Оператор Лапласа – Бельтрами - Laplace–Beltrami operator

В дифференциальной геометрии , то оператор Лапласа-Бельтрами является обобщением оператора Лапласа для функций , определенных на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, даже в более общем плане , на римановой и псевдоримановых многообразий . Он назван в честь Пьера-Симона Лапласа и Эухенио Бельтрами .

Для любой дважды дифференцируемой вещественнозначной функции f, определенной на евклидовом пространстве R ⁿ , оператор Лапласа (также известный как лапласиан ) переводит f в дивергенцию его градиентного векторного поля, которое является суммой n вторых производных от f с относительно каждого вектора ортонормированного базиса для R ⁿ . Как и лапласиан, оператор Лапласа – Бельтрами определяется как дивергенция градиента и представляет собой линейный оператор, переводящий функции в функции. Оператор может быть расширен для работы с тензорами как дивергенция ковариантной производной. В качестве альтернативы оператор может быть обобщен для работы с дифференциальными формами с использованием дивергенции и внешней производной . Результирующий оператор называется оператором Лапласа – де Рама (назван в честь Жоржа де Рама ).

Подробности

Оператор Лапласа-Бельтрами, как лапласиана, является расходимость от градиента :

${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla \ cdot \ nabla f.}$

Возможна явная формула в локальных координатах .

Предположим сначала, что M - ориентированное риманово многообразие . Ориентация позволяет задать определенную форму объема на M , заданную в ориентированной системе координат x ⁱ формулой

${\ displaystyle \ operatorname {vol} _ {n}: = {\ sqrt {| g |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}$

где | г | : = | det ( g _ij ) | это абсолютное значение в определителе из метрического тензора , а дй ^я являюсь 1-формой , образующая двойной раму к раме

${\ displaystyle \ partial _ {i}: = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}}$

касательного пучка и является произведением клина . ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ клин}$

Дивергенция векторного поля X на многообразии тогда определяется как скалярная функция со свойством

${\ displaystyle (\ nabla \ cdot X) \ operatorname {vol} _ {n}: = L_ {X} \ operatorname {vol} _ {n}}$

где L _Х представляет собой производную Ли вдоль векторного поля X . В локальных координатах получаем

${\ displaystyle \ nabla \ cdot X = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} X ^ {i} \ right )}$

где подразумевается обозначение Эйнштейна , так что повторяющийся индекс i суммируется.

Градиент скалярной функции ƒ - это векторное поле grad f, которое может быть определено через скалярное произведение на многообразии, как ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ OperatorName {grad} f (x), v_ {x} \ rangle = df (x) (v_ {x})}$

для всех векторов v _х якорь в точке х в касательное пространство Т _х М многообразия в точке х . Здесь d ƒ - внешняя производная функции; это 1-форма, принимающая аргумент v _x . В локальных координатах

${\ displaystyle \ left (\ operatorname {grad} f \ right) ^ {i} = \ partial ^ {i} f = g ^ {ij} \ partial _ {j} f}$

где г ^IJ являются компонентами обратной метрического тензора, так что г ^IJ г _JK = δ ^я _к с δ ^я _K в Кронекера .

Комбинируя определения градиента и дивергенции, формула для оператора Лапласа – Бельтрами, примененная к скалярной функции ƒ, имеет вид в локальных координатах

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} g ^ {ij} \ partial _ { j} f \ right).}$

Если M не ориентирован, то приведенный выше расчет выполняется точно так, как представлено, за исключением того, что форма объема должна быть заменена элементом объема ( плотностью, а не формой). На самом деле ни градиент, ни расходимость не зависят от выбора ориентации, поэтому сам оператор Лапласа – Бельтрами не зависит от этой дополнительной структуры.

Формальная самосопряженность

Внешняя производная d и −∇. формальные сопряженные, в том смысле , что для ƒ финитной функции в

${\ displaystyle \ int _ {M} df (X) \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} f \ nabla \ cdot X \ operatorname {vol} _ {n}}$     (доказательство)

где последнее равенство является применением теоремы Стокса . Дуализация дает

${\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \, \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \, \ operatorname {vol} _ { n}}$

( 2 )

для всех функций и h с компактным носителем . Наоборот, ( 2 ) полностью характеризует оператор Лапласа – Бельтрами в том смысле, что это единственный оператор с таким свойством.

