон или Z-бозон , не имеют магнитного момента.

Температура Кюри и потеря выравнивания

В обычных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов создают магнитные поля, которые нейтрализуют друг друга, потому что каждый диполь указывает в случайном направлении, а общее среднее значение очень близко к нулю. Однако ферромагнитные материалы при температуре ниже их температуры Кюри демонстрируют магнитные домены, в которых атомные дипольные моменты выровнены локально, создавая макроскопическое ненулевое магнитное поле из домена. Это обычные «магниты», с которыми все мы знакомы.

В парамагнитных материалах магнитные дипольные моменты отдельных атомов спонтанно выравниваются с приложенным извне магнитным полем. В диамагнитных материалах, с другой стороны, магнитные дипольные моменты отдельных атомов спонтанно выравниваются противоположно любому приложенному извне магнитному полю, даже если для этого требуется энергия.

Изучение поведения таких « спиновых моделей » - процветающая область исследований в физике конденсированного состояния . Например, модель Изинга описывает спины (диполи), которые имеют только два возможных состояния: вверх и вниз, тогда как в модели Гейзенберга вектор спина может указывать в любом направлении. Эти модели обладают множеством интересных свойств, которые привели к интересным результатам в теории фазовых переходов .

Направление

Квантовое число и кратность проекции спина

В классической механике угловой момент частицы имеет не только величину (скорость вращения тела), но и направление (вверх или вниз по оси вращения частицы). Квантово-механическое вращение также содержит информацию о направлении, но в более тонкой форме. Квантовая механика утверждает, что составляющая углового момента для частицы со спином, измеренная вдоль любого направления, может принимать только значения

${\ displaystyle S_ {i} = \ hbar s_ {i}, \ quad s_ {i} \ in \ {- s, - (s-1), \ dots, s-1, s \},}$

где S _i - компонента спина вдоль i -й оси (либо x , y , либо z ), s _i - квантовое число проекции спина вдоль i -ой оси, а s - главное квантовое число спина (обсуждается в предыдущий раздел). Обычно в качестве направления выбирается  ось z :

${\ Displaystyle S_ {z} = \ hbar s_ {z}, \ quad s_ {z} \ in \ {- s, - (s-1), \ dots, s-1, s \},}$

где S _z - компонента спина вдоль  оси z , s _z - квантовое число проекции спина вдоль  оси z .

Видно, что существует 2 s + 1 возможных значений s _z . Число « 2 с + 1 » - это кратность спиновой системы. Например, есть только два возможных значения для спин-1/2частица: s _z = +1/2и s _z = -1/2. Они соответствуют квантовым состояниям, в которых компонент спина направлен в направлениях + z или - z соответственно, и их часто называют «спином вверх» и «спином вниз». Для спина-3/2частица, как дельта-барион , возможные значения: +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Вектор

Отдельная точка в космосе может вращаться непрерывно, не запутываясь. Обратите внимание, что после поворота на 360 градусов спираль переворачивается между ориентацией по часовой стрелке и против часовой стрелки. Он возвращается в исходную конфигурацию после полного поворота на 720 ° .

Для данного квантового состояния можно представить себе вектор спина , компоненты которого представляют собой математические ожидания компонент спина вдоль каждой оси, т . Е .. Тогда этот вектор будет описывать «направление», в котором указывает вращение, что соответствует классической концепции оси вращения . Оказывается, что вектор спина не очень полезен в реальных квантово-механических расчетах, потому что он не может быть измерен напрямую: s _x , s _y и s _z не могут иметь одновременно определенные значения из-за квантового отношения неопределенности между ними. Однако для статистически больших наборов частиц, которые были помещены в одно и то же чистое квантовое состояние, например, с помощью аппарата Штерна-Герлаха , вектор спина действительно имеет четко определенное экспериментальное значение: он определяет направление в обычном пространстве. в котором последующий детектор должен быть ориентирован так, чтобы достичь максимально возможной вероятности (100%) обнаружения каждой частицы в коллекции. Для отжима${\ textstyle \ langle S \ rangle}$${\ textstyle \ langle S \ rangle = [\ langle S_ {x} \ rangle, \ langle S_ {y} \ rangle, \ langle S_ {z} \ rangle]}$1/2 частиц, эта вероятность плавно спадает по мере увеличения угла между вектором спина и детектором, пока при угле 180 °, то есть для детекторов, ориентированных в направлении, противоположном вектору спина, ожидание обнаружения частиц из коллекции достигает минимум 0%.

