Метрика Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера - Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker metric

Фридман-Леметр-Robertson-Walker ( FLRW ; / е р я д м ə п л ə м ɛ т г ə  ... / ) метрикой является точным решением из уравнений Эйнштейна в ОТО ; он описывает однородную , изотропную , расширяющуюся (или иначе сжимающуюся) вселенную, которая линейно связана , но не обязательно односвязна . Общий вид метрики следует из геометрических свойств однородности и изотропности; Полевые уравнения Эйнштейна нужны только для получения масштабного фактора Вселенной как функции времени. В зависимости от географических или исторических предпочтений группа из четырех ученых - Александра Фридмана , Жоржа Лемэтра , Ховарда П. Робертсона и Артура Джеффри Уокера - обычно группируется как Фридманн или Фридман-Робертсон-Уокер ( FRW ) или Робертсон-Уокер ( RW ). или Фридман – Лемэтр ( Флорида ). Эту модель иногда называют Стандартной моделью современной космологии , хотя такое описание также связывают с доработанной моделью Лямбда-CDM . Модель FLRW была разработана названными авторами независимо в 1920-х и 1930-х годах.

Общая метрика

Метрика FLRW начинается с предположения об однородности и изотропии пространства. Также предполагается, что пространственный компонент метрики может зависеть от времени. Общая метрика, удовлетворяющая этим условиям:

где распространяется в трехмерном пространстве равномерной кривизны, то есть в эллиптическом пространстве , евклидовом пространстве или гиперболическом пространстве . Обычно он записывается как функция трех пространственных координат, но для этого существует несколько соглашений, подробно описанных ниже. не зависит от t - вся временная зависимость находится в функции a ( t ), известной как « масштабный коэффициент ».

Полярные координаты приведенной окружности

В полярных координатах с приведенной окружностью пространственная метрика имеет вид

k - постоянная, представляющая кривизну пространства. Есть два общепринятых соглашения о единицах измерения:

  • k может иметь единицы длины -2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k тогда является гауссовой кривизной пространства в то время, когда a ( t ) = 1. r иногда называют приведенной окружностью, потому что она равна измеренной длине окружности (при этом значении r ) с центром в начале координат. , деленное на 2 π (как r в координатах Шварцшильда ). Где это уместно, a ( t ) часто выбирается равным 1 в нынешнюю космологическую эру, так что это измеряет сопутствующее расстояние .
  • В качестве альтернативы, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ).

Недостатком уменьшенных координат окружности является то, что они покрывают только половину 3-сферы в случае положительной кривизны - окружности за этой точкой начинают уменьшаться, что приводит к вырождению. (Это не проблема, если пространство эллиптическое , т. Е. 3-сфера с обозначенными противоположными точками.)

Гиперсферические координаты

В гиперсферических или нормированных по кривизне координатах координата r пропорциональна радиальному расстоянию; это дает

где по-прежнему и

Как и прежде, существует два общих соглашения о единицах измерения:

  • k может иметь единицы длины -2 , и в этом случае r имеет единицы длины, а a ( t ) не имеет единиц измерения. k - тогда гауссова кривизна пространства в то время, когда a ( t ) = 1. При необходимости, a ( t ) часто выбирается равным 1 в нынешнюю космологическую эру, так что это измеряет сопутствующее расстояние .
  • В качестве альтернативы, как и раньше, k можно считать принадлежащим набору {-1,0, + 1} (для отрицательной, нулевой и положительной кривизны соответственно). Тогда r безразмерно и a ( t ) имеет единицы длины. Когда k = ± 1, a ( t ) - это радиус кривизны пространства, его также можно записать как R ( t ). Обратите внимание, что когда k = +1, r по существу является третьим углом наряду с θ и φ . Вместо r можно использовать  букву χ .

Хотя это обычно определяется кусочно, как указано выше, S является аналитической функцией как k, так и r . Его также можно записать в виде степенного ряда

или как

где синк является ненормализованной функцией синка и является одним из мнимых, ноля или реальных квадратных корней к . Эти определения верны для всех k .

Декартовы координаты

Когда k = 0, можно просто написать

Это можно продолжить до k ≠ 0, задав

,
, и
,

где r - одна из радиальных координат, определенных выше, но это бывает редко.

