Соотношение - Ratio

Отношение ширины к высоте телевидения стандартной четкости

В математике , А соотношение показывает , сколько раз один номер содержит другой. Например, если в миске с фруктами восемь апельсинов и шесть лимонов, то соотношение апельсинов и лимонов будет восемь к шести (то есть 8∶6, что эквивалентно соотношению 4∶3). Точно так же соотношение лимонов к апельсинам составляет 6∶8 (или 3∶4), а соотношение апельсинов к общему количеству фруктов составляет 8∶14 (или 4∶7).

Числа в соотношении могут быть количествами любого рода, такими как количество людей или предметов, или такими как измерения длины, веса, времени и т. Д. В большинстве случаев оба числа ограничены положительными значениями.

Отношение может быть указано либо путем указания обоих составляющих чисел, записанных как « a to b » или « ab », либо путем указания только значения их частного. а/б. Равные частные соответствуют равным отношениям.

Следовательно, отношение может рассматриваться как упорядоченная пара чисел, дробь с первым числом в числителе и вторым в знаменателе, или как значение, обозначенное этой дробью. Отношения подсчетов, заданные (ненулевыми) натуральными числами , являются рациональными числами , а иногда могут быть натуральными числами. Когда две величины измеряются одной и той же единицей измерения, как это часто бывает, их отношение является безразмерным числом . Частное двух величин, измеренных в разных единицах измерения, называется нормой .

Обозначения и терминология

Соотношение чисел A и B можно выразить как:

  • отношение A к B
  • АБ
  • A относится к B (когда за ним следует «как C относится к D  »; см. Ниже)
  • фракция с А , как числитель и B в качестве знаменателя , который представляет собой фактор (то есть, делится на B, или ). Это может быть выражено в виде простой или десятичной дроби, или в процентах и ​​т. Д.

Толстой кишки (:) часто используется вместо символа отношения, Unicode U + 2236 (:).

Числа A и B иногда называют членами отношения , где A является антецедентом, а B - следствием .

Заявление , выражающее равенство двух отношений : B и C : D называется пропорция , записывается в виде A : B = C : D или A : BC : D . Эта последняя форма при устной или письменной речи на английском языке часто выражается как

( A относится к B ) так же, как ( C относится к D ).

A , B , C и D называются членами пропорции. A и D называются его крайностями , а B и C - его средними значениями . Равенство трех или более соотношений, например AB = CD = EF , называется непрерывной пропорцией .

Отношения иногда используются с тремя или даже более терминами, например, пропорция для длин кромок « два на четыре », длина которых составляет десять дюймов, поэтому

(неструганные измерения; первые два числа немного уменьшаются при гладкой строгании древесины)

хорошая бетонная смесь (в единицах объема) иногда обозначается как

Для (довольно сухой) смеси из 4/1 части объема цемента и воды можно сказать, что отношение цемента к воде составляет 4∶1, что цемента в 4 раза больше, чем воды, или что имеется четверть (1/4) количества воды, чем цемента.

Смысл такой пропорции соотношений с более чем двумя членами состоит в том, что отношение любых двух членов в левой части равно отношению соответствующих двух членов в правой части.

История и этимология

Можно проследить происхождение слова «ratio» от древнегреческого λόγος ( логос ). Ранние переводчики переводили это на латынь как ratio («разум»; как в слове «рациональный»). Более современная интерпретация значения Евклида больше похожа на вычисление или расчет. Средневековые писатели использовали слово proportio («пропорция») для обозначения ratio и пропорциональности («пропорциональность») для равенства соотношений.

Евклид собрал результаты, появляющиеся в Элементах, из более ранних источников. В пифагорейцы разработала теорию соотношения и пропорции применительно к номерам. Концепция числа пифагорейцев включала только то, что сегодня назвали бы рациональными числами, что ставит под сомнение обоснованность теории в геометрии, где, как также обнаружили пифагорейцы, существуют несоизмеримые отношения (соответствующие иррациональным числам ). Открытие теории соотношений, не предполагающей соизмеримости, вероятно, произошло благодаря Евдоксу Книдскому . Изложение теории пропорций, которое появляется в Книге VII Элементов, отражает более раннюю теорию соотношений соизмеримых.

