Первичное разложение - Primary decomposition

В математике , то Ласкер-Нётер утверждает , что каждое нётерово кольцо является Ласкер кольцо , что означает , что каждый идеал может быть разложен как пересечение, называется первичным разложение , из конечного числа первичных идеалов (которые связаны с, но не совсем то же самое как, степени основных идеалов ). Теорема была впервые доказана Эмануэлем Ласкером  ( 1905 ) для частного случая колец многочленов и колец сходящихся степенных рядов, а в полной общности доказана Эмми Нётер  ( 1921 ).

Теорема Ласкера – Нётер является расширением основной теоремы арифметики и, в более общем смысле, фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на все нётеровы кольца. Теорема Ласкера – Нётер играет важную роль в алгебраической геометрии , утверждая, что каждое алгебраическое множество может быть однозначно разложено на конечное объединение неприводимых компонентов .

Он имеет прямое расширение на модули, утверждающее, что каждый подмодуль конечно порожденного модуля над нётеровым кольцом является конечным пересечением примарных подмодулей. Это включает случай колец как частный случай, рассматривая кольцо как модуль над самим собой, так что идеалы являются подмодулями. Это также обобщает форму первичного разложения структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов , а для частного случая колец многочленов над полем оно обобщает разложение алгебраического множества в конечное объединение (неприводимых) многообразий .

Первый алгоритм вычисления примарных разложений для колец многочленов над полем характеристики 0 был опубликован ученицей Нётер Гретой Герман  ( 1926 ). Для некоммутативных нётеровых колец, вообще говоря, разложение не выполняется. Нётер привела пример некоммутативного нётерова кольца с правым идеалом, не являющегося пересечением примарных идеалов.

Первичное разложение идеала

Позвольте быть нётеровым коммутативным кольцом. Идеал из называется первичным , если оно является собственным идеалом и для каждой пары элементов , и в таким образом, что в , либо или некоторая степень в ; эквивалентно, каждый делитель нуля в частном нильпотентен. Радикал первичного идеала является простым идеалом и называется -примарными для . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle xy}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {Q}}}$

Пусть будет идеал в . Затем имеет неизбыточное первичное разложение на первичные идеалы: ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {п} \}$.

Избыточность означает:

• Удаление любого из изменяет пересечения, т.е. для каждого у нас есть: .${\ displaystyle Q_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ cap _ {j \ neq i} Q_ {j} \ not \ subset Q_ {i}}$
• Все первичные идеалы различны.${\ displaystyle {\ sqrt {Q_ {i}}}}$

Причем это разложение уникально по двум причинам:

• Набор однозначно определяется , и${\ displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ displaystyle I}$
• Если является минимальным элементом указанного выше набора, то однозначно определяется посредством ; по сути, это прообраз под картой локализации .${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} = {\ sqrt {Q_ {i}}}}$${\ displaystyle Q_ {i}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle Q_ {i}}$${\ displaystyle IR _ {\ mathfrak {p}}}$ ${\ displaystyle R \ to R _ {\ mathfrak {p}}}$

Первичные идеалы, соответствующие неминимальным первичным идеалам над , в общем случае не уникальны (см. Пример ниже). О существовании разложения см. Раздел # Первичное разложение по ассоциированным простым числам ниже. ${\ displaystyle I}$

Элементы называются простые делители из или простых чисел , принадлежащие . На языке теории модулей, как обсуждается ниже, множество также является набором связанных простых чисел -модуля . Явно, это означает , что существуют элементы в таким образом, что ${\ displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle g_ {1}, \ dots, g_ {n}}$${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle {\ sqrt {Q_ {i}}} = \ {f \ in R \ mid fg_ {i} \ in I \}.}$

В качестве сокращения некоторые авторы называют ассоциированное простое число просто ассоциированным простым числом (обратите внимание, что эта практика будет противоречить использованию в теории модулей). ${\ displaystyle R / I}$${\ displaystyle I}$

• Минимальные элементы такие же, как минимальные простые идеалы, содержащие, и называются изолированными простыми числами .${\ displaystyle \ {{\ sqrt {Q_ {i}}} \ mid i \}}$${\ displaystyle I}$
• С другой стороны, неминимальные элементы называются вложенными простыми числами .

