Нормальное расширение - Normal extension

В абстрактной алгебре , А нормальное расширение является алгебраическим расширением поля L / K , для которых каждый неприводимый многочлен над K , который имеет корень в L , распадается на линейные множители в L . Это одно из условий того, что алгебраические расширения являются расширением Галуа . Бурбаки называет такое расширение квази- расширением Галуа .

Определение

Пусть алгебраическое расширение (т.е. L является алгебраическим расширением К ), такой , что (т.е. L содержится в алгебраическом замыкании на К ). Тогда следующие условия, любое из которых можно рассматривать как определение нормального расширения , эквивалентны: ${\ displaystyle L / K}$${\ Displaystyle L \ substeq {\ overline {K}}}$

• Каждое вложение L в индуцирует автоморфизм L .${\ displaystyle {\ overline {K}}}$
• L - поле расщепления семейства многочленов от .${\ Displaystyle К \ влево [Х \ вправо]}$
• Каждый неприводимый полином , который имеет корень в L расщепляется на линейные множители в L .${\ Displaystyle К \ влево [Х \ вправо]}$

Прочие свойства

Пусть L является расширение поля K . Потом:

• Если L является нормальным расширением K , и если Е является промежуточным расширением (то есть, L  ⊃  E  ⊃  К ), то L представляет собой нормальное расширение Е .
• Если E и F нормальные расширения К содержится в L , то композит EF и E  ∩  F также нормальные расширения К .

Эквивалентные условия нормальности

Позвольте быть алгебраическим. Поле L является нормальным расширением тогда и только тогда, когда выполняется любое из эквивалентных условий, приведенных ниже. ${\ displaystyle L / K}$

• Минимальный многочлен над K каждого элемента из L расщепляется в L ;
• Существует набор многочленов, которые одновременно разбиваются на L , так что если - поля, то S имеет многочлен, который не разбивается на F ;${\ Displaystyle S \ substeq К [х]}$${\ Displaystyle К \ Substeq F \ subsetneq L}$
• Все гомоморфизмы имеют один и тот же образ;${\ displaystyle L \ to {\ bar {K}}}$
• Группа автоморфизмов, из L , который фиксирует элементы из K , транзитивно действует на множестве гомоморфизмов${\ displaystyle {\ text {Aut}} (L / K),}$${\ displaystyle L \ to {\ bar {K}}.}$

Примеры и контрпримеры

Например, является нормальным расширением, поскольку это поле расщепления. С другой стороны, не является нормальным расширением, поскольку неприводимый многочлен имеет в себе один корень (а именно, ), но не все из них (он не имеет невещественные кубические корни из 2). Напомним , что поле из алгебраических чисел является алгебраическое замыкание , что она содержит С, ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle x ^ {2} -2.}$${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle x ^ {3} -2}$${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q},}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$

и, если - примитивный кубический корень из единицы, то отображение ${\ displaystyle \ omega}$ является вложением, в ограничении которого находится тождество. Однако это не автоморфизм${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}})}$${\ displaystyle {\ overline {\ mathbb {Q}}}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$

Для любого простого расширения нормально степени Это поле расщепления Здесь обозначают любой й примитивный корень из единицы . Поле является нормальным закрытием (см. Ниже)${\ displaystyle p,}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{p}] {2}}, \ zeta _ {p})}$${\ displaystyle p (p-1).}$${\ displaystyle x ^ {p} -2.}$${\ displaystyle \ zeta _ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}, \ zeta _ {3})}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} ({\ sqrt [{3}] {2}}).}$

Нормальное закрытие

Если К является полем и L является алгебраическим расширением К , то есть некоторое алгебраическое расширение М из L такое , что М представляет собой нормальное расширение K . Более того, с точностью до изоморфизма существует только одно такое расширение, которое является минимальным, то есть единственное подполе M, которое содержит L и которое является нормальным расширением K, - это само M. Это расширение называется нормальным замыканием удлиняющей L из K .

Если L - конечное расширение K , то его нормальное замыкание также является конечным расширением.

Смотрите также

• Расширение Галуа
• Нормальная основа

Цитаты

использованная литература

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556
• Джейкобсон, Натан (1989), Основная алгебра II (2-е изд.), В. Х. Фриман, ISBN 0-7167-1933-9, Руководство по ремонту  1009787