Как следствие, оператор Лапласа-Бельтрами отрицательно и формально самосопряженный, а это означает , что для финитных функций ƒ и ч ,

${\ displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \ operatorname {vol} _ {n} = \ int _ {M} h \, \ Delta f \ operatorname {vol} _ {n}.}$

Поскольку оператор Лапласа – Бельтрами, как он определен таким образом, является скорее отрицательным, чем положительным, часто он определяется с противоположным знаком.

Собственные значения оператора Лапласа – Бельтрами (теорема Лихнеровича – Обаты)

Обозначим через M компактное риманово многообразие без края. Мы хотим рассмотреть уравнение на собственные значения,

${\ displaystyle - \ Delta u = \ lambda u,}$

где - собственная функция, связанная с собственным значением . Используя доказанную выше самосопряженность, можно показать, что собственные значения действительны. Компактность многообразия M позволяет показать, что собственные значения дискретны и, кроме того, векторное пространство собственных функций, связанных с данным собственным значением , т. Е. Все собственные подпространства конечномерны. Обратите внимание, что, взяв постоянную функцию в качестве собственной функции, мы получаем собственное значение. Кроме того, поскольку мы рассмотрели интеграцию по частям, это показывает . Точнее, если мы умножим собственное значение eqn. через собственную функцию и проинтегрируем полученное уравнение. на получаем (используя обозначения ) ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = 0}$${\ displaystyle - \ Delta}$${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$${\ displaystyle u}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle dV = \ operatorname {vol} _ {n}}$

${\ displaystyle - \ int _ {M} \ Delta u \ u \ dV = \ lambda \ int _ {M} u ^ {2} \ dV}$

Выполнение интегрирования по частям или что то же самое, что использование теоремы о расходимости для члена слева, и поскольку не имеет границы, мы получаем ${\ displaystyle M}$

${\ displaystyle - \ int _ {M} \ Delta u \ u \ dV = \ int _ {M} | \ nabla u | ^ {2} \ dV}$

Соединяя два последних уравнения вместе, получаем

${\ displaystyle \ int _ {M} | \ nabla u | ^ {2} \ dV = \ lambda \ int _ {M} u ^ {2} \ dV}$

Из последнего уравнения заключаем, что . ${\ displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Фундаментальный результат Андре Лихнеровича утверждает, что: Для компактного n- мерного риманова многообразия без границы с . Предположим, что кривизна Риччи удовлетворяет нижней границе: ${\ Displaystyle п \ geq 2}$

${\ displaystyle \ operatorname {Ric} (X, X) \ geq \ kappa g (X, X), \ kappa> 0,}$

где - метрический тензор, - любой касательный вектор на многообразии . Тогда первое положительное собственное значение уравнения на собственные значения удовлетворяет нижней оценке: ${\ Displaystyle г (\ cdot, \ cdot)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} \ geq {\ frac {n} {n-1}} \ kappa.}$

Эта нижняя граница точна и достигается на сфере . Фактически, собственное подпространство для трехмерно и охвачено ограничением координатных функций от до . Используя сферические координаты , на двумерной сфере установите ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ Displaystyle (\ тета, \ фи)}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$

${\ Displaystyle x_ {3} = \ соз \ phi = u_ {1},}$

мы легко видим из формулы для сферического лапласиана, показанной ниже, что

${\ displaystyle - \ Delta _ {\ mathbb {S} ^ {2}} u_ {1} = 2u_ {1}}$

Таким образом, нижняя оценка в теореме Лихнеровича достигается по крайней мере в двух измерениях.

С другой стороны это было доказано Морио Обатом, что если п - мерное компактное риманово многообразие без краев было таково , что для первого положительного собственных один имеет, ${\ displaystyle \ lambda _ {1}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {n} {n-1}} \ kappa,}$

то многообразие изометрично n- мерной сфере , сфере радиуса . Доказательства всех этих утверждений можно найти в книге Исаака Чавела. Аналогичные точные оценки справедливы и для других геометрий и для некоторых вырожденных лапласианов, связанных с этими геометриями, например лапласиана Кона (после Джозефа Дж. Кона ) на компактном CR-многообразии . Имеются приложения к глобальному вложению таких CR-многообразий в${\ displaystyle \ mathbb {S} ^ {n} (1 / {\ sqrt {\ kappa}})}$${\ displaystyle 1 / {\ sqrt {\ kappa}}}$${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Тензорный лапласиан

Оператор Лапласа – Бельтрами может быть записан с использованием следа (или сжатия) повторной ковариантной производной, связанной со связностью Леви-Чивиты. Гессиан (тензор) функции является симметричным 2-тензор ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ displaystyle {\ mbox {Hess}} f \ in \ mathbf {\ Gamma} ({\ mathsf {T}} ^ {*} M \ otimes {\ mathsf {T}} ^ {*} M)}$, ,${\ Displaystyle {\ mbox {Hess}} е: = \ набла ^ {2} е \ эквив \ набла \ набла ф \ эквив \ набла \ mathrm {d} f}$

где df обозначает (внешнюю) производную функции f .

