Число Писот – Виджаярагхаван - Pisot–Vijayaraghavan number

В математике число Пизо – Виджаярагхавана , также называемое просто числом Пизо или числом PV , является действительным алгебраическим целым числом больше 1, все сопряжения Галуа которого меньше 1 по модулю . Эти числа были обнаружены Акселем Туэ в 1912 году и повторно открыты Дж. Х. Харди в 1919 году в контексте диофантового приближения . Они стали широко известны после публикации диссертации Чарльза Пизо в 1938 году. Они также встречаются в проблеме единственности рядов Фурье . Тирукканнапурам Виджаярагхаван и Рафаэль Салем продолжили свое обучение в 1940-х годах. Числа Салема - это тесно связанный набор чисел.

Характерным свойством чисел PV является то, что их мощность экспоненциально приближается к целым числам . Пизо доказал замечательное обратное: если α  > 1 - действительное число такое, что последовательность

${\ Displaystyle \ | \ альфа ^ {п} \ |}$

измерения расстояния от своих последовательных полномочий до ближайшего целого числа является квадратично суммируемых или ℓ ² , то α является числом Пизо (и, в частности, алгебраической). Опираясь на эту характеристику номеров PV, Салем показал, что множество S всех номеров PV замкнуто . Его минимальный элемент - кубическая иррациональность, известная как пластическое число . Многое известно о точек накопления в S . Самая маленькая из них - золотое сечение .

Определение и свойства

Алгебраическое число степени п является корнем α из неприводимого унитарного многочлена Р ( х ) степеней п с целыми коэффициентами, его минимальным многочленом . Остальные корни P ( x ) называются сопряженными с α . Если α  > 1, но все другие корни P ( x ) являются действительными или комплексными числами с модулем меньше 1, так что они лежат строго внутри круга | х | = 1 в комплексной плоскости , то α называется число Пизо , число пизо , или просто номер PV . Например, золотое сечение , ф ≈ 1,618, является реальным квадратичным целым числом , которое больше 1, в то время как абсолютное значение его конъюгата, - ф ^-1 ≈ -0,618, меньше 1. Следовательно, ф представляет собой число Пизо . Его минимальный многочлен равен x ² - x - 1.

Элементарные свойства

• Каждое целое число больше 1 является номером PV. И наоборот, каждое рациональное число PV является целым числом больше 1.
• Если α - иррациональное число PV, минимальный многочлен которого заканчивается на k, то α больше, чем | k |. Следовательно, все числа PV меньше 2 являются алгебраическими единицами.
• Если α - число PV, то его степени α ^k равны для всех натуральных показателей k .
• Каждое поле K вещественных алгебраических чисел степени n содержит PV-число степени n . Это число - генератор поля. Множество всех PV-чисел степени n в K замкнуто относительно умножения.
• Принимая во внимание верхнюю границу M и степени п , существует лишь конечное число чисел PV степени п , которые меньше , чем М .
• Каждое число PV является числом Перрона (вещественное алгебраическое число, большее единицы, все сопряженные числа которого имеют меньшее абсолютное значение).

Диофантовы свойства

Основной интерес к числам PV вызван тем, что их мощности имеют очень «смещенное» распределение (mod 1). Если α - число PV, а λ - любое целое алгебраическое число в поле, то последовательность ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ альфа)}$

${\ Displaystyle \ | \ лямбда \ альфа ^ {п} \ |,}$

где || х || обозначает расстояние от действительного числа x до ближайшего целого, приближается к 0 с экспоненциальной скоростью. В частности, это суммируемая с квадратом последовательность, и ее члены сходятся к 0.

Известны два обратных утверждения: они характеризуют числа PV среди всех действительных чисел и среди алгебраических чисел (но при более слабом диофантовом предположении).

• Предположим, что α - действительное число больше 1, а λ - ненулевое действительное число такое, что

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | ^ {2} <\ infty.}$

Тогда α - число Пизо, а λ - алгебраическое число в поле ( теорема Пизо ).${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ альфа)}$

• Предположим, что α - алгебраическое число больше 1, а λ - ненулевое действительное число такое, что

${\ displaystyle \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | \ to 0, \ quad n \ to \ infty.}$

Тогда α - число Пизо, а λ - алгебраическое число в поле .${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ альфа)}$

Многолетняя проблема Пизо-Виджайарагхаван спрашивает , может ли предположение , что α алгебраичен может быть исключена из последнего заявления. Если ответ утвердительный, числа Пизо будут характеризоваться среди всех действительных чисел простой сходимостью || λα ⁿ || равным 0 для некоторого вспомогательного вещественного λ . Известно, что существует только счетное число чисел α с этим свойством. Проблема состоит в том, чтобы решить, является ли какой-либо из них трансцендентным.