В качестве качественной концепции вектор спина часто бывает удобен, потому что его легко изобразить классически. Например, квантово-механический спин может демонстрировать явления, аналогичные классическим гироскопическим эффектам . Например, можно воздействовать на электрон своего рода « крутящим моментом », поместив его в магнитное поле (поле действует на собственный магнитный дипольный момент электрона - см. Следующий раздел). В результате вектор спина претерпевает прецессию , как в классическом гироскопе. Это явление известно как электронный спиновой резонанс (ЭПР). Эквивалентное поведение протонов в атомных ядрах используется в спектроскопии ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и визуализации.

Математически квантово-механические спиновые состояния описываются векторными объектами, известными как спиноры . Есть тонкие различия между поведением спиноров и векторов при поворотах координат . Например, вращая спин-1/2частица на 360 ° возвращает ее не в то же квантовое состояние, а в состояние с противоположной квантовой фазой ; в принципе это можно обнаружить с помощью экспериментов по интерференции . Чтобы вернуть частицу в ее точное исходное состояние, необходимо повернуть ее на 720 °. ( Уловка Пластина и лента Мебиуса дают неквантовые аналогии.) Частица с нулевым спином может иметь только одно квантовое состояние, даже после приложения крутящего момента. Вращение частицы со спином 2 на 180 ° может вернуть ее в то же квантовое состояние, а частица со спином 4 должна быть повернута на 90 °, чтобы вернуть ее в то же квантовое состояние. Частица со спином 2 может быть аналогична прямой палке, которая выглядит одинаково даже после поворота на 180 °, а частицу со спином 0 можно представить как сферу, которая выглядит одинаково под любым углом, на который она повернута.

Математическая формулировка

Оператор

Спин подчиняется коммутационным соотношениям, аналогичным соотношениям орбитального углового момента :

${\ displaystyle \ left [{\ hat {S}} _ {j}, {\ hat {S}} _ {k} \ right] = i \ hbar \ varepsilon _ {jkl} {\ hat {S}} _ {l},}$

где ε _jkl - символ Леви-Чивиты . Отсюда следует (как и с угловым моментом ) , что собственные векторы из и (выраженное в виде кетов в общем S основе ) являются ${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {z}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ hat {S}} ^ {2} | s, m_ {s} \ rangle & = \ hbar ^ {2} s (s + 1) | s, m_ {s} \ rangle, \\ {\ hat {S}} _ {z} | s, m_ {s} \ rangle & = \ hbar m_ {s} | s, m_ {s} \ rangle. \ end {align}}}$

Операторы повышения и понижения спина, действующие на эти собственные векторы, дают

${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {\ pm} | s, m_ {s} \ rangle = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1) -m_ {s} (m_ {s} \ pm 1 )}} | s, m_ {s} \ pm 1 \ rangle,}$

где . ${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {\ pm} = {\ hat {S}} _ {x} \ pm i {\ hat {S}} _ {y}}$

Но в отличие от орбитального углового момента собственные векторы не являются сферическими гармониками . Они не являются функциями θ и φ . Также нет причин исключать полуцелые значения s и m _s .

Все квантово-механические частицы обладают собственным спином (хотя это значение может быть равно нулю). Проекция спина на любую ось квантуется в единицах приведенной постоянной Планка , так что функция состояния частицы, скажем, not , но , где может принимать только значения следующего дискретного набора: ${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ Displaystyle \ psi = \ psi ({\ vec {r}})}$${\ Displaystyle \ psi = \ psi ({\ vec {r}}, s_ {z})}$${\ displaystyle s_ {z}}$

${\ displaystyle s_ {z} \ in \ {- s \ hbar, - (s-1) \ hbar, \ cdots, + (s-1) \ hbar, + s \ hbar \}.}$

Различают бозоны (целочисленный спин) и фермионы (полуцелочисленный спин). Полный угловой момент, сохраняющийся в процессах взаимодействия, тогда является суммой орбитального углового момента и спина.

