Плотность на коллекторе - Density on a manifold

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии , плотность - это пространственно изменяющаяся величина на дифференцируемом многообразии, которая может быть интегрирована внутренним образом. Абстрактно, плотность является раздел определенного линейного расслоения , называется расслоением плотности . Элемент плотностного расслоения в точке x - это функция, которая назначает объем для параллелоэдра, натянутого на n заданных касательных векторов в точке x .

С операционной точки зрения, плотность - это набор функций на координатных диаграммах, которые умножаются на абсолютное значение определителя Якоби при изменении координат. Плотности можно обобщить до s -плотностей , координатные представления которых умножаются на s-ю степень абсолютного значения определителя якобиана. На ориентированном многообразии , 1-плотности могут быть канонической идентифицированы с п -формами на M . На неориентируемых многообразиях такое отождествление невозможно, так как расслоение плотности является тензорным произведением расслоения ориентации M и n -го внешнего расслоения произведения T ^∗ M (см. Псевдотензор ).

Мотивация (плотности в векторных пространствах)

В общем, не существует естественное понятие «объема» для параллелоэдра , порожденного векторами v ₁ , ..., V _н в п - мерном векторном пространстве V . Однако, если кто-то хочет определить функцию μ  : V × ... × V → R, которая задает объем для любого такого параллелоэдра, она должна удовлетворять следующим свойствам:

• Если любой из векторов v _k умножить на λ ∈ R , объем следует умножить на | λ |.
• Если к вектору v _j добавить любую линейную комбинацию векторов v ₁ , ..., v _{j −1} , v _{j +1} , ..., v _n , объем должен оставаться неизменным.

Эти условия эквивалентны утверждению, что μ задается трансляционно-инвариантной мерой на V , и их можно перефразировать как

${\ displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ left | \ det A \ right | \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ в \ operatorname {GL} (V).}$

Любое такое отображение μ  : V × ... × V → R называется плотностью на векторном пространстве V . Заметим, что если ( v ₁ , ..., v _n ) является любой базой для V , то фиксация μ ( v ₁ , ..., v _n ) полностью зафиксирует μ ; отсюда следует, что множество Vol ( V ) всех плотностей на V образует одномерное векторное пространство. Любая n -форма ω на V определяет плотность | ω | на V пользователем

${\ displaystyle | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) |.}$

Ориентации в векторном пространстве

Множество Or ( V ) всех функций o  : V × ... × V → R , удовлетворяющих

${\ displaystyle o (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ operatorname {sign} (\ det A) o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V)}$

образует одномерное векторное пространство, а ориентация на V - это один из двух элементов o ∈ Or ( V ) таких, что | o ( v ₁ , ..., v _n ) | = 1 для любых линейно независимых v ₁ , ..., v _n . Любая ненулевая n -форма ω на V определяет ориентацию o ∈ Or ( V ) такую, что

${\ displaystyle o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | \ omega | (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ { n}),}$

и наоборот, любой o ∈ Or ( V ) и любая плотность μ ∈ Vol ( V ) определяют n -форму ω на V формулой

${\ displaystyle \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) = o (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n} ).}$

В терминах тензорных произведений пространств ,

${\ displaystyle \ operatorname {Or} (V) \ otimes \ operatorname {Vol} (V) = \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}, \ quad \ operatorname {Vol} (V) = \ operatorname {Or} (V) \ otimes \ bigwedge ^ {n} V ^ {*}.}$

s -плотности в векторном пространстве

Ев -densities на V являются функциями х  : V × ... × V → R такое , что

${\ displaystyle \ mu (Av_ {1}, \ ldots, Av_ {n}) = \ left | \ det A \ right | ^ {s} \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}), \ quad A \ in \ operatorname {GL} (V).}$

Как и плотности, s -плотности образуют одномерное векторное пространство Vol ^s ( V ), и любая n -форма ω на V определяет s- плотность | ω | ^s на V - пользователем

${\ displaystyle | \ omega | ^ {s} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = | \ omega (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) | ^ {s}. }$

Произведение s ₁ - и s ₂ -плотностей μ ₁ и μ ₂ образуют ( s ₁ + s ₂ ) -плотность μ по формуле

${\ displaystyle \ mu (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}): = \ mu _ {1} (v_ {1}, \ ldots, v_ {n}) \ mu _ {2} (v_ { 1}, \ ldots, v_ {n}).}$

В терминах тензорных пространств произведений этот факт можно сформулировать как

${\ displaystyle \ operatorname {Vol} ^ {s_ {1}} (V) \ otimes \ operatorname {Vol} ^ {s_ {2}} (V) = \ operatorname {Vol} ^ {s_ {1} + s_ { 2}} (V).}$

Определение

Формально расслоение s- плотности Vol ^s ( M ) дифференцируемого многообразия M получается ассоциированной конструкцией расслоения , сплетающей одномерное групповое представление

${\ displaystyle \ rho (A) = \ left | \ det A \ right | ^ {- s}, \ quad A \ in \ operatorname {GL} (n)}$

от общей линейной группы с рамкой пучка из M .

