Метрический тензор - Metric tensor

В математической области дифференциальной геометрии одно определение метрического тензора - это тип функции, которая принимает в качестве входных данных пару касательных векторов $v$ и $w$ в точке поверхности (или дифференцируемого многообразия более высоких измерений ) и производит скаляр действительных чисел. $г$ $($ $v$ $,$ $ш$ $)