Матрицы Паули

В квантово-механические операторы , связанные с спин-1/2 наблюдаемыми являются

${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {S}}} = {\ frac {\ hbar} {2}} {\ boldsymbol {\ sigma}},}$

где в декартовых компонентах

${\ displaystyle S_ {x} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {x}, \ quad S_ {y} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {y} , \ quad S_ {z} = {\ frac {\ hbar} {2}} \ sigma _ {z}.}$

В частном случае спина1/2частицы, σ _x , σ _y и σ _z - три матрицы Паули :

${\ displaystyle \ sigma _ {x} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {y} = {\ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix}}, \ quad \ sigma _ {z} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

Принцип исключения Паули

Для систем из N одинаковых частиц это связано с принципом исключения Паули , который гласит, что его волновая функция должна изменяться при заменах любых двух из N частиц, как ${\ displaystyle \ psi (\ mathbf {r} _ {1}, \ sigma _ {1}, \ dots, \ mathbf {r} _ {N}, \ sigma _ {N})}$

${\ displaystyle \ psi (\ точки, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i}, \ dots, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j}, \ dots) = (-1) ^ {2s} \ psi (\ dots, \ mathbf {r} _ {j}, \ sigma _ {j}, \ dots, \ mathbf {r} _ {i}, \ sigma _ {i} , \ точки).}$

Таким образом, для бозонов префактор (−1) ^{2 s} уменьшится до +1, для фермионов - до −1. В квантовой механике все частицы либо бозоны, либо фермионы. В некоторых умозрительных релятивистских квантовых теориях поля также существуют « суперсимметричные » частицы, в которых появляются линейные комбинации бозонных и фермионных компонент. В двух измерениях префактор (-1) ^{2 s} может быть заменен любым комплексным числом с величиной 1, например, в аньоне .

Вышеупомянутый постулат перестановки для функций состояния N- частиц имеет наиболее важные последствия в повседневной жизни, например, периодическая таблица химических элементов.

Вращения

Как описано выше, квантовая механика утверждает, что компоненты углового момента, измеренные вдоль любого направления, могут принимать только несколько дискретных значений. Поэтому наиболее удобное квантово-механическое описание спина частицы - это набор комплексных чисел, соответствующих амплитудам нахождения заданного значения проекции ее собственного углового момента на заданную ось. Например, для спин-1/2частица, нам понадобятся два числа a _{± 1/2} , дающие амплитуды нахождения ее с проекцией углового момента, равной +час/2и -час/2, удовлетворяющий требованию

${\ displaystyle | a _ {+ 1/2} | ^ {2} + | a _ {- 1/2} | ^ {2} = 1.}$

Для типичной частицы со спином s нам потребуется 2 s + 1 таких параметров. Поскольку эти числа зависят от выбора оси, они нетривиально переходят друг в друга при повороте этой оси. Ясно, что закон преобразования должен быть линейным, поэтому мы можем представить его, связав матрицу с каждым поворотом, а произведение двух матриц преобразования, соответствующих поворотам A и B, должно быть равно (с точностью до фазы) матрице, представляющей поворот AB. Кроме того, вращения сохраняют квантово-механический внутренний продукт, как и наши матрицы преобразования:

${\ displaystyle \ sum _ {m = -j} ^ {j} a_ {m} ^ {*} b_ {m} = \ sum _ {m = -j} ^ {j} \ left (\ sum _ {n = -j} ^ {j} U_ {nm} a_ {n} \ right) ^ {*} \ left (\ sum _ {k = -j} ^ {j} U_ {km} b_ {k} \ right) ,}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = -j} ^ {j} \ sum _ {k = -j} ^ {j} U_ {np} ^ {*} U_ {kq} = \ delta _ {pq}.}$

Математически говоря, эти матрицы обеспечивают унитарное проективное представление группы вращений SO (3) . Каждое такое представление соответствует представлению накрывающей группы SO (3), которая является SU (2) . Существует одно n- мерное неприводимое представление SU (2) для каждого измерения, хотя это представление является n -мерным вещественным для нечетных n и n -мерным комплексным для четных n (следовательно, имеет действительную размерность 2 n ). Для поворота на угол & thetas в плоскости с нормальным вектором , ${\ textstyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}}$

${\ displaystyle U = e ^ {- {\ frac {i} {\ hbar}} {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {S}},}$

где , S - вектор спиновых операторов . ${\ textstyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}}$

(Нажмите «показать» справа, чтобы увидеть доказательство, или «скрыть», чтобы скрыть его.)

