Ультрафильтр - Ultrafilter

Решетка powerset набора {1,2,3,4}, верхний набор ↑ {1,4} окрашен в темно-зеленый цвет. Это основной фильтр , но не ультрафильтр , поскольку его можно расширить до нетривиального фильтра ↑ {1} большего размера, включив также светло-зеленые элементы. Поскольку ↑ {1} не может быть расширен дальше, это ультрафильтр.

В математической области теории порядка , в ультрафильтра на заданном частично упорядоченного множества (или «посета») является некоторое подмножество , а именно максимальный фильтр на , то есть соответствующий фильтр , на который не может быть увеличена до большего надлежащего фильтра на . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$

Если - произвольное множество, то его набор мощности, упорядоченный по включению множества , всегда является булевой алгеброй и, следовательно, poset, и ультрафильтры на множестве обычно называются ультрафильтрами на множестве . Ультрафильтр на множестве можно рассматривать как конечно аддитивную меру на . С этой точки зрения каждое подмножество рассматривается как « почти все » (имеет меру 1) или «почти ничего» (имеет меру 0), в зависимости от того, принадлежит ли оно данному ультрафильтру или нет. ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ WP (X),}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Ультрафильтры имеют множество приложений в теории множеств, теории моделей и топологии .

Ультрафильтры по частичным заказам

В теории порядка , ультрафильтр является подмножеством из частично упорядоченного множества , что является максимальным среди всех собственных фильтров . Это означает, что любой фильтр, который должным образом содержит ультрафильтр, должен быть равен всему poset.

Формально, если это набор, частично упорядоченный к тому времени ${\ displaystyle P}$${\ Displaystyle \, \ Leq \,}$

• подмножество называется фильтром на если ${\ Displaystyle F \ substeq P}$${\ displaystyle P}$
  • ${\ displaystyle F}$ непусто,
  • для каждого существует такой элемент , что и и${\ displaystyle x, y \ in F,}$${\ displaystyle z \ in F}$${\ Displaystyle г \ Leq х}$${\ displaystyle z \ leq y,}$
  • для каждого и подразумевает, что находится в тоже;${\ displaystyle x \ in F}$${\ displaystyle y \ in P,}$ ${\ displaystyle x \ leq y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle F}$
• собственное подмножество из называется ультрафильтром на если ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle P}$
  • ${\ displaystyle U}$это фильтр на и${\ displaystyle P,}$
  • нет надлежащего фильтра на том , что должным образом распространяется (то есть, таким образом, что является собственным подмножеством ).${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle F}$

Типы и наличие ультрафильтров

Каждый ультрафильтр попадает ровно в одну из двух категорий: основные и бесплатные. Основным (или фиксированный , или тривиальное ) ультрафильтр представляет собой фильтр , содержащий наименьший элемент . Следовательно, главные ультрафильтры имеют форму для некоторых (но не всех) элементов данного чугуна. В этом случае называется главным элементом ультрафильтра. Любой ультрафильтр, который не является главным, называется свободным (или неглавным ) ультрафильтром. ${\ Displaystyle F_ {а} = \ {х: а \ leq х \}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Для ультрафильтров в наборе мощности главный ультрафильтр состоит из всех подмножеств, которые содержат данный элемент. Каждый ультрафильтр, который также является основным фильтром, имеет такую ​​форму. Поэтому ультрафильтр на является главным тогда и только тогда , когда оно содержит конечное множество. Если бесконечно, ультрафильтр на это , следовательно , не главным , если и только если она содержит фильтр Фреша из коконечена подмножеств из Если конечно, каждый ультрафильтр является главным. ${\ Displaystyle \ WP (S),}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle s \ in S.}$${\ Displaystyle \ WP (S)}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ WP (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle \ WP (S)}$${\ displaystyle S.}$${\ displaystyle S}$

Каждый фильтр на булевой алгебре (или, в более общем смысле, любое подмножество со свойством конечного пересечения ) содержится в ультрафильтре (см. Лемму об ультрафильтре ), и поэтому свободные ультрафильтры существуют, но доказательства включают аксиому выбора ( AC ) в форме из леммы Цорна . С другой стороны, утверждение, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре, не подразумевает AC . Действительно, это эквивалентно булевой теореме о простом идеале ( BPIT ), хорошо известной промежуточной точке между аксиомами теории множеств Цермело – Френкеля ( ZF ) и теории ZF, дополненной аксиомой выбора ( ZFC ). В общем, доказательства, использующие аксиому выбора, не дают явных примеров свободных ультрафильтров, хотя можно найти явные примеры в некоторых моделях ZFC ; например, Гёдель показал, что это можно сделать в конструируемой вселенной, где можно написать явную функцию глобального выбора. В ZF без аксиомы выбора каждый ультрафильтр может быть главным.