Кривизна

Декартовы координаты

В плоском пространстве FLRW с использованием декартовых координат оставшиеся компоненты тензора Риччи равны

а скаляр Риччи равен

Сферические координаты

В более общем пространстве FLRW, использующем сферические координаты (названные выше «полярными координатами уменьшенной окружности»), уцелевшие компоненты тензора Риччи:

а скаляр Риччи равен

Решения

Полевые уравнения Эйнштейна не используются при выводе общей формы для метрики: это следует из геометрических свойств однородности и изотропии. Однако для определения эволюции во времени требуются уравнения поля Эйнштейна вместе со способом вычисления плотности, например, космологическое уравнение состояния .

Эта метрика имеет аналитическое решение уравнений поля Эйнштейна, дающих уравнения Фридмана, когда тензор энергии-импульса аналогичным образом предполагается изотропным и однородным. В результате получаются следующие уравнения:

Эти уравнения являются основой стандартной космологической модели Большого взрыва, включая текущую модель ΛCDM . Поскольку модель FLRW предполагает однородность, некоторые популярные источники ошибочно утверждают, что модель Большого взрыва не может объяснить наблюдаемую кусковость Вселенной. В строго модели FLRW нет скоплений галактик, звезд или людей, поскольку это объекты, намного более плотные, чем типичная часть Вселенной. Тем не менее, модель FLRW используется в качестве первого приближения для эволюции реальной комковатой Вселенной, потому что ее легко вычислить, а модели, которые рассчитывают комковатость во Вселенной, добавляются к моделям FLRW в качестве расширений. Большинство космологов согласны с тем, что наблюдаемая Вселенная хорошо аппроксимируется почти моделью FLRW , то есть моделью, которая следует метрике FLRW, за исключением первичных флуктуаций плотности . По состоянию на 2003 г. теоретические последствия различных расширений модели FLRW, по-видимому, были хорошо поняты, и цель состоит в том, чтобы согласовать их с наблюдениями COBE и WMAP .

Если пространство-время многосвязно , то каждое событие будет представлено более чем одним кортежем координат.

Интерпретация

Приведенная выше пара уравнений эквивалентна следующей паре уравнений

с , индекс пространственной кривизны, служащий постоянной интегрирования для первого уравнения.

Первое уравнение может быть выведено также из термодинамических соображений и эквивалентно первому закону термодинамики , если предположить, что расширение Вселенной является адиабатическим процессом (что неявно предполагается при выводе метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера).

Второе уравнение утверждает, что и плотность энергии, и давление вызывают уменьшение скорости расширения Вселенной , то есть оба вызывают замедление расширения Вселенной. Это следствие гравитации , когда давление играет такую ​​же роль, как плотность энергии (или массы), согласно принципам общей теории относительности . С другой стороны, космологическая постоянная вызывает ускорение расширения Вселенной.

Космологическая постоянная

Космологическая постоянная может быть опущен , если мы сделаем следующие замены

Следовательно, космологическую постоянную можно интерпретировать как возникшую из формы энергии, которая имеет отрицательное давление, равное по величине ее (положительной) плотности энергии:

Такая форма энергии - обобщение понятия космологической постоянной - известна как темная энергия .

Фактически, чтобы получить член, вызывающий ускорение расширения Вселенной, достаточно иметь скалярное поле, удовлетворяющее

Такое поле иногда называют квинтэссенцией .

Ньютоновская интерпретация

Это связано с МакКри и Милном, хотя иногда ошибочно приписывается Фридману. Уравнения Фридмана эквивалентны этой паре уравнений:

Первое уравнение гласит, что уменьшение массы, содержащейся в фиксированном кубе (сторона которого на мгновение равна a ), представляет собой количество, которое уходит через стороны из-за расширения Вселенной, плюс массовый эквивалент работы, выполняемой давлением на материал. быть исключенным. Это сохранение массы-энергии ( первый закон термодинамики ), содержащегося в части Вселенной.