---

Работая в системе координат, где мы хотим показать, что S _x и S _y повернуты друг относительно друга на угол θ . Начиная с S _x . Используя единицы измерения, где ħ = 1 : ${\ textstyle {\ hat {\ theta}} = {\ hat {z}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} S_ {x} \ rightarrow U ^ {\ dagger} S_ {x} U & = e ^ {i \ theta S_ {z}} S_ {x} e ^ {- i \ theta S_ {z}} \\ & = S_ {x} + (i \ theta) \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] + \ left ({\ frac {1} {2!}} \ right ) (i \ theta) ^ {2} \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] \ right] + \ left ({\ frac {1} {3!} } \ right) (i \ theta) ^ {3} \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, \ left [S_ {z}, S_ {x} \ right] \ right] \ right] + \ ldots \ end {выровнено}}}$

Используя соотношения коммутации спиновых операторов , мы видим, что коммутаторы вычисляют i S _y для нечетных членов ряда и S _x для всех четных членов. Таким образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} U ^ {\ dagger} S_ {x} U & = S_ {x} \ left [1 - {\ frac {\ theta ^ {2}} {2!}} + \ ldots \ right] -S_ {y} \ left [\ theta - {\ frac {\ theta ^ {3}} {3!}} \ cdots \ right] \\ & = S_ {x} \ cos \ theta -S_ {y } \ sin \ theta, \ end {выровнено}}}$

как и ожидалось. Заметим, что, поскольку мы опирались только на соотношения коммутации спиновых операторов, это доказательство справедливо для любой размерности (т. Е. Для любого главного квантового числа спина s ).

---

Общий поворот в трехмерном пространстве можно построить, сложив операторы этого типа с использованием углов Эйлера :

${\ displaystyle {\ mathcal {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) = e ^ {- i \ alpha S_ {z}} e ^ {- i \ beta S_ {y}} e ^ {- i \ gamma S_ {z}}.}$

Неприводимое представление этой группы операторов доставляется D-матрицей Вигнера :

${\ displaystyle D_ {m'm} ^ {s} (\ alpha, \ beta, \ gamma) \ Equiv \ langle sm '| {\ mathcal {R}} (\ alpha, \ beta, \ gamma) | sm \ rangle = e ^ {- im '\ alpha} d_ {m'm} ^ {s} (\ beta) e ^ {- im \ gamma},}$

куда

${\ displaystyle d_ {m'm} ^ {s} (\ beta) = \ langle sm '| e ^ {- i \ beta s_ {y}} | sm \ rangle}$

- малая d-матрица Вигнера . Отметим, что для γ = 2π и α = β = 0 ; т. е. полный оборот вокруг  оси z , элементы D-матрицы Вигнера становятся

${\ displaystyle D_ {m'm} ^ {s} (0,0,2 \ pi) = d_ {m'm} ^ {s} (0) e ^ {- im2 \ pi} = \ delta _ {m 'm} (- 1) ^ {2m}.}$

Вспоминая, что общее состояние спина может быть записано как суперпозиция состояний с определенным m , мы видим, что если s является целым числом, все значения m являются целыми числами, и эта матрица соответствует единичному оператору. Однако, если s является полуцелым числом, значения m также являются полуцелыми числами, что дает (−1) ^{2 m} = −1 для всех m , и, следовательно, при повороте на 2π состояние приобретает знак минус. Этот факт является ключевым элементом доказательства теоремы спин-статистики .

Преобразования Лоренца

Мы могли бы попробовать тот же подход, чтобы определить поведение спина при общих преобразованиях Лоренца , но мы немедленно обнаружили бы серьезное препятствие. В отличии от SO (3), групп преобразований Лоренца SO (3,1) является некомпактным и , следовательно , не имеет верные, унитарные, конечномерные представлений.

В случае отжима1/2частиц, можно найти конструкцию, которая включает как конечномерное представление, так и скалярное произведение, которое сохраняется этим представлением. Каждой частице ставим в соответствие 4-компонентный спинор Дирака ψ . Эти спиноры преобразуются при преобразованиях Лоренца по закону

${\ displaystyle \ psi '= \ exp {\ left ({\ tfrac {1} {8}} \ omega _ {\ mu \ nu} [\ gamma _ {\ mu}, \ gamma _ {\ nu}] \ вправо)} \ psi,}$

где γ _ν - гамма-матрицы , а ω _μν - антисимметричная матрица 4 × 4, параметризующая преобразование. Можно показать, что скалярное произведение

${\ Displaystyle \ langle \ psi | \ phi \ rangle = {\ bar {\ psi}} \ phi = \ psi ^ {\ dagger} \ gamma _ {0} \ phi}$

сохраняется. Однако оно не является положительно-определенным, поэтому представление не унитарно.