В случае кольца целых чисел теорема Ласкера – Нётер эквивалентна основной теореме арифметики . Если целое число имеет разложение на простые множители , то первичное разложение идеала, порожденного in , равно ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n = \ pm p_ {1} ^ {d_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {d_ {r}}}$${\ Displaystyle \ langle п \ rangle}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

${\ displaystyle \ langle n \ rangle = \ langle p_ {1} ^ {d_ {1}} \ rangle \ cap \ cdots \ cap \ langle p_ {r} ^ {d_ {r}} \ rangle.}$

Аналогичным образом , в уникальной области факторизационной , если элемент имеет простые множители , где представляет собой блок , то первичное разложение главного идеала , порожденное является ${\ displaystyle f = up_ {1} ^ {d_ {1}} \ cdots p_ {r} ^ {d_ {r}},}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ langle f \ rangle = \ langle p_ {1} ^ {d_ {1}} \ rangle \ cap \ cdots \ cap \ langle p_ {r} ^ {d_ {r}} \ rangle.}$

Примеры

Примеры этого раздела предназначены для иллюстрации некоторых свойств первичных разложений, которые могут показаться неожиданными или противоречащими интуиции. Все примеры - идеалы в кольце многочленов над полем k .

Пересечение vs. продукт

Первичное разложение идеала имеет вид ${\ Displaystyle к [х, у, г]}$${\ displaystyle I = \ langle x, yz \ rangle}$

${\ displaystyle I = \ langle x, yz \ rangle = \ langle x, y \ rangle \ cap \ langle x, z \ rangle.}$

Из-за генератора первой степени I не является продуктом двух больших идеалов. Аналогичный пример приводится в двух неопределенностях по

${\ Displaystyle I = \ langle x, y (y + 1) \ rangle = \ langle x, y \ rangle \ cap \ langle x, y + 1 \ rangle.}$

Первичная и основная власть

В , идеал - это первичный идеал, с которым связано простое число. Это не сила связанного с ней прайма. ${\ Displaystyle к [х, у]}$${\ Displaystyle \ langle х, у ^ {2} \ rangle}$${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$

Неединственность и вложенное простое число

Для любого натурального числа n примарным разложением идеала является ${\ Displaystyle к [х, у]}$${\ displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy \ rangle}$

${\ displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy \ rangle = \ langle x \ rangle \ cap \ langle x ^ {2}, xy, y ^ {n} \ rangle.}$

Ассоциированные простые числа:

${\ displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y \ rangle.}$

Пример: Пусть N  =  R  =  k [ x ,  y ] для некоторого поля k , и пусть M - идеал ( xy ,  y ² ). Тогда M имеет два различных минимальных примарных разложения M = ( y ) ∩ ( x , y ² ) = ( y ) ∩ ( x  +  y ,  y ² ). Минимальное простое число - это ( y ), а вложенное простое число - это ( x ,  y ).

Несвязанное простое число между двумя связанными простыми числами

В идеале имеет (неединственное) примарное разложение ${\ Displaystyle к [х, у, г],}$${\ displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy, xz \ rangle}$

${\ displaystyle I = \ langle x ^ {2}, xy, xz \ rangle = \ langle x \ rangle \ cap \ langle x ^ {2}, y ^ {2}, z ^ {2}, xy, xz, yz \ rangle.}$

Ассоциированные первичные идеалы являются и есть несвязанный первичный идеал, такой что ${\ displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y, z \ rangle,}$${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle x \ rangle \ subset \ langle x, y \ rangle \ subset \ langle x, y, z \ rangle.}$

Сложный пример

За исключением очень простых примеров, первичное разложение может быть трудно вычислить и может иметь очень сложный результат. Следующий пример был разработан для обеспечения такого сложного вывода и, тем не менее, доступного для рукописных вычислений.

