Координаты Лемэтра - Lemaître coordinates

Часть цикла статей о
Общая теория относительности
${\ Displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Введение История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип относительности Теория относительности Точка зрения Инерциальная система отсчета Рама отдыха Кадр с центром импульса Световой конус Принцип эквивалентности Эквивалентность массы и энергии Специальная теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Масштаб относительности Мировая линия Подходящее время Риманова геометрия Энергетическое состояние
Явления Гравитоэлектромагнетизм Проблема Кеплера Сила тяжести Гравитационное поле Гравитационный колодец Гравитационное линзирование Гравитационные волны Гравитационное красное смещение Красное смещение Синий сдвиг Замедление времени Гравитационное замедление времени Задержка Шапиро Гравитационный потенциал Гравитационное сжатие Гравитационный коллапс Перетаскивание рамки Геодезический эффект Видимый горизонт Горизонт событий Гравитационная сингулярность Обнаженная особенность Черная дыра Белая дыра Пространство-время Космос Время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Замкнутая времениподобная кривая (CTC) Червоточина Червоточина Эллиса
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Инвариант кривизны (общая теория относительности) Лоренцево многообразие Формализмы ADM БССН Ньюман – Пенроуз Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация Супергравитация
Решения Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль – Льюис – Папапетру Вакуумный раствор
Теоремы Теорема Биркгофа Теорема Героха о расщеплении Теорема Гольдберга – Сакса. Теорема Лавлока Теорема об отсутствии волос Теоремы Пенроуза – Хокинга об особенностях Теорема положительной энергии
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Бардин Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новичок Яу Торн другие
v т е

Координаты Леметра - это особый набор координат для метрики Шварцшильда - сферически-симметричного решения уравнений поля Эйнштейна в вакууме - введенный Жоржем Леметром в 1932 году. Переход от координат Шварцшильда к координатам Леметра устраняет координатную сингулярность на радиусе Шварцшильда .

Уравнения

Исходное координатное выражение Шварцшильда для метрики Шварцшильда в натуральных единицах ( c = G = 1 ) дается как

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1- {r_ {s} \ over r} \ right) dt ^ {2} - {dr ^ {2} \ over 1- {r_ {s} \ over r }} - r ^ {2} \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2} \ right) \ ;,}$

где

${\ displaystyle ds ^ {2}}$ - инвариантный интервал ;

${\ displaystyle r_ {s} = 2M}$ - радиус Шварцшильда;

${\ displaystyle M}$ - масса центрального тела;

${\ displaystyle t, r, \ theta, \ phi}$ - координаты Шварцшильда (асимптотически переходящие в плоские сферические координаты );

${\ displaystyle c}$ это скорость света ;

и - гравитационная постоянная . ${\ displaystyle G}$

Эта метрика имеет координатную особенность на радиусе Шварцшильда . ${\ displaystyle r = r_ {s}}$

Жорж Лемэтр был первым, кто показал, что это не реальная физическая особенность, а просто проявление того факта, что статические координаты Шварцшильда не могут быть реализованы с материальными телами внутри радиуса Шварцшильда. Действительно, внутри радиуса Шварцшильда все падает к центру, и физическое тело не может поддерживать постоянный радиус.

Преобразование системы координат Шварцшильда из в новые координаты ${\ Displaystyle \ {т, г \}}$${\ Displaystyle \ {\ тау, \ rho \},}$

${\ displaystyle {\ begin {align} d \ tau = dt + {\ sqrt {\ frac {r_ {s}} {r}}} \, \ left (1 - {\ frac {r_ {s}} {r}) } \ right) ^ {- 1} dr ~ \\ d \ rho = dt + {\ sqrt {\ frac {r} {r_ {s}}}} \, \ left (1 - {\ frac {r_ {s}) } {r}} \ right) ^ {- 1} dr ~ \ end {align}}}$

(числитель и знаменатель поменяны местами внутри квадратных корней), приводит к координатному выражению метрики Лемэтра:

${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ tau ^ {2} - {\ frac {r_ {s}} {r}} d \ rho ^ {2} -r ^ {2} (d \ theta ^ {2 } + \ sin ^ {2} \ theta d \ phi ^ {2})}$

где

${\ displaystyle r = \ left [{\ frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) \ right] ^ {2/3} r_ {s} ^ {1/3} \ ;.}$

Траектории с постоянным ρ являются времениподобными геодезическими, а τ - собственное время вдоль этих геодезических. Они представляют собой движение свободно падающих частиц, которые начинаются с нулевой скорости на бесконечности. В любой момент их скорость равна скорости убегания из этой точки.

В координатах Лемэтра нет сингулярности на радиусе Шварцшильда, который вместо этого соответствует точке . Однако остается настоящая гравитационная сингулярность в центре, где , которую нельзя удалить изменением координат. ${\ displaystyle {\ frac {3} {2}} (\ rho - \ tau) = r_ {s}}$${\ displaystyle \ rho - \ tau = 0}$

Система координат Лемэтра является синхронной , то есть глобальная временная координата метрики определяет собственное время движущихся вместе наблюдателей. Радиально падающие тела достигают радиуса Шварцшильда и центра за конечное собственное время.

По траектории луча радиального света,

${\ displaystyle dr = \ left (\ pm 1 - {\ sqrt {r_ {s} \ over r}} \ right) d \ tau,}$

поэтому ни один сигнал не может выйти изнутри радиуса Шварцшильда, где всегда и световые лучи, испускаемые радиально внутрь и наружу, оба заканчиваются в начале координат. ${\ displaystyle dr <0}$

Смотрите также

• Координаты Крускал-Секерес
• Координаты Эддингтона – Финкельштейна
• Метрика Лемэтра – Толмана
• Введение в математику общей теории относительности
• Тензор напряжения-энергии
• Метрический тензор (общая теория относительности)
• Релятивистский угловой момент

Рекомендации