Пусть X _i - базис касательных векторных полей (не обязательно индуцированных системой координат). Тогда компоненты Гесса f задаются формулами

${\ displaystyle ({\ mbox {Hess}} f) _ {ij} = {\ mbox {Hess}} f (X_ {i}, X_ {j}) = \ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} f- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ {j}} f}$

Легко видеть, что это тензорно трансформируется, поскольку оно линейно по каждому из аргументов X _i , X _j . Тогда оператор Лапласа – Бельтрами является следом (или сжатием ) гессиана относительно метрики:

${\ displaystyle \ displaystyle \ Delta f: = \ mathrm {tr} \ nabla \ mathrm {d} f \ in {\ mathsf {C}} ^ {\ infty} (M)}$.

Точнее, это означает

${\ displaystyle \ displaystyle \ Delta f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla \ mathrm {d} f (X_ {i}, X_ {i})}$,

или с точки зрения метрики

${\ displaystyle \ Delta f = \ sum _ {ij} g ^ {ij} ({\ mbox {Hess}} f) _ {ij}.}$

В абстрактных индексах оператор часто пишется

${\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {a} \ nabla _ {a} f}$

при условии, что неявно понимается, что этот след на самом деле является следом тензора Гессе .

Поскольку ковариантная производная канонически продолжается на произвольные тензоры , оператор Лапласа – Бельтрами, определенный на тензоре T формулой

${\ displaystyle \ Delta T = g ^ {ij} \ left (\ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} T- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ { j}} T \ right)}$

четко определено.

Оператор Лапласа – де Рама

В более общем смысле, можно определить лапласов дифференциальный оператор на сечениях расслоения дифференциальных форм на псевдоримановом многообразии . На римановом многообразии это эллиптический оператор , а на лоренцевом многообразии - гиперболический . Оператор Лапласа – де Рама определяется формулой

${\ Displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d} = (\ mathrm {d} + \ delta) ^ {2}, \;}$

где d - внешняя производная или дифференциал, а δ - кодифференциал , действующий как (−1) ^{kn + n +1} ∗ d ∗ на k -формах, где ∗ - звезда Ходжа . Оператор первого порядка - это оператор Ходжа-Диракта. ${\ displaystyle \ mathrm {d} + \ delta}$

При вычислении оператора Лапласа – Бельтрами над скалярной функцией f имеем δf = 0 , так что

${\ displaystyle \ Delta f = \ delta \, \ mathrm {d} f.}$

С точностью до общего знака оператор Лапласа – де Рама эквивалентен предыдущему определению оператора Лапласа – Бельтрами при действии на скалярную функцию; подробности см. в доказательстве . На функциях оператор Лапласа – де Рама фактически является отрицательным по отношению к оператору Лапласа – Бельтрами, поскольку обычная нормализация кодифференциала гарантирует, что оператор Лапласа – де Рама (формально) положительно определен , тогда как оператор Лапласа – Бельтрами обычно отрицательный. Знак - это просто условность, и оба они распространены в литературе. Оператор Лапласа – де Рама более существенно отличается от тензорного лапласиана, ограниченного действием на кососимметричные тензоры. Помимо случайного знака, два оператора отличаются тождеством Вайтценбека, которое явно включает тензор кривизны Риччи .

Примеры

Многие примеры оператора Лапласа – Бельтрами могут быть получены в явном виде.

Евклидово пространство

В обычных (ортонормированных) декартовых координатах x ⁱ на евклидовом пространстве метрика сводится к дельте Кронекера и, следовательно, имеет . Следовательно, в этом случае ${\ Displaystyle | г | = 1}$

${\ displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ partial _ {i} {\ sqrt {| g |}} \ partial ^ {i} f = \ partial _ { i} \ partial ^ {i} f}$

который является обычным лапласианом. В криволинейных координатах , таких как сферические или цилиндрические координаты , можно получить альтернативные выражения .

Аналогично, оператор Лапласа – Бельтрами, соответствующий метрике Минковского с сигнатурой (- + + +), является даламбертианом .

