Соотношение серебра - Silver ratio

Соотношение серебра
	Серебряный прямоугольник
Представления
Десятичный	2,41421 35623 73095 0488 ...
Алгебраическая форма	1 + √ 2
Непрерывная дробь
Двоичный	10.0110 1010 0000 1001 1110 ...
Шестнадцатеричный	2.6A09 E667 F3BC C908 B2F ...

Соотношение серебра в восьмиугольнике

В математике две величины находятся в соотношении серебра (или среднем серебре ), если отношение меньшего из этих двух количеств к большему количеству такое же, как отношение большего количества к сумме меньшего количества и вдвое большего количества. количество (см. ниже). Это определяет соотношение серебра как иррациональную математическую константу , значение которой, равное единице плюс квадратный корень из 2, составляет приблизительно 2,4142135623. Его название - намек на золотое сечение ; Аналогично тому, как золотое сечение является ограничивающим соотношением последовательных чисел Фибоначчи , серебряное соотношение является ограничивающим соотношением последовательных чисел Пелла . Отношение серебра обозначается $б S$ .

Математики изучали соотношение серебра со времен греков (хотя, возможно, не давая специального названия до недавнего времени) из-за его связи с квадратным корнем из 2, его подходящими дробями, квадратными треугольными числами , числами Пелла, восьмиугольниками и т.п.

Описанное выше отношение можно выразить алгебраически:

{\ displaystyle {\ frac {2a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} \ Equiv \ delta _ {S}}

или эквивалентно,

{\ displaystyle 2 + {\ frac {b} {a}} = {\ frac {a} {b}} \ Equiv \ delta _ {S}}

Соотношение серебра также можно определить с помощью простой непрерывной дроби [2; 2, 2, 2, ...]:

{\ displaystyle 2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2 + {\ cfrac {1} {2+ \ ddots}}}}}} = \ delta _ {S}}

В дроби этой непрерывной дроби (2/1, 5/2, 12/5, 29/12, 70/29, ...) являются отношениями последовательных чисел Пелла. Эти дроби обеспечивают точные рациональные приближения серебряного сечения, аналогичные приближению золотого сечения соотношениями последовательных чисел Фибоначчи.

Серебряный прямоугольник соединен с правильным восьмиугольником . Если правильный восьмиугольник разделен на две равнобедренные трапеции и прямоугольник, то прямоугольник представляет собой серебряный прямоугольник с соотношением сторон 1: $δ S$ , а четыре стороны трапеций находятся в соотношении 1: 1: 1: $δ. S$ . Если длина ребра правильного восьмиугольника равна $t$ , то размах восьмиугольника (расстояние между противоположными сторонами) равен $δ S t$ , а площадь восьмиугольника равна $2 δ S t 2$ .

Расчет

Для сравнения, две величины a , b с a > b > 0 считаются находящимися в золотом сечении $φ,$ если,

{\ displaystyle {\ frac {a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ varphi}

Однако они находятся в соотношении серебра $δ S,$ если,

{\ displaystyle {\ frac {2a + b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ delta _ {S}.}

Эквивалентно,

{\ displaystyle 2 + {\ frac {b} {a}} = {\ frac {a} {b}} = \ delta _ {S}}

Следовательно,

{\ displaystyle 2 + {\ frac {1} {\ delta _ {S}}} = \ delta _ {S}.}

Умножение на $δ S$ и перестановка дает

{\ displaystyle {\ delta _ {S}} ^ {2} -2 \ delta _ {S} -1 = 0.}

Используя формулу корней квадратного уравнения, можно получить два решения. Поскольку $δ S$ - это отношение положительных величин, оно обязательно положительно, поэтому

{\ displaystyle \ delta _ {S} = 1 + {\ sqrt {2}} = 2,41421356237 \ dots}

Характеристики

Если от серебряного прямоугольника отрезают два квадрата максимально возможного размера, у вас останется серебряный прямоугольник, с которым процесс может быть повторен ...

Серебряные спирали в серебряном прямоугольнике

Теоретико-числовые свойства

Соотношение серебра - это число Писо – Виджаярагхавана ( число PV), так как его сопряженное $1 - \sqrt 2 = -1 / δ S \approx -0,41$ имеет абсолютное значение меньше 1. Фактически это второе наименьшее квадратичное число PV после золотого сечения. Это означает, что расстояние от $δ п S$ к ближайшему целому числу $1 / δ п S \approx 0,41 п$ . Таким образом, последовательность дробных частей от $б п S$ , $n = 1, 2, 3, ...$ (взятые как элементы тора) сходится. В частности, эта последовательность не является равнораспределенной по модулю 1 .

