Аксиома Мартина - Martin's axiom

В математической области теории множеств , аксиома Мартина , введенный Дональд А. Мартин и Роберт М. Соловеем , является утверждением , что не зависит от обычных аксиом теории множеств ZFC . Это подразумевается гипотезой континуума , но согласуется с ZFC и отрицанием гипотезы континуума. Неформально, он говорит , что все кардиналы меньше мощности континуума , ведут себя примерно так . Интуицию, стоящую за этим, можно понять, изучив доказательство леммы Расиовы – Сикорского . Это принцип, который используется для контроля над определенным принуждением. аргументы.

Заявление

Для любого кардинала 𝛋 определим утверждение, обозначенное MA (𝛋):

Для любого частичного порядка P, удовлетворяющего условию счетной цепи (далее ccc), и любого семейства D плотных множеств в P, такого что | D | & Le ; х, есть фильтр F на P такое , что F П д отлична от опорожнить для каждого г в D .

Поскольку это теорема ZFC, которая терпит неудачу, аксиома Мартина сформулирована следующим образом:

Аксиома Мартина (MA): для любого 𝛋 < выполняется MA (𝛋).

В этом случае (для применения ccc) антицепь - это подмножество A в P такое, что любые два различных элемента A несовместимы (два элемента называются совместимыми, если существует общий элемент ниже обоих из них в частичном порядке ). Это отличается, например, от понятия антицепи в контексте деревьев .

просто правда. Это известно как лемма Расиовы – Сикорского .

неверно: [0, 1] - компактное хаусдорфово пространство , которое сепарабельно и, следовательно, ccc. Он не имеет изолированных точек , поэтому точки в нем нигде не плотные, но это объединение многих точек. (См. Условие, эквивалентное приведенному ниже.)

Эквивалентные формы MA (𝛋)

Следующие утверждения эквивалентны MA (𝛋):

  • Если X - компактное хаусдорфово топологическое пространство , удовлетворяющее ccc, то X не является объединением 𝛋 или меньшего числа нигде не плотных подмножеств.
  • Если P - непустое направленное вверх ccc ч.у., а Y - семейство конфинальных подмножеств P с | Y | & Le ; х , то есть вверх-направленное множество таким образом, что встречает каждый элемент Y .
  • Пусть A - ненулевая булева алгебра ccc, а F - семейство подмножеств A с | F | ≤ 𝛋. Тогда существует булев гомоморфизм φ: A → Z / 2 Z такой, что для любого X в F либо существует a в X с φ ( a ) = 1, либо существует верхняя граница b для X с φ ( b ) = 0.

Последствия

Аксиома Мартина имеет ряд других интересных комбинаторных , аналитических и топологических следствий:

  • Объединение 𝛋 или меньшего числа нулевых множеств в безатомной σ-конечной борелевской мере на польском пространстве равно нулю. В частности, объединение х или меньшим числом подмножеств R по мере Лебега 0 также имеет меру Лебега 0.
  • Компактное хаусдорфово пространство X с | X | <2 κ является последовательно компактным , то есть, каждая последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
  • Никакой неглавный ультрафильтр на N не имеет базы мощности <.
  • Эквивалентно для любого х в β N \ N мы имеем х ( х ) ≥ х, где χ является символ из х , и так х (β N ) ≥ х.
  • следует, что произведение топологических пространств ccc есть ccc (это, в свою очередь, означает, что прямых Суслина нет ).
  • MA + ¬CH подразумевает, что существует несвободная группа Уайтхеда ; Шелах использовал это, чтобы показать, что проблема Уайтхеда не зависит от ZFC.

Дальнейшее развитие

использованная литература

дальнейшее чтение