Представление (математика) - Representation (mathematics)
В математике , А представление является очень общее соотношение , которое выражает сходство (или эквивалентностей) между математическими объектами или структурами . Грубо говоря, можно сказать, что набор Y математических объектов представляет собой другой набор X объектов, при условии, что свойства и отношения, существующие между представляющими объектами y i , некоторым согласованным образом соответствуют тем, которые существуют среди соответствующих представленных объектов x i. . Более конкретно, задано множество Π свойств и отношений , A Π -представление некоторой структуры X представляет собой структуру Y , которая является образом X под гомоморфизмом , сохраняющий П . Этикетки представление иногда также применяется к самому гомоморфизм (например, групповой гомоморфизм в теории групп ).
Теория представлений
Пожалуй, наиболее хорошо развитый примером этого общего понятия является подполе абстрактной алгебры называемой теорией представлений , который изучает представляющие элементы алгебраических структур с помощью линейных преобразований из векторных пространств .
Другие примеры
Хотя термин « теория представлений» хорошо известен в алгебраическом смысле, о котором говорилось выше, существует множество других применений термина « представление» в математике.
Теория графов
Активная область теории графов - исследование изоморфизмов между графами и другими структурами. Ключевой класс таких проблем проистекает из того факта, что, как и смежность в неориентированных графах , пересечение множеств (или, точнее, не дизъюнктность ) является симметричным отношением . Это приводит к изучению графов пересечений бесчисленных семейств множеств. Один основополагающий результат здесь, из - за Пола Эрдеша и его коллег, является то , что каждый п - вершина графа может быть представлена в терминах пересечения среди подмножеств некоторого множества размера не более чем п 2 /4.
Представление графа с помощью таких алгебраических структур , как его матрица смежности и лапласиана матрицы приводит к области спектральной теории графов .
Теория порядка
Двойственным к наблюдению выше, что каждый граф является графом пересечений, является тот факт, что каждое частично упорядоченное множество (также известное как poset) изоморфно набору множеств, упорядоченных отношением включения (или включения ) ⊆. Некоторые посеты, которые возникают как порядки включения для естественных классов объектов, включают булевы решетки и порядки размерности n .
Многие частичные порядки возникают из (и, следовательно, могут быть представлены) коллекциями геометрических объектов. Среди них n -ball заказов. Порядки с одним шаром - это порядки с интервалом вложения, а порядки с двумя шарами - это так называемые порядки окружности - множества, представимые в терминах включения между дисками на плоскости. Особенно хорошим результатом в этой области является характеристика плоских графов , как тех графов, у которых отношения инцидентности вершин к ребрам являются порядками окружностей.
Есть также геометрические представления, не основанные на включении. В самом деле, одним из наиболее изученных классов среди них являются интервальные порядки , которые представляют частичный порядок в терминах того, что можно было бы назвать непересекающимся приоритетом интервалов на вещественной прямой : каждый элемент x чугуна представлен интервалом [ x 1 , x 2 ], такая, что для любых y и z в ЧУМ, y ниже z тогда и только тогда, когда y 2 < z 1 .
Логика
В логике возможность представления алгебр в виде реляционных структур часто используется для доказательства эквивалентности алгебраической и реляционной семантики . Примеры этого включают в себя представление Стоун о булевых алгебрах в качестве полех множеств , представление Esakia в о гейтинговых алгебрах как гейтинговая алгебра множеств, и изучение представимых алгебр отношений и изображаемых цилиндрических алгебры .
Полисемия
При определенных обстоятельствах, одна функция F : X → Y является одновременно изоморфизмом из нескольких математических структур на X . Поскольку каждую из этих структур можно интуитивно представить себе как значение образа Y (одна из вещей, которые Y пытается нам сказать), это явление называется многозначностью - термин, заимствованный из лингвистики . Вот некоторые примеры многозначности:
- многозначность пересечений - пары графов G 1 и G 2 на общем множестве вершин V, которые могут быть одновременно представлены одним набором множеств S v , так что любые различные вершины u и w в V смежны в G 1 , если и только если их соответствующие множества пересекаются ( S U ∩ S W ≠ O), и смежны в G 2 , если и только если комплементы делать ( S U C ∩ S ш C ≠ O).
- Многозначность конкуренции - мотивируется изучением экологических пищевых сетей , в которых пары видов могут иметь общую добычу или иметь общих хищников. Пара графов G 1 и G 2 на одном множестве вершин является полисемичной по конкуренции, если и только если существует единственный ориентированный граф D на том же множестве вершин, такой, что любые различные вершины u и v смежны в G 1, если и только тогда , когда существует вершина ж , такие , что оба UW и оч.сл. являются дуги в D , и смежны в G 2, если и только если существует вершина ж , такие , что как Wu и WV представляют собой дуги в D .
- Интервал ПОЛИСЕМИЯ -пар ч.у.м. P 1 и P 2 на общий первый набор , который одновременно может быть представлен единственным сбором вещественных интервалов, который является представлением интервала-порядка P 1 и интервал сдерживания представления P 2 .