Существование множественных теорий кажется излишне сложным, поскольку отношения в значительной степени отождествляются с коэффициентами и их предполагаемыми значениями. Однако это сравнительно недавнее развитие, как видно из того факта, что современные учебники геометрии все еще используют четкую терминологию и обозначения для соотношений и частных. Причины этого двоякие: во-первых, было упомянутое ранее нежелание принимать иррациональные числа как истинные числа, а во-вторых, отсутствие широко используемой символики для замены уже установленной терминологии соотношений задерживало полное принятие дробей в качестве альтернативы до тех пор, пока 16 век.

Определения Евклида

Книга V « Элементов» Евклида содержит 18 определений, все из которых относятся к отношениям. Кроме того, Евклид использует идеи, которые были настолько распространены, что он не дал им определений. Первые два определения говорят, что часть количества - это другая величина, которая ее «измеряет», и, наоборот, кратное количеству - это другое количество, которое оно измеряет. В современной терминологии это означает, что кратное количество - это количество, умноженное на целое число больше единицы, а часть количества (означающая аликвотную часть ) - это часть, которая при умножении на целое число больше единицы дает количество.

Евклид не определяет термин «меры» , как используется здесь, однако, можно сделать вывод , что если величина берутся в качестве единицы измерения, а вторая величина определяются как целое число этих единиц, то первое количество мер по второй. Эти определения повторяются, почти дословно, как определения 3 и 5 в книге VII.

Определение 3 описывает, что такое соотношение в целом. Он не является строгим в математическом смысле, и некоторые приписывают его редакторам Евклида, а не самому Евклиду. Евклид определяет соотношение как между двумя величинами одного и того же типа , поэтому этим определением определяются отношения двух длин или двух площадей, но не отношения длины и площади. Определение 4 делает это более строгим. В нем говорится, что существует соотношение двух величин, когда одно из них превышает другое. В современных обозначениях существует соотношение между величинами p и q , если существуют такие целые числа m и n , что mp > q и nq > p . Это состояние известно как свойство Архимеда .

Определение 5 - самое сложное и трудное. Он определяет, что означает равенство двух соотношений. Сегодня это можно сделать, просто заявив, что отношения равны, когда частные членов равны, но такое определение было бы бессмысленным для Евклида. В современных обозначениях, определение Евклида равенства является то , что с учетом величины р , д , г и s , р : дг  : ев , если и только если для любых положительных целых чисел т и п , пр < MQ , нп = MQ , или пр > mq согласно как nr < ms , nr = ms или nr > ms , соответственно. Это определение сродни срезам Дедекинда, поскольку, когда n и q положительны, np обозначает mq какп/q стоит в рациональном числе м/п(разделив оба члена на nq ).

В определении 6 говорится, что количества, имеющие одинаковое соотношение, пропорциональны или пропорциональны . Евклид использует греческое ἀναλόγον (аналог), оно имеет тот же корень, что и λόγος, и связано с английским словом «аналог».

Определение 7 определяет, что означает, что одно отношение меньше или больше другого, и основано на идеях, представленных в определении 5. В современных обозначениях говорится, что данные величины p , q , r и s , pq > rs, если существуют натуральные числа m и n, так что np > mq и nrms .

Как и определение 3, определение 8 рассматривается некоторыми как более поздняя вставка редактора Евклида. Он определяет три члена p , q и r как пропорциональные, когда pqqr . Это расширяется до 4 членов p , q , r и s как pqqrrs , и так далее. Последовательности, которые обладают тем свойством, что соотношение последовательных членов равны, называются геометрическими прогрессиями . Определения 9 и 10 применяют это, говоря , что если р , д и г находятся в пропорции , то р : г является дубликатом соотношение из р : д , и если р , д , г и s находятся в пропорции , то р : ы это отношение трех экземплярах из pq .

Количество терминов и использование дробей

В общем, сравнение количеств отношения двух объектов может быть выражено как дробь, полученная из отношения. Например, при соотношении 2∶3 количество, размер, объем или количество первого объекта соответствует количеству второго объекта.