Ультрафильтр на булевой алгебре

Важный частный случай концепции возникает, если рассматриваемый ч.у. является булевой алгеброй . В этом случае, ультрафильтры характеризуются содержанием, для каждого элемента булевой алгебры, ровно один из элементов и ¬ (последний является булева дополнением из ): ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$

Если это булева алгебра и правильный фильтр, то следующие утверждения эквивалентны: ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle P,}$

1. ${\ displaystyle F}$ это ультрафильтр на ${\ displaystyle P,}$
2. ${\ displaystyle F}$является простым фильтром на${\ displaystyle P,}$
3. для каждого либо или (¬ )${\ displaystyle a \ in P,}$${\ displaystyle a \ in F}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ in F.}$

Доказательство утверждения 1. ⇔ 2. также приведено в (Burris, Sankappanavar, 2012, Corollary 3.13, p.133).

Более того, ультрафильтры на булевой алгебре могут быть связаны с максимальными идеалами, а гомоморфизмы - с 2-элементной булевой алгеброй {true, false} (также известной как двузначные морфизмы ) следующим образом:

• Учитывая гомоморфизм булевой алгебры на {true, false}, прообраз «true» является ультрафильтром, а прообраз «false» - максимальным идеалом.
• Для данного максимального идеала булевой алгебры ее дополнение является ультрафильтром, и существует единственный гомоморфизм на {true, false}, переводящий максимальный идеал в «ложь».
• Для данного ультрафильтра на булевой алгебре его дополнение является максимальным идеалом, и существует единственный гомоморфизм на {true, false}, переводящий ультрафильтр в «истину».

Ультрафильтр на powerset комплекта

Для произвольного множества его мощность, упорядоченная по включению множеств , всегда является булевой алгеброй; отсюда и результаты предыдущего раздела. Особый случай: применима булева алгебра . Включенный (ультра) фильтр часто называют просто «(ультра) включенным фильтром ». Приведенные выше формальные определения могут быть конкретизированы для случая набора степеней следующим образом: ${\ displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ WP (X),}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle X}$

Для произвольного набора ультрафильтр - это набор, состоящий из таких подмножеств , что: ${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

1. Пустой набор не является элементом ${\ displaystyle U.}$
2. Если и являются подмножествами множества, являются подмножеством и являются элементом, то также является элементом${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U.}$
3. Если и элементы то и пересечение из и${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B.}$
4. Если является подмножеством, то либо его относительное дополнение, либо его относительное дополнение является элементом${\ displaystyle A}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ displaystyle U.}$

Другим способ смотреть на ультрафильтрах на множестве мощности выглядит следующим образом : для данного Ультрафильтра определить функцию на по настройке , если элемент и в противном случае. Такая функция называется двузначным морфизмом . Тогда это конечно - аддитивная , и , следовательно, содержание на и каждое свойство элементов является либо истинным , почти везде или почти везде ложь. Однако обычно не является счетно аддитивным и, следовательно, не определяет меру в обычном смысле. ${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ WP (X)}$${\ Displaystyle м (А) = 1}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle m (A) = 0}$${\ displaystyle m}$${\ Displaystyle \ WP (X),}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle m}$

Для фильтра, который не является ультрафильтром, можно было бы сказать, если и если оставить undefined в другом месте. ${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle м (А) = 1}$${\ displaystyle A \ in F}$${\ displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle X \ setminus A \ in F,}$${\ displaystyle m}$

Приложения

Ультрафильтры на наборах мощности полезны в топологии , особенно в отношении компактных хаусдорфовых пространств, а также в теории моделей при построении ультрапроизведений и сверхстепеней . Каждый ультрафильтр на компактном хаусдорфовом пространстве сходится ровно к одной точке. Точно так же ультрафильтры на булевых алгебрах играют центральную роль в теореме Стоуна о представлении .