Топологические свойства

Множество всех чисел Пизо обозначается S . Поскольку числа Пизо алгебраичны, множество S счетно. Рафаэль Салем доказал, что это множество замкнуто : оно содержит все свои предельные точки . Его доказательство использует конструктивную версию основного диофантова свойства чисел Пизо: для данного числа Пизо α можно выбрать действительное число λ так, чтобы 0 < λ ≤ α и

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | \ lambda \ alpha ^ {n} \ | ^ {2} \ leq 9.}$

Таким образом, ℓ ² норма последовательности || λα ⁿ || можно ограничить равномерной постоянной, не зависящей от α . На последнем этапе доказательства используется характеристика Пизо, чтобы сделать вывод, что предел последовательности чисел Пизо сам по себе является числом Пизо.

Замкнутость S означает наличие минимального элемента . Карл Людвиг Зигель доказал , что положительный корень уравнения х ³ - х - 1 = 0 ( пластик постоянная ) и выделяют в S . Он построил две последовательности чисел Пизы сходящихся к золотой пропорции ф снизу и спрашивает , может ли φ является наималейшей предельной точкой S . Позднее это было доказано Дюфресным и Пизо, которые также определили все элементы S , меньшие φ ; не все они принадлежат двум последовательностям Зигеля. Виджаярагаван доказал, что S имеет бесконечно много предельных точек; фактически, последовательность производных множеств

${\ Displaystyle S, S ', S' ', \ ldots}$

не прекращается. С другой стороны, пересечение этих множеств пусто, что означает, что ранг Кантора – Бендиксона группы S равен ω . Еще более точно, то порядковый тип из S был определен. ${\ Displaystyle S ^ {(\ omega)}}$

Набор чисел Салем , обозначим через Т , тесно связано с S . Было доказано , что S содержится в множестве Т» предельных точек Т . Было высказано предположение о том , что объединение из S и T замкнуто.

Квадратичные иррациональные числа

Если является квадратичным иррациональным, существует только одно сопряжение:, полученное изменением знака квадратного корня в из ${\ Displaystyle \ альфа \,}$${\ displaystyle \ alpha '\,}$${\ Displaystyle \ альфа \,}$

${\ displaystyle \ alpha = a + {\ sqrt {D}} {\ text {to}} \ alpha '= a - {\ sqrt {D}} \,}$

или из

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {a + {\ sqrt {D}}} {2}} {\ text {to}} \ alpha '= {\ frac {a - {\ sqrt {D}}} {2 }}. \,}$

Здесь a и D - целые числа, а во втором случае a нечетно, а D сравнимо с 1 по модулю 4.

Требуемые условия: α  > 1 и −1 <  α '<1. Они выполняются в первом случае именно тогда, когда a  > 0 и либо, либо . Во втором случае они выполняются именно тогда, когда и либо, либо . ${\ Displaystyle (а-1) ^ {2} <D <а ^ {2}}$${\ Displaystyle а ^ {2} <D <(а + 1) ^ {2}}$${\ displaystyle a> 0}$${\ Displaystyle (а-2) ^ {2} <D <а ^ {2}}$${\ Displaystyle а ^ {2} <D <(а + 2) ^ {2}}$

Таким образом, первые несколько квадратичных иррациональных чисел, которые являются числами PV, следующие:

Значение	Корень ...	Численная величина
${\ displaystyle {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -x-1}$	1.618033 ... OEIS :  A001622 ( золотое сечение )
${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {2}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -2x-1}$	2.414213 ... OEIS :  A014176 ( соотношение серебра )
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x + 1}$	2.618033 ... OEIS :  A104457
${\ displaystyle 1 + {\ sqrt {3}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -2x-2}$	2.732050 ... OEIS :  A090388
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {13}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-1}$	3.302775 ... OEIS :  A098316 (третье металлическое среднее )
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {2}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 2}$	3,414213 ...
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {17}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-2}$	3.561552 .. OEIS :  A178255 .
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {3}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x + 1}$	3.732050 ... OEIS :  A019973
${\ displaystyle {\ frac {3 + {\ sqrt {21}}} {2}}}$	${\ displaystyle x ^ {2} -3x-3}$	3.791287 ... OEIS :  A090458
${\ displaystyle 2 + {\ sqrt {5}} \,}$	${\ displaystyle x ^ {2} -4x-1}$	4.236067 ... OEIS :  A098317 (четвертое металлическое среднее)

Полномочия PV-номеров

Числа Пизо – Виджаярагхавана можно использовать для генерации почти целых чисел : n- я степень числа Пизо приближается к целым числам с ростом n . Например,

${\ displaystyle (3 + {\ sqrt {10}}) ^ {6} = 27379 + 8658 {\ sqrt {10}} = 54757.9999817 \ dots \ приблизительно 54758 - {\ frac {1} {54758}}.}$

Поскольку и отличаются только${\ displaystyle 27379 \,}$${\ displaystyle 8658 {\ sqrt {10}} \,}$${\ Displaystyle 0,0000182 \ точки, \,}$

${\ displaystyle {\ frac {27379} {8658}} = 3,162277662 \ точки}$

очень близко к

${\ displaystyle {\ sqrt {10}} = 3,162277660 \ точек.}$

Действительно

${\ displaystyle \ left ({\ frac {27379} {8658}} \ right) ^ {2} = 10 + {\ frac {1} {8658 ^ {2}}}.}$

Соответственно, более высокие степени дают лучшие рациональные приближения.