Если есть 2 апельсина и 3 яблока, соотношение апельсинов к яблокам составляет 2∶3, а соотношение апельсинов к общему количеству кусочков фруктов составляет 2∶5. Эти соотношения также могут быть выражены в виде дробей: апельсинов на 2/3 меньше, чем яблок, и 2/5 кусочков фруктов составляют апельсины. Если концентрат апельсинового сока необходимо разбавить водой в соотношении 1∶4, то одна часть концентрата смешивается с четырьмя частями воды, в результате чего получается пять частей; количество концентрата апельсинового сока составляет 1/4 количества воды, а количество концентрата апельсинового сока составляет 1/5 всей жидкости. И в соотношениях, и в дробях важно четко понимать, что сравнивается с чем, и новички часто делают ошибки по этой причине.

Доли также могут быть выведены из соотношений с более чем двумя объектами; однако соотношение с более чем двумя объектами не может быть полностью преобразовано в одну дробь, потому что дробь может сравнивать только две величины. Отдельная дробь может использоваться для сравнения количеств любых двух объектов, охваченных соотношением: например, из отношения 2∶3∶7 мы можем сделать вывод, что количество второго объекта совпадает с количеством третьего объекта.

Пропорции и процентные соотношения

Если мы умножим все количества, входящие в соотношение, на одно и то же число, соотношение останется в силе. Например, соотношение 3∶2 равно 12∶8. Обычно члены либо сокращают до наименьшего общего знаменателя , либо выражают их в долях на сто ( процентов ).

Если смесь содержит вещества A, B, C и D в соотношении 5∶9∶4∶2, то на каждые 9 частей B приходится 5 частей A, 4 части C и 2 части D. Как 5 + 9 + 4 + 2 = 20, общая смесь содержит 5/20 A (5 частей из 20), 9/20 B, 4/20 C и 2/20 D. Если мы разделим все числа на Всего и умножив на 100, мы преобразовали в проценты : 25% A, 45% B, 20% C и 10% D (эквивалентно записи отношения как 25∶45∶20∶10).

Если два или более соотношения количеств охватывают все количества в конкретной ситуации, говорят, что «целое» содержит сумму частей: например, корзина с фруктами, содержащая два яблока и три апельсина, и никаких других фруктов не производится. состоит из двух частей яблок и трех частей апельсинов. В этом случае, или 40% всего составляет яблоки и , или 60% целого - апельсины. Это сравнение определенного количества со «целым» называется пропорцией.

Если соотношение состоит только из двух значений, его можно представить в виде дроби, в частности, в виде десятичной дроби. Например, более старые телевизоры имеют соотношение сторон 4∶3 , что означает, что ширина составляет 4/3 от высоты (это также можно выразить как 1,33∶1 или просто 1,33 с округлением до двух десятичных знаков). Более современные широкоэкранные телевизоры имеют соотношение сторон 16∶9 или 1,78 с округлением до двух знаков после запятой. Один из популярных широкоформатных форматов фильмов - 2,35х1 или просто 2,35. Представление соотношений в виде десятичных дробей упрощает их сравнение. При сравнении 1,33, 1,78 и 2,35 становится очевидно, какой формат предлагает более широкое изображение. Такое сравнение работает только в том случае, если сравниваемые значения согласованы, например, когда ширина всегда выражается по отношению к высоте.

Снижение

Соотношения можно уменьшить (как и дробные части), разделив каждое количество на общие коэффициенты всех количеств. Что касается дробей, то самой простой формой считается та, в которой числа в соотношении представляют собой наименьшие возможные целые числа.

Таким образом, отношение 40∶60 по смыслу эквивалентно соотношению 2∶3, причем последнее получается из первого путем деления обеих величин на 20. Математически мы пишем 40∶60 = 2∶3 или, что эквивалентно, 40∶60∷ 2∶3. Словесный эквивалент: «40 - 60, 2 - 3».

Отношение, которое имеет целые числа для обеих величин и которое не может быть уменьшено в дальнейшем (с использованием целых чисел), называется простейшей формой или наименьшими значениями.