Позволять

${\ displaystyle {\ begin {align} P & = a_ {0} x ^ {m} + a_ {1} x ^ {m-1} y + \ cdots + a_ {m} y ^ {m} \\ Q & = b_ {0} x ^ {n} + b_ {1} x ^ {n-1} y + \ cdots + b_ {n} y ^ {n} \ end {выровнено}}}$

два однородных полиномов в х , у , коэффициенты которого являются полиномами в других неизвестных над полем к . То есть P и Q принадлежат кольцу, и именно в этом кольце ищется примарное разложение идеала . Для вычисления первичного разложения, мы предполагаем , что первый 1 представляет собой наибольший общий делитель из P и Q . ${\ displaystyle a_ {1}, \ ldots, a_ {m}, b_ {0}, \ ldots, b_ {n}}$${\ displaystyle z_ {1}, \ ldots, z_ {h}}$${\ Displaystyle R = к [х, y, z_ {1}, \ ldots, z_ {h}],}$${\ Displaystyle I = \ langle P, Q \ rangle}$

Это условие означает, что у I нет главного компонента высоты один. Поскольку I порождается двумя элементами, это означает, что это полное пересечение (точнее, оно определяет алгебраическое множество , которое является полным пересечением), и, таким образом, все первичные компоненты имеют высоту два. Поэтому, связанные с простыми числами от I в точности простых чисел идеалов высоты два , которые содержат I .

Отсюда следует , что является ассоциированным расцвете I . ${\ Displaystyle \ langle х, у \ rangle}$

Пусть быть однородным результирующая в х , у из P и Q . Как наибольший общий делитель Р и Q является постоянным, полученный D не равен нулю, и результирующая теория подразумевает , что я содержит все продукты D с помощью мономиальная в х , у степени т + п - 1 . Поскольку все эти мономы принадлежат первичному компоненту, содержащемуся в этом первичном компоненте, он содержит P и Q , и поведение первичных разложений при локализации показывает, что этот первичный компонент ${\ Displaystyle D \ в к [z_ {1}, \ ldots, z_ {h}]}$${\ Displaystyle D \ not \ in \ langle x, y \ rangle,}$${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle.}$

${\ displaystyle \ {t | \ существует e, D ^ {e} t \ in I \}.}$

Короче говоря, у нас есть первичный компонент с очень простым связанным простым числом, так что все его порождающие множества включают в себя все неопределенные. ${\ displaystyle \ langle x, y \ rangle,}$

Другой основной компонент содержит D . Можно доказать , что если Р и Q является достаточно общими (например , если коэффициенты P и Q являются различными неизвестными), то есть только другим первичным компонент, который является простым идеалом, и порождаются P , Q и D .

Геометрическая интерпретация

В алгебраической геометрии , аффинное алгебраическое множество V ( I ) определяется как множество общих нулей идеального I в виде кольца многочленов ${\ displaystyle R = k [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}].}$

Неизбыточное примарное разложение

${\ Displaystyle I = Q_ {1} \ cap \ cdots \ cap Q_ {r}}$

of I определяет разложение V ( I ) в объединение неприводимых алгебраических множеств V ( Q _i ) как не объединение двух меньших алгебраических множеств.

Если это ассоциированное простой из , затем и Ласкера-Нетер теоремы показывает , что V ( I ) имеет единственное несократимое разложение на неприводимые алгебраические многообразия${\ displaystyle P_ {i}}$${\ displaystyle Q_ {i}}$${\ Displaystyle V (P_ {i}) = V (Q_ {i}),}$

${\ Displaystyle V (I) = \ bigcup V (P_ {i}),}$

где объединение ограничено минимальными ассоциированными простыми числами. Эти минимальные связанные с простыми числами являются основными компонентами из радикала от I . По этой причине, примарный радикала I иногда называют простым разложением в I .

Компоненты примарного разложения (а также разложения алгебраических множеств), соответствующие минимальным простым числам, называются изолированными , а остальные компоненты называются изолированными. встроенный .

Для разложения алгебраических многообразий интересны только минимальные простые числа, но в теории пересечений и, в более общем смысле, в теории схем , полное примарное разложение имеет геометрический смысл.

Первичное разложение от связанных простых чисел

В настоящее время в теории ассоциированных простых чисел принято выполнять первичную декомпозицию идеалов и модулей . Этот подход, в частности, используется во влиятельном учебнике Бурбаки « Коммутативность Algèbre» .

Пусть R - кольцо, а M - модуль над ним. По определению, ассоциированный простой простой идеал появляется в наборе = множество аннигиляторов ненулевых элементов M . Эквивалентно, простой идеал является ассоциированным простым числом M, если существует инъекция R -модуля . ${\ displaystyle \ {\ operatorname {Ann} (m) | 0 \ neq m \ in M ​​\}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} \ hookrightarrow M}$

Максимальный элемент множества аннуляторов ненулевых элементов M может быть показано, что простой идеал и , таким образом, когда R представляет собой нётерово кольцо, М равен нулю тогда и только тогда , когда существует связанный с ним расцвете М .