Измерение вращения по осям x , y или z

Каждая из ( эрмитовых ) матриц Паули спин-1/2частиц имеет два собственных значения , +1 и -1. Соответствующие нормированные собственные векторы :

${\ displaystyle {\ begin {array} {lclc} \ psi _ {x +} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ { x} = \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \! \! & {\ begin {pmatrix} {1} \\ {1} \ end {pmatrix}} , & \ psi _ {x -} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {x} = \ displaystyle {\ frac { 1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \! \! & {\ Begin {pmatrix} {1} \\ {- 1} \ end {pmatrix}}, \\\ psi _ {y + } = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2} }} \! \! \! \! \! & {\ begin {pmatrix} {1} \\ {i} \ end {pmatrix}}, & \ psi _ {y -} = \ left | {\ frac { 1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {y} = \ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \! \! \! \ ! \! & {\ begin {pmatrix} {1} \\ {- i} \ end {pmatrix}}, \\\ psi _ {z +} = \ left | {\ frac {1} {2}}, { \ frac {+1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = & {\ begin {pmatrix} {1} \\ {0} \ end {pmatrix}}, & \ psi _ {z -} = \ left | {\ frac {1} {2}}, {\ frac {-1} {2}} \ right \ rangle _ {z} = & {\ begin {pmatrix} {0} \\ {1} \ конец {pmatrix}}. \ end {массив}}}$

(Поскольку любой собственный вектор, умноженный на константу, по-прежнему является собственным вектором, общий знак неоднозначен. В этой статье принято решение сделать первый элемент мнимым и отрицательным, если имеется неоднозначность знака. Настоящее соглашение используется программное обеспечение, такое как SymPy ; в то время как многие учебники физики, такие как Сакураи и Гриффитс, предпочитают делать это реальным и позитивным.)

Согласно постулатам квантовой механики , эксперимент, предназначенный для измерения спина электрона по  оси x , y или z, может дать только собственное значение соответствующего оператора спина ( S _x , S _y или S _z ) на этой оси, т. Е.час/2или -час/2. Квантовое состояние частицы (относительно спина), может быть представлена в виде двухкомпонентной спинором :

${\ displaystyle \ psi = {\ begin {pmatrix} a + bi \\ c + di \ end {pmatrix}}.}$

Когда спин этой частицы измеряется относительно данной оси (в данном примере  оси x ), вероятность того, что ее спин будет измерена какчас/2просто . Соответственно, вероятность того, что его вращение будет измеряться как -${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi \ rangle {\ big |} ^ {2}}$час/2просто . После измерения спиновое состояние частицы коллапсирует в соответствующее собственное состояние. В результате, если было измерено, что спин частицы вдоль данной оси имеет заданное собственное значение, все измерения дадут одно и то же собственное значение (так как и т. Д.), При условии, что никакие измерения спина не производятся вдоль других осей. ${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x-} | \ psi \ rangle {\ big |} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi _ {x +} \ rangle {\ big |} ^ {2} = 1}$

Измерение спина по произвольной оси

Оператор для измерения спина вдоль произвольного направления оси легко получается из спиновых матриц Паули. Пусть u = ( u _x , u _y , u _z ) - произвольный единичный вектор. Тогда оператор для спина в этом направлении просто

${\ displaystyle S_ {u} = {\ frac {\ hbar} {2}} (u_ {x} \ sigma _ {x} + u_ {y} \ sigma _ {y} + u_ {z} \ sigma _ { z}).}$

Оператор S _u имеет собственные значения ±час/2, как и обычные спиновые матрицы. Этот метод нахождения оператора для спина в произвольном направлении обобщается на более высокие состояния спина, берется скалярное произведение направления на вектор из трех операторов для трех направлений осей x -, y -, z .

Нормализованный спинор для спин-1/2в направлении ( u _x , u _y , u _z ) (который работает для всех состояний спина, кроме спина вниз, где он даст0/0) является

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 + 2u_ {z}}}} {\ begin {pmatrix} 1 + u_ {z} \\ u_ {x} + iu_ {y} \ end {pmatrix} }.}$

Вышеупомянутый спинор получается обычным способом путем диагонализации матрицы σ _u и нахождения собственных состояний, соответствующих собственным значениям. В квантовой механике векторы называются «нормализованными» при умножении на нормализующий коэффициент, в результате чего вектор имеет длину, равную единице.