Сферический лапласиан

Сферический лапласиан - это оператор Лапласа – Бельтрами на ( n - 1) -сфере с его канонической метрикой постоянной секционной кривизны 1. Удобно рассматривать сферу, изометрически вложенную в R ^n, как единичную сферу с центром в начале координат. Тогда для функции f на S ^{n −1} сферический лапласиан определяется формулой

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} f (x) = \ Delta f (x / | x |)}$

где f ( x / | x |) - однородное продолжение нулевой степени функции f на R ⁿ  - {0}, а также лапласиан объемлющего евклидова пространства. Конкретно это подразумевается известной формулой евклидова лапласиана в сферических полярных координатах: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle \ Delta f = r ^ {1-n} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {n-1} {\ frac {\ partial f} {\ partial r} } \ right) + r ^ {- 2} \ Delta _ {S ^ {n-1}} f.}$

В более общем плане можно сформулировать аналогичный трюк, используя нормальное расслоение, чтобы определить оператор Лапласа – Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного как гиперповерхность евклидова пространства.

Можно также дать внутреннее описание оператора Лапласа – Бельтрами на сфере в нормальной системе координат . Пусть ( ϕ , ξ ) - сферические координаты на сфере относительно определенной точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p . Здесь ϕ представляет собой измерение широты вдоль геодезической единичной скорости от p , а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в S ^{n −1} . Тогда сферический лапласиан имеет вид:

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} е (\ xi, \ phi) = (\ sin \ phi) ^ {2-n} {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ left ((\ sin \ phi) ^ {n-2} {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) + (\ sin \ phi) ^ {- 2} \ Delta _ {\ xi} f}$

где - оператор Лапласа – Бельтрами на обычной единичной ( n - 2) -сфере. В частности, для обычной 2-сферы с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем: ${\ displaystyle \ Delta _ {\ xi}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {2}} е (\ тета, \ phi) = (\ sin \ phi) ^ {- 1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ left ( \ sin \ phi {\ frac {\ partial f} {\ partial \ phi}} \ right) + (\ sin \ phi) ^ {- 2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ theta ^ {2}}} f}$

Гиперболическое пространство

Аналогичная техника работает в гиперболическом пространстве . Здесь гиперболическое пространство H ^{n −1} может быть вложено в n- мерное пространство Минковского , вещественное векторное пространство, снабженное квадратичной формой

${\ displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2}.}$

Тогда H ⁿ - это подмножество будущего нулевого конуса в пространстве Минковского, заданное формулой

${\ displaystyle H ^ {n} = \ {x \ mid q (x) = 1, x_ {1}> 1 \}. \,}$

потом

${\ displaystyle \ Delta _ {H ^ {n-1}} f = \ left. \ Box f \ left (x / q (x) ^ {1/2} \ right) \ right | _ {H ^ {n -1}}}$

Здесь однородное продолжение нулевой степени функции f внутрь будущего нулевого конуса, а □ - волновой оператор${\ Displaystyle f (х / д (х) ^ {1/2})}$

${\ displaystyle \ Box = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ {1} ^ {2}}} - \ cdots - {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x_ { n} ^ {2}}}.}$

Оператор также можно записать в полярных координатах. Пусть ( t , ξ ) - сферические координаты на сфере относительно определенной точки p на H ^{n −1} (скажем, центра диска Пуанкаре ). Здесь t представляет собой гиперболическое расстояние от p, а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в S ^{n −2} . Тогда гиперболический лапласиан имеет вид:

${\ displaystyle \ Delta _ {H ^ {n-1}} f (t, \ xi) = \ sinh (t) ^ {2-n} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ( \ sinh (t) ^ {n-2} {\ frac {\ partial f} {\ partial t}} \ right) + \ sinh (t) ^ {- 2} \ Delta _ {\ xi} f}$

где - оператор Лапласа – Бельтрами на обычной единичной ( n  - 2) -сфере. В частности, для гиперболической плоскости с использованием стандартных обозначений полярных координат получаем: ${\ displaystyle \ Delta _ {\ xi}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {H ^ {2}} f (r, \ theta) = \ sinh (r) ^ {- 1} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (\ sinh ( r) {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} \ right) + \ sinh (r) ^ {- 2} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ theta ^ {2} }} f}$

Смотрите также

• Ковариантная производная
• Лапласовские операторы в дифференциальной геометрии
• Оператор Лапласа

Примечания

использованная литература

• Flanders, Harley (1989), Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Соломенцев, ЭД; Шикин, Е.В. (2001) [1994], "Уравнение Лапласа – Бельтрами" , Энциклопедия математики , EMS Press