Множество всех ультрафильтров чугуна можно топологизировать естественным образом, что на самом деле тесно связано с вышеупомянутой теоремой о представлении. Для любого элемента из , пусть Это особенно полезно , когда снова булева алгебра, так как в этом случае множество всех является базой для бикомпакту топологии . В частности, при рассмотрении ультрафильтров на Powerset полученное топологическое пространство является камень-чеховское из дискретного пространства от мощности${\ displaystyle G}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D_ {a} = \ left \ {U \ in G: a \ in U \ right \}.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D_ {a}}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ WP (S),}$${\ displaystyle | S |.}$

Ультрапроизведение строительство в модели теории использований ультрафильтрами производить элементарные расширения структур. Например, при построении Гипердействительных чисел как ультрапроизведения из действительных чисел , то область дискурса протягивается от действительных чисел в последовательность действительных чисел. Это пространство последовательностей рассматривается как надмножество вещественных чисел путем отождествления каждого действительного числа с соответствующей постоянной последовательностью. Чтобы распространить знакомые функции и отношения (например, + и <) с вещественных на гиперреальные, естественная идея состоит в том, чтобы определить их точечно. Но это потеряло бы важные логические свойства действительных чисел; например, точечный <не является полным порядком. Поэтому вместо этого функции и отношения определяются « поточечно по модулю » , где - ультрафильтр на множестве индексов последовательностей; по теореме Лоша это сохраняет все свойства вещественных чисел, которые могут быть сформулированы в логике первого порядка . Если неглавно, то полученное расширение нетривиально. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U}$

В геометрической теории групп неглавные ультрафильтры используются для определения асимптотического конуса группы. Эта конструкция дает строгий способ рассмотреть группу с бесконечности , то есть крупномасштабную геометрию группы. Асимптотические конусы являются частными примерами ultralimits из метрических пространств .

Онтологическое доказательство Геделя существования Бога использует в качестве аксиомы, что набор всех «положительных свойств» является ультрафильтром.

В теории социального выбора неглавные ультрафильтры используются для определения правила (называемого функцией общественного благосостояния ) для агрегирования предпочтений бесконечного числа людей. В отличие от теоремы о невозможности Эрроу для конечного числа людей, такое правило удовлетворяет условиям (свойствам), которые предлагает Эрроу (например, Kirman and Sondermann, 1972). Однако Михара (1997, 1999) показывает, что такие правила практически не представляют интереса для социологов, поскольку они неалгоритмичны или невычислимы.

Смотрите также

• Фильтр (математика)  - в математике специальное подмножество частично упорядоченного множества.
• Фильтры в топологии  - использование фильтров для описания и характеристики всех основных топологических понятий и результатов.
• Универсальная сеть

Примечания

использованная литература

Библиография

• Архангельский Александр Владимирович ; Пономарев В.И. (1984). Основы общей топологии: задачи и упражнения . Математика и ее приложения. 13 . Дордрехт Бостон: Д. Рейдел . ISBN 978-90-277-1355-1. OCLC  9944489 .
• Бурбаки, Николас (1989) [1966]. Общая топология: главы 1–4 [ Topologie Générale ]. Éléments de mathématique . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Диксмье, Жак (1984). Общая топология . Тексты для бакалавриата по математике. Перевод Berberian, SK New York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Дугунджи, Джеймс (1966). Топология . Бостон: Аллин и Бэкон. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Часар, Акос (1978). Общая топология . Перевод Часара, Клара. Бристоль, Англия: ISBN Adam Hilger Ltd. 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Jech, Томас (2006). Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-44085-7. OCLC  50422939 .
• Джоши, К.Д. (1983). Введение в общую топологию . Нью-Йорк: ISBN John Wiley and Sons Ltd. 978-0-85226-444-7. OCLC  9218750 .
• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC  175294365 .
• Шуберт, Хорст (1968). Топология . Лондон: Macdonald & Co. ISBN 978-0-356-02077-8. OCLC  463753 .

дальнейшее чтение

• Комфорт, WW (1977). «Ультрафильтры: старые и новые результаты» . Бюллетень Американского математического общества . 83 (4): 417–455. DOI : 10.1090 / S0002-9904-1977-14316-4 . ISSN  0002-9904 . Руководство по ремонту  0454893 .
• Комфорт, WW; Негрепонтис, С. (1974), Теория ультрафильтров , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ультрафильтр в nLab