Совместимость измерений спина

Поскольку матрицы Паули не коммутируют , измерения спина по разным осям несовместимы. Это означает, что если, например, мы знаем вращение по  оси x , а затем измеряем вращение по  оси y , мы лишаем силы наши предыдущие знания о  вращении оси x . Это видно из свойства собственных векторов (т.е. собственных состояний) матриц Паули, что

${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x \ pm} | \ psi _ {y \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ big |} \ langle \ psi _ { x \ pm} | \ psi _ {z \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ big |} \ langle \ psi _ {y \ pm} | \ psi _ {z \ pm} \ rangle {\ big |} ^ {2} = {\ tfrac {1} {2}}.}$

Поэтому, когда физики измеряют спин частицы вдоль  оси x как, например,час/2, спиновое состояние частицы коллапсирует в собственное состояние . Затем, когда мы впоследствии измеряем спин частицы вдоль  оси y , состояние спина теперь коллапсирует в либо, либо , каждое с вероятностью${\ displaystyle | \ psi _ {x +} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {y +} \ rangle}$${\ displaystyle | \ psi _ {y -} \ rangle}$1/2. Скажем, в нашем примере, что мы измеряем -час/2. Когда мы снова вернемся к измерению вращения частицы вдоль  оси x , вероятности, которые мы будем измерятьчас/2или -час/2 каждый 1/2(т.е. они и соответственно). Это означает, что первоначальное измерение вращения по  оси x больше не является действительным, поскольку  теперь будет измеряться , что спин вдоль оси x будет иметь любое собственное значение с равной вероятностью. ${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x +} | \ psi _ {y -} \ rangle {\ big |} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ big |} \ langle \ psi _ {x-} | \ psi _ {y -} \ rangle {\ big |} ^ {2}}$

Высшие спины

Спин-1/2оператор S =час/2σ образует фундаментальное представление о SU (2) . Повторноберя с собой произведения Кронекера этого представления, можно построить все высшие неприводимые представления. То есть результирующие операторы спина для систем с более высоким спином в трех пространственных измерениях могут быть вычислены для сколь угодно больших s с использованием этого оператора спина и лестничных операторов . Например, взяв произведение Кронекера двух спиновых1/2дает четырехмерное представление, которое можно разделить на трехмерное спин-1 ( триплетные состояния ) и одномерное представление со спином 0 ( синглетное состояние ).

Полученные неприводимые представления дают следующие спиновые матрицы и собственные значения в z-базисе:

Общая группа Паули G _n, также полезная в квантовой механике многочастичных систем, определяется как состоящая из всех n- кратных тензорных произведений матриц Паули.

Аналоговая формула формулы Эйлера в терминах матриц Паули

${\ displaystyle {\ hat {R}} (\ theta, {\ hat {\ mathbf {n}}}) = e ^ {i {\ frac {\ theta} {2}} {\ hat {\ mathbf {n }}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}} = I \ cos {\ frac {\ theta} {2}} + i \ left ({\ hat {\ mathbf {n}}} \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}} \ right) \ sin {\ frac {\ theta} {2}}}$

для более высоких вращений послушный, но менее простой.

Паритет

В таблицах квантового числа спина s для ядер или частиц за спином часто стоит «+» или «-». Это относится к четности со знаком «+» для четной четности (волновая функция не изменяется при пространственной инверсии) и «-» для нечетной четности (волновая функция отменяется пространственной инверсией). Например, посмотрите изотопы висмута , в которых список изотопов включает столбец ядерный спин и четность. Для Bi-209, единственного стабильного изотопа, запись 9 / 2– означает, что ядерный спин равен 9/2, а четность нечетная.

Приложения

Спин имеет важное теоретическое значение и практическое применение. Хорошо зарекомендовавшие себя прямые применения вращения включают:

• Спектроскопия ядерного магнитного резонанса (ЯМР) в химии;
• Спектроскопия электронного спинового резонанса (ЭПР или ЭПР) в химии и физике;
• Магнитно-резонансная томография (МРТ) в медицине, вид прикладного ЯМР, который основан на спиновой плотности протонов;
• Технология гигантских магниторезистивных головок (GMR) в современных жестких дисках .

Электронный спин играет важную роль в магнетизме , например, в компьютерной памяти. Манипулирование ядерным спином с помощью радиоволн ( ядерный магнитный резонанс ) важно в химической спектроскопии и медицинской визуализации.