Иногда полезно записать отношение в форме 1∶ x или x ∶1, где x не обязательно является целым числом, чтобы можно было сравнивать различные отношения. Например, соотношение 4∶5 может быть записано как 1∶1,25 (деление обеих сторон на 4). В качестве альтернативы оно может быть записано как 0,8∶1 (деление обеих сторон на 5).

Если контекст проясняет значение, соотношение в этой форме иногда записывается без 1 и символа отношения (∶), хотя математически это делает его множителем или множителем .

Иррациональные соотношения

Отношения могут также устанавливаться между несоизмеримыми величинами (количествами, отношение которых, как величина дроби, составляет иррациональное число ). Ранний обнаружил пример, найденный по пифагорейцев , является отношение длины диагонали D к длине стороны ев из квадрата , который является квадратный корень из 2 , формально Другим примером является отношение к окружности «ы окружность к его диаметру, который называется π , и является не просто алгебраически иррациональным числом , но трансцендентным иррациональным .

Также хорошо известно золотое сечение двух (в основном) длин a и b , которое определяется соотношением

или, что то же самое

Принимая соотношения в виде дробей и имеющих значение x , получаем уравнение

или

который имеет положительное иррациональное решение. Таким образом, по крайней мере одно из a и b должно быть иррациональным, чтобы они находились в золотом сечении. Пример использования золотого сечения в математике - это предельное значение отношения двух последовательных чисел Фибоначчи : хотя все эти отношения являются отношениями двух целых чисел и, следовательно, являются рациональными, предел последовательности этих рациональных соотношений равен иррациональное золотое сечение.

Аналогичным образом , соотношение серебра из а и б определяется пропорционально

соответствующий

Это уравнение имеет положительное иррациональное решение, поэтому, опять же, по крайней мере одна из двух величин a и b в соотношении серебра должна быть иррациональной.

Шансы

Шансы (как в азартных играх) выражаются в виде отношения. Например, шансы «7 к 3 против» (7∶3) означают, что существует семь шансов, что событие не произойдет, из каждых трех шансов, что оно произойдет. Вероятность успеха 30%. В каждых десяти испытаниях ожидается три победы и семь поражений.

Единицы

Отношения могут быть безразмерными , поскольку в случае, если они связывают величины в единицах одного измерения , даже если их единицы измерения изначально разные. Например, соотношение 1 минута ∶ 40 секунд можно уменьшить, изменив первое значение на 60 секунд, так что соотношение станет 60 секунд ∶ 40 секунд . Если единицы измерения совпадают, их можно не указывать, а соотношение можно уменьшить до 3∶2.

С другой стороны, существуют безразмерные соотношения, также известные как ставки . В химии отношения массовых концентраций обычно выражаются как массовые / объемные доли. Например, концентрация 3% мас. / Об. Обычно означает 3 г вещества на каждые 100 мл раствора. Это не может быть преобразовано в безразмерное соотношение, например вес / вес или объем / объемные доли.

Треугольные координаты

Расположение точек относительно треугольника с вершинами A , B и C и сторонами AB , BC и CA часто выражается в форме расширенного соотношения как треугольные координаты .

В барицентрических координатах точка с координатами α, β, γ - это точка, в которой невесомый лист металла по форме и размеру треугольника точно сбалансировался бы, если бы на вершины были помещены гири, с соотношением весов в A и B является αβ , отношение весов в B и C составляет βγ , и, следовательно, отношение весов в A и C составляет αγ .

В трилинейных координатах точка с координатами x  : y  : z имеет перпендикулярные расстояния до стороны BC (поперек вершины A ) и стороны CA (поперек вершины B ) в соотношении x  ∶ y , расстояния до стороны CA и стороны AB (поперек от C ) в отношении y  ∶ z , и, следовательно, расстояния до сторон BC и AB в отношении x  ∶ z .

Поскольку вся информация выражается в терминах соотношений (отдельные числа, обозначенные как α, β, γ, x, y и z , сами по себе не имеют значения), анализ треугольника с использованием барицентрических или трилинейных координат применяется независимо от размера треугольника. .

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

внешние ссылки