Полученное линейное расслоение называется расслоением s -плотностей и обозначается через

${\ displaystyle \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s} = \ left | \ Lambda \ right | ^ {s} (TM).}$

Плотность 1 также называется просто плотностью.

В более общем смысле , связанный пучок конструкция также позволяет плотность быть построена из любого векторного расслоения Е на М .

Более подробно, если ( U _{& alpha} ; , ф _{& alpha} ; ) находится под атласом из координат диаграммы на М , то есть связана с местной тривиализацией из ${\ displaystyle \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s}}$

${\ displaystyle t _ {\ alpha}: \ left | \ Lambda \ right | _ {M} ^ {s} | _ {U _ {\ alpha}} \ to \ phi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha}) \ раз \ mathbb {R}}$

подчиненный открытому покрытию U _α такой, что ассоциированный GL (1) -коцикл удовлетворяет

${\ displaystyle t _ {\ alpha \ beta} = \ left | \ det (d \ phi _ {\ alpha} \ circ d \ phi _ {\ beta} ^ {- 1}) \ right | ^ {- s}. }$

Интеграция

Плотности играют важную роль в теории интегрирования на многообразиях. Действительно, определение плотности мотивировано тем, как мера dx изменяется при изменении координат ( Folland 1999 , Section 11.4, pp. 361-362).

Для 1-плотности ƒ с носителем в координатной карте U _α интеграл определяется как

${\ Displaystyle \ int _ {U _ {\ alpha}} е = \ int _ {\ phi _ {\ alpha} (U _ {\ alpha})} т _ {\ alpha} \ circ f \ circ \ phi _ {\ alpha } ^ {- 1} д \ му}$

где последний интеграл относится к мере Лебега на R ⁿ . Закон преобразования для 1-плотностей вместе с якобианской заменой переменных обеспечивает совместимость на перекрытиях различных координатных карт, и поэтому интеграл от общей 1-плотности с компактным носителем может быть определен с помощью разбиения аргумента, равного единице . Таким образом, 1-плотности являются обобщением понятия формы объема, которая не обязательно требует, чтобы многообразие было ориентированным или даже ориентируемым. В более общем плане общую теорию мер Радона можно развить как распределительные разделы с помощью теоремы о представлении Рисса-Маркова-Какутани . ${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {1}}$

Набор 1 / р -densities таким образом, что представляет собой линейное нормированное пространство, завершение называется внутренняя L ^р пространство из М . ${\ displaystyle | \ phi | _ {p} = \ left (\ int | \ phi | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} <\ infty}$${\ Displaystyle L ^ {p} (М)}$

Условные обозначения

В некоторых областях, особенно в конформной геометрии , используется другое соглашение о взвешивании: вместо этого с символом связывается набор s -плотностей.

${\ Displaystyle \ rho (A) = \ left | \ det A \ right | ^ {- s / n}.}$

С помощью этого соглашения, например, интегрируют n -плотности (а не 1-плотности). Также в этих соглашениях конформная метрика идентифицируется с плотностью тензора веса 2.

Характеристики

• Двойное векторное расслоение на это . ${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {s}}$${\ displaystyle | \ Lambda | _ {M} ^ {- s}}$
• Тензорные плотности - это сечения тензорного произведения пучка плотности на тензорный пучок.

использованная литература

• Берлайн, Николь; Гетцлер, Эзра; Вернь, Мишель (2004), Тепловые ядра и операторы Дирака , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-3-540-20062-8 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1999), Реальный анализ: современные методы и их приложения (второе изд.), ISBN   978-0-471-31716-6 , дает краткое обсуждение плотностей в последнем разделе.
• Николаеску, Ливиу И. (1996), Лекции по геометрии многообразий , River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN   978-981-02-2836-1 , Руководство по ремонту   1435504
• Ли, Джон М. (2003), Введение в гладкие многообразия , Springer-Verlag