Это свойство проистекает из того факта, что для каждого n сумма n- х степеней алгебраического целого числа x и его сопряженных элементов является в точности целым числом; это следует из приложения тождеств Ньютона . Когда x является числом Пизо, n- ые степени других сопряженных элементов стремятся к 0, поскольку n стремится к бесконечности. Поскольку сумма является целым числом, расстояние от x ⁿ до ближайшего целого числа стремится к 0 с экспоненциальной скоростью.

Малые числа Пизо

Все числа Пизо, не превышающие золотого сечения φ , были определены Дюфресным и Пизо. В таблице ниже перечислены десять наименьших чисел Пизо в порядке возрастания.

	Значение	Корень ...	Корень ...
1	1.3247179572447460260 OEIS :  A060006 ( пластиковый номер )	${\ Displaystyle х (х ^ {2} -x-1) + (х ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {3} -x-1}$
2	1.3802775690976141157 OEIS :  A086106	${\ displaystyle x ^ {2} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {4} -x ^ {3} -1}$
3	1.4432687912703731076 OEIS :  A228777	${\ displaystyle x ^ {3} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {3} + x ^ {2} -1}$
4	1.4655712318767680267 OEIS :  A092526 ( суперзолотое соотношение )	${\ Displaystyle х ^ {3} (х ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -1}$
5	1.5015948035390873664 OEIS :  A293508	${\ displaystyle x ^ {4} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {6} -x ^ {5} -x ^ {4} + x ^ {2} -1}$
6	1.5341577449142669154 OEIS :  A293509	${\ Displaystyle х ^ {4} (х ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}$
7	1.5452156497327552432 OEIS :  A293557	${\ displaystyle x ^ {5} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {7} -x ^ {6} -x ^ {5} + x ^ {2} -1}$
8	1,5617520677202972947	${\ displaystyle x ^ {3} (x ^ {3} -2x ^ {2} + x-1) + (x-1) (x ^ {2} +1)}$	${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1}$
9	1.5701473121960543629 OEIS :  A293506	${\ displaystyle x ^ {5} (x ^ {2} -x-1) +1}$	${\ displaystyle x ^ {5} -x ^ {4} -x ^ {2} -1}$
10	1,5736789683935169887	${\ displaystyle x ^ {6} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1)}$	${\ displaystyle x ^ {8} -x ^ {7} -x ^ {6} + x ^ {2} -1}$

Поскольку эти числа PV меньше 2, все они являются единицами: их минимальные многочлены заканчиваются на 1 или -1. Многочлены в этой таблице, за исключением

${\ displaystyle x ^ {6} -2x ^ {5} + x ^ {4} -x ^ {2} + x-1,}$

являются факторами либо

${\ Displaystyle х ^ {п} (х ^ {2} -x-1) +1 \,}$

или же

${\ displaystyle x ^ {n} (x ^ {2} -x-1) + (x ^ {2} -1). \}$

Первый многочлен делится на x ²  - 1, если n нечетно, и на x  - 1, когда n четно. У него есть еще один реальный ноль, который является числом PV. Деление любого многочлена на x ⁿ дает выражения, которые приближаются к x ²  -  x  - 1, когда n становится очень большим, и имеют нули, сходящиеся к φ . Дополнительная пара многочленов,

${\ Displaystyle х ^ {п} (х ^ {2} -x-1) -1}$

а также

${\ Displaystyle х ^ {п} (х ^ {2} -x-1) - (х ^ {2} -1) \,}$

дает числа Пизо, приближающиеся к φ сверху.

Рекомендации

• MJ Bertin; А. Декомпс-Гийу; М. Гранде-Юго; М. Патьо-Делефосс; JP Schreiber (1992). Числа Пизо и Салема . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
• Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсии по анализу и теории чисел . CMS Книги по математике. Springer-Verlag . ISBN 0-387-95444-9. Zbl  1020.12001 .Глава. 3.
• Бойд, Дэвид В. (1978). «Числа Пизо и Салема в промежутках действительной прямой» . Математика. Комп . 32 : 1244–1260. DOI : 10.2307 / 2006349 . ISSN  0025-5718 . Zbl  0395.12004 .
• Касселс, JWS (1957). Введение в диофантово приближение . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 45 . Издательство Кембриджского университета . С. 133–144.
• Харди, Г. Х. (1919). «Проблема диофантова приближения». J. Indian Math. Soc . 11 : 205–243.
• Пизо, Чарльз (1938). "La repartition modulo 1 et nombres algébriques". Аня. Sc. Норма. Супер. Пиза II . Сер. 7 (на французском языке): 205–248. Zbl  0019.15502 .
• Салем, Рафаэль (1963). Алгебраические числа и анализ Фурье . Математические монографии Хита. Бостон, Массачусетс: округ Колумбия Хит и компания . Zbl  0126.07802 .
• Туэ, Аксель (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Христиания Виденск. сельск. Скрифтер . 2 (20): 1–15. JFM  44.0480.04 .

Внешние ссылки

• Число Пизо , Математическая энциклопедия
• Терр, Дэвид и Вайсштейн, Эрик В. «Число Пизо» . MathWorld .