Второе уравнение говорит, что кинетическая энергия (если смотреть из исходной точки) частицы единичной массы, движущейся с расширением, плюс ее (отрицательная) гравитационная потенциальная энергия (относительно массы, содержащейся в сфере материи ближе к исходной точке) равна к константе, связанной с кривизной Вселенной. Другими словами, энергия (относительно начала координат) движущейся частицы в свободном падении сохраняется. Общая теория относительности просто добавляет связь между пространственной кривизной Вселенной и энергией такой частицы: положительная полная энергия подразумевает отрицательную кривизну, а отрицательная полная энергия подразумевает положительную кривизну.

Предполагается, что член космологической постоянной рассматривается как темная энергия и, таким образом, объединен с членами плотности и давления.

В эпоху Планка нельзя пренебрегать квантовыми эффектами. Таким образом, они могут вызвать отклонение от уравнений Фридмана.

Имя и история

Советский математик Александр Фридман впервые получил основные результаты модели FLRW в 1922 и 1924 годах. Хотя престижный физический журнал Zeitschrift für Physik опубликовал его работу, современники не заметили ее. Фридман напрямую общался с Альбертом Эйнштейном , который от имени Zeitschrift für Physik выступал в качестве научного рецензента работы Фридмана. В конце концов Эйнштейн признал правильность расчетов Фридмана, но не смог оценить физическое значение предсказаний Фридмана.

Фридман умер в 1925 году. В 1927 году Жорж Лемэтр , бельгийский священник, астроном и профессор периодической физики в Католическом университете Левена , независимо получил результаты, аналогичные результатам Фридмана, и опубликовал их в Annales de la Société Scientifique de Bruxelles ( Летопись Брюссельского научного общества). Перед лицом наблюдательных данных о расширении Вселенной, полученных Эдвином Хабблом в конце 1920-х годов, результаты Лемэтра были отмечены, в частности, Артуром Эддингтоном , и в 1930–31 годах статья Лемэтра была переведена на английский язык и опубликована в Ежемесячном уведомлении Королевское астрономическое общество .

Ховард П. Робертсон из США и Артур Джеффри Уокер из Великобритании исследовали проблему более подробно в 1930-х годах. В 1935 году Робертсон и Уокер строго доказали, что метрика FLRW является единственной метрикой в ​​пространстве-времени, которая пространственно однородна и изотропна (как отмечалось выше, это геометрический результат и не связан конкретно с уравнениями общей теории относительности, которые всегда предполагались Фридмана и Лемэтра).

Это решение, часто называемое метрикой Робертсона – Уокера, поскольку они доказали его общие свойства, отличается от динамических моделей «Фридмана – Леметра» , которые являются конкретными решениями для a ( t ), которые предполагают, что единственные вклады в энергию напряжения - холодные. материя («пыль»), излучение и космологическая постоянная.

Радиус Вселенной Эйнштейна

Радиус Вселенной Эйнштейна - это радиус кривизны пространства Вселенной Эйнштейна , давно заброшенной статической модели, которая должна была представлять нашу Вселенную в идеализированной форме. Положив

в уравнении Фридмана радиус кривизны пространства этой вселенной (радиус Эйнштейна) равен

,

где - скорость света, - ньютоновская гравитационная постоянная , - плотность пространства этой вселенной. Числовое значение радиуса Эйнштейна составляет порядка 10 10 световых лет .

Доказательство

Объединив данные наблюдений из некоторых экспериментов, таких как WMAP и Planck, с теоретическими результатами теоремы Элерса-Герен-Сакса и ее обобщения, астрофизики теперь соглашаются с тем, что Вселенная почти однородна и изотропна (при усреднении по очень большому масштабу) и, таким образом, почти пространство-время FLRW. При этом попытки подтвердить чисто кинематическую интерпретацию диполя космического микроволнового фона (CMB) посредством исследований радиогалактик и квазаров показывают разногласия по величине. Принимая во внимание чистую монету, эти наблюдения расходятся с описанием Вселенной с помощью метрики FLRW. Более того, можно утверждать, что существует максимальное значение постоянной Хаббла в рамках космологии FLRW, допускаемое текущими наблюдениями, км / с / Мпк, и в зависимости от того, как сходятся локальные определения, это может указывать на объяснение, выходящее за рамки метрики FLRW. Помимо таких предположений, следует подчеркнуть, что метрика FLRW является допустимым первым приближением для Вселенной.

использованная литература

дальнейшее чтение