Полномочия

Младшие степени отношения серебра равны

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {- 1} = 1 \ delta _ {S} -2 = [0; 2,2,2,2,2, \ точки] \ приблизительно 0,41421}

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {0} = 0 \ delta _ {S} + 1 = [1] = 1}

{\ Displaystyle \ delta _ {S} ^ {1} = 1 \ delta _ {S} + 0 = [2; 2,2,2,2,2, \ точки] \ приблизительно 2,41421}

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {2} = 2 \ delta _ {S} + 1 = [5; 1,4,1,4,1, \ dots] \ приблизительно 5,82842}

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {3} = 5 \ delta _ {S} + 2 = [14; 14,14,14, \ dots] \ приблизительно 14.07107}

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {4} = 12 \ delta _ {S} + 5 = [33; 1,32,1,32, \ точки] \ приблизительно 33,97056}

Силы продолжаются по шаблону

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {n} = K_ {n} \ delta _ {S} + K_ {n-1}}

куда

{\ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}

Например, используя это свойство:

{\ displaystyle \ delta _ {S} ^ {5} = 29 \ delta _ {S} + 12 = [82; 82,82,82, \ dots] \ приблизительно 82,01219}

Используя $K 0 = 1$ и $K 1 = 2 в$ качестве начальных условий, формула Бине получается из решения рекуррентного соотношения

{\ displaystyle K_ {n} = 2K_ {n-1} + K_ {n-2}}

который становится

{\ displaystyle K_ {n} = {\ frac {1} {2 {\ sqrt {2}}}} \ left (\ delta _ {S} ^ {n + 1} - {(2- \ delta _ {S })} ^ {n + 1} \ right)}

Тригонометрические свойства

Соотношение серебра тесно связано с тригонометрическими отношениями для $π / 8 = 22,5 °$ .

{\ displaystyle \ sin {\ frac {\ pi} {8}} = {\ frac {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2}}}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {1-1) / \ delta _ {s}}} {2}}}

{\ displaystyle \ cos {\ frac {\ pi} {8}} = {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} {2}} = {\ frac {\ sqrt {1+ \ дельта _ {s}}} {2}}}

{\ displaystyle \ tan {\ frac {\ pi} {8}} = {\ sqrt {2}} - 1 = {\ frac {1} {\ delta _ {s}}}}

{\ displaystyle \ cot {\ frac {\ pi} {8}} = \ tan {\ frac {3 \ pi} {8}} = {\ sqrt {2}} + 1 = \ delta _ {s}}

Таким образом, площадь правильного восьмиугольника с длиной стороны $a$ определяется выражением

{\ displaystyle A = 2a ^ {2} \ cot {\ frac {\ pi} {8}} = 2 (1 + {\ sqrt {2}}) a ^ {2} \ simeq 4.828427a ^ {2}. }

Размеры бумаги и серебряные прямоугольники

Прямоугольник с соотношением сторон серебра (1: √ 2 , приблизительно 1: 1,4142135 в десятичной системе) иногда называют серебряным прямоугольником по аналогии с золотыми прямоугольниками . В размерах бумаги в соответствии с ISO 216 являются такими прямоугольниками. Прямоугольники 1: √ 2 (прямоугольники с формой бумаги ISO 216) обладают тем свойством, что при разрезании прямоугольника пополам по его длинной стороне получаются два меньших прямоугольника с таким же соотношением сторон.

Удаление из такого прямоугольника максимально возможного квадрата оставляет прямоугольник с пропорциями 1: ( √ 2 - 1), что совпадает с (1 + √ 2 ): 1 , соотношением серебра. Удаление самого большого квадрата из полученного прямоугольника снова оставляет квадрат с соотношением сторон 1: √ 2 . Удаление максимально возможного квадрата из любого серебряного прямоугольника дает серебряный прямоугольник другого типа, а затем повторение процесса еще раз дает прямоугольник исходной формы, но меньший линейный коэффициент 1 + √ 2 .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Буитраго, Антония Редондо (2008). «Многоугольники, диагонали и среднее значение бронзы», Nexus Network Journal 9,2: Архитектура и математика , стр. 321-2. Springer Science & Business Media. ISBN 9783764386993 .

внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Серебряное сечение» . MathWorld .
« Введение в непрерывные дроби: серебряные средства », числа Фибоначчи и золотое сечение .
" Серебряный прямоугольник и его последовательность " в Тартапелаге Джорджо Пьетрокола

Languages

In other projects