Спин-орбитальная связь приводит к тонкой структуре атомных спектров, которая используется в атомных часах и в современном определении секунды . Точные измерения g- фактора электрона сыграли важную роль в развитии и проверке квантовой электродинамики . Спин фотона связан с поляризацией света ( поляризацией фотона ).

Появляется новое применение спина в качестве носителя двоичной информации в спиновых транзисторах . Первоначальная концепция, предложенная в 1990 году, известна как спиновый транзистор Датта – Даса . Электроника на спиновых транзисторах называется спинтроникой . Манипулирование спином в разбавленных магнитных полупроводниковых материалах , таких как легированный металлом ZnO или TiO _2, дает дополнительную степень свободы и может способствовать созданию более эффективной электроники.

Есть много косвенных приложений и проявлений спина и связанного с ним принципа исключения Паули , начиная с периодической таблицы химии.

История

Вольфганг Паули читает лекции

Спин был впервые обнаружен в контексте спектра излучения из щелочных металлов . В 1924 году Вольфганг Паули представил то, что он назвал «двузначностью, не поддающейся описанию классически», связанной с электроном во внешней оболочке . Это позволило ему сформулировать принцип исключения Паули , согласно которому никакие два электрона не могут иметь одинаковое квантовое состояние в одной и той же квантовой системе.

Физическая интерпретация «степени свободы» Паули изначально была неизвестна. Ральф Крониг , один из помощников Ланде , в начале 1925 года предположил, что это происходит за счет самовращения электрона. Когда Паули услышал об этой идее, он резко раскритиковал ее, отметив, что гипотетическая поверхность электрона должна двигаться быстрее скорости света, чтобы он мог вращаться достаточно быстро и производить необходимый угловой момент. Это нарушило бы теорию относительности . Во многом из-за критики Паули Крониг решил не публиковать свою идею.

Осенью 1925 года такая же мысль пришла в голову голландским физикам Джорджу Уленбеку и Самуэлю Гаудсмиту из Лейденского университета . По совету Пауля Эренфеста они опубликовали свои результаты. Он встретил положительный отклик, особенно после того, как Ллевеллин Томас сумел устранить двукратное несоответствие между экспериментальными результатами и расчетами Уленбека и Гаудсмита (и неопубликованными результатами Кронига). Это несоответствие было связано не только с его положением, но и с ориентацией касательной системы координат электрона.

С математической точки зрения необходимо описание пучка волокон . Эффект касательной связки аддитивен и релятивистский; то есть обращается в нуль, если c стремится к бесконечности. Это половина значения, полученного без учета ориентации касательного пространства, но с противоположным знаком. Таким образом, комбинированный эффект отличается от последнего в два раза ( прецессия Томаса , известная Людвику Зильберштейну в 1914 году).

Несмотря на свои первоначальные возражения, Паули формализовал теорию спина в 1927 году, используя современную теорию квантовой механики, изобретенную Шредингером и Гейзенбергом . Он первым использовал матрицы Паули как представление спинорных операторов и ввел двухкомпонентную спинорную волновую функцию. Уленбек и Гаудсмит считали спин результатом классического вращения, в то время как Паули подчеркивал, что спин не является классическим и внутренним свойством.

Теория спина Паули была нерелятивистской. Однако в 1928 году Поль Дирак опубликовал уравнение Дирака , описывающее релятивистский электрон . В уравнении Дирака для волновой функции электрона использовался четырехкомпонентный спинор (известный как « спинор Дирака »). Релятивистский спин объяснил гиромагнитную аномалию, которая была (ретроспективно) впервые обнаружена Сэмюэлем Джексоном Барнеттом в 1914 году (см. Эффект Эйнштейна – де Гааза ). В 1940 году Паули доказал спин-статистическую теорему , согласно которой фермионы имеют полуцелый спин, а бозоны имеют целочисленный спин.

Оглядываясь назад, первым прямым экспериментальным доказательством электронного спина был эксперимент Штерна-Герлаха 1922 года. Однако правильное объяснение этому эксперименту было дано только в 1927 году.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

• Син-Итиро Томонага, История вращения, 1997

внешние ссылки

• Цитаты, связанные со Спином (физикой) на Викицитатнике
• Гоудсмит об открытии спина электрона.
• Природа : « Вехи в развитии с 1896 года ».
• ECE 495N Лекция 36: Лекция С. Датты Spin Online