Множество связанных простых чисел M обозначается или . Прямо из определения, ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$

• Если , то .${\ displaystyle M = \ bigoplus _ {i} M_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M) = \ bigcup _ {i} \ operatorname {Ass} (M_ {i})}$
• Для точной последовательности , .${\ Displaystyle 0 \ к N \ к M \ к L \ к 0}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (N) \ subset \ Operatorname {Ass} (M) \ subset \ Operatorname {Ass} (N) \ cup \ operatorname {Ass} (L)}$
• Если R - нётеровское кольцо, то где относится к опоре . Кроме того, набор минимальных элементов такой же, как и набор минимальных элементов .${\ Displaystyle \ OperatorName {Ass} (M) \ subset \ OperatorName {Supp} (M)}$${\ displaystyle \ operatorname {Supp}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$${\ displaystyle \ operatorname {Supp} (M)}$

Если M - конечно порожденный модуль над R , то существует конечная возрастающая последовательность подмодулей

${\ Displaystyle 0 = M_ {0} \ subsetneq M_ {1} \ subsetneq \ cdots \ subsetneq M_ {n-1} \ subsetneq M_ {n} = M \,}$

таким образом, что каждый фактор М _я / М _я-1 изоморфна для некоторых простых идеалов , каждый из которых обязательно в поддержке М . Более того, каждое ассоциированное простое число M встречается среди множества простых чисел ; т.е. ${\ displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M) \ subset \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {n} \} \ subset \ operatorname {Supp} (M)}$.

(В общем, эти включения не являются равенствами.) В частности, является конечным множеством, когда M конечно порождено. ${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M)}$

Пусть конечно порожденный модуль над нётеровым кольцом R и N подмодуль М . Для данного набора связанных простых чисел существуют такие подмодули , что и ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ {{\ mathfrak {p}} _ {1}, \ dots, {\ mathfrak {p}} _ {n} \}}$${\ Displaystyle M / N}$${\ displaystyle Q_ {i} \ subset M}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) = \ {{\ mathfrak {p}} _ {i} \}}$

${\ displaystyle N = \ bigcap _ {i = 1} ^ {n} Q_ {i}.}$

Подмодуль N из M называется -примарная , если . Подмодуль R -модуля R является -первичным как подмодуль тогда и только тогда, когда он является -первичным идеалом; таким образом, когда указанное выше разложение является в точности первичным разложением идеала. ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ {{\ mathfrak {p}} \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle M = R}$

Принимая во внимание , что приведенное выше разложение говорит, что набор ассоциированных простых чисел конечно порожденного модуля M такой же, как и когда (без конечного порождения может быть бесконечно много ассоциированных простых чисел). ${\ displaystyle N = 0}$${\ displaystyle \ {\ operatorname {Ass} (M / Q_ {i}) | я \}}$${\ displaystyle 0 = \ cap _ {1} ^ {n} Q_ {i}}$

Свойства связанных простых чисел

Позвольте быть нётеровым кольцом. Затем ${\ displaystyle R}$

• Множество делителей нуля на R такого же , как объединение соответствующих простых чисел R (это потому , что множество делителей нуля в R является объединением множества аннигиляторов ненулевых элементов, максимальные элементы , которые связаны простые числа ).
• По той же причине объединение ассоциированных простых чисел R -модуля M - это в точности множество делителей нуля на M , то есть такой элемент r , что эндоморфизм не инъективен.${\ displaystyle m \ mapsto rm, от M \ до M}$
• Учитывая подмножество , М R - модуль, то существует подмодуль такое , что и .${\ Displaystyle \ Phi \ subset \ OperatorName {Ass} (M)}$${\ Displaystyle N \ подмножество M}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (N) = \ operatorname {Ass} (M) - \ Phi}$${\ displaystyle \ operatorname {Ass} (M / N) = \ Phi}$
• Пусть будет мультипликативное подмножество, в -модуле и множество всех простых идеалов , не пересекающиеся . Затем ${\ Displaystyle S \ подмножество R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ Phi}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle S}$

  ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto S ^ {- 1} {\ mathfrak {p}}, \, \ operatorname {Ass} _ {R} (M) \ cap \ Phi \ to \ operatorname {Ass } _ {S ^ {- 1} R} (S ^ {- 1} M)}$

это биекция. Также .${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {R} (M) \ cap \ Phi = \ operatorname {Ass} _ {R} (S ^ {- 1} M)}$

• Любой простой идеал, минимальный относительно содержащего идеал J, лежит в. Эти простые числа в точности являются изолированными простыми числами.${\ displaystyle \ mathrm {Ass} _ {R} (R / J).}$
• Модуль M над R имеет конечную длину тогда и только тогда, когда M конечно порожден и состоит из максимальных идеалов.${\ displaystyle \ mathrm {Ass} (M)}$
• Пусть кольцевой гомоморфизм между нетеровскими кольцами и F В - модулем , который является плоским над A . Тогда для каждого А - модуля Е ,${\ displaystyle от A \ до B}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ass} _ {B} (E \ otimes _ {A} F) = \ bigcup _ {{\ mathfrak {p}} \ in \ operatorname {Ass} (E)} \ operatorname {Ass} _ {B} (F / {\ mathfrak {p}} F)}$.

Ненётерианский случай

Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия для того, чтобы кольцо имело примарные разложения своих идеалов.

Доказательство приводится в главе 4 книги Атьи – Макдональда в виде серии упражнений.

Для идеала, имеющего примарное разложение, существует следующая теорема единственности.

Теперь, для любого коммутативного кольца R , идеального I и минимального простого P над I , то прообраз I R _P при отображении локализации является наименьшим Р -примарная идеал , содержащий I . Таким образом, при установлении предыдущей теоремы, первичный идеал Q , соответствующий минимальный простой Р также является наименьшим Р -примарная идеал , содержащий I и называется P -примарная компонент I .

Например, если мощность Р ^п из простого P имеет первичное разложение, то ее Р -примарная компонента является н -го символической мощностью из P .

Аддитивная теория идеалов

Этот результат является первым в области, ныне известной как аддитивная теория идеалов, которая изучает способы представления идеала как пересечения особого класса идеалов. Решение об «особом классе», например, об основных идеалах, само по себе является проблемой. В случае некоммутативных колец класс третичных идеалов является полезной заменой класса первичных идеалов.

Примечания

использованная литература

• М. Атья , И. Г. Макдональд , Введение в коммутативную алгебру , Addison-Wesley , 1994. ISBN  0-201-40751-5
• Бурбаки, коммутативная Альгебра .
• Данилов В.И. (2001) [1994], "Кольцо Ласкера" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра , Тексты для выпускников по математике, 150 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-5350-1 , ISBN 978-0-387-94268-1, MR  1322960, особенно раздел 3.3.
• Герман, Грета (1926), "Die Frage дер Endlich Vielen Schritte в дер Теорье дер Polynomideale" , Mathematische Annalen (на немецком языке ), 95 : 736-788, DOI : 10.1007 / BF01206635. Английский перевод в Коммуникациях в компьютерной алгебре 32/3 (1998): 8–30.
• Ласкер, Э. (1905), "Zur Theorie der Moduln und Ideale" , Math. Аня. , 60 : 19-116, DOI : 10.1007 / BF01447495
• Марков, В.Т. (2001) [1994], "Первичное разложение" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мацумура, Хидеюки (1970), Коммутативная алгебра
• Нётер, Эмми (1921), "Idealtheorie в Ringbereichen" , Mathematische Annalen , 83 (1): 24-66, DOI : 10.1007 / BF01464225
• Кертис, Чарльз (1952), "Об аддитивной теории идеального в общих колец", Американский журнал математики , The Johns Hopkins University Press, 74 (3): 687-700, DOI : 10,2307 / 2372273 , JSTOR  2372273
• Крулл, Вольфганг (1928), "Zur Теорье дер zweiseitigen Ideale в nichtkommutativen Bereichen", Mathematische Zeitschrift , 28 (1): 481-503, DOI : 10.1007 / BF01181179

внешние ссылки

• "Первичное разложение по-прежнему важно?" . MathOverflow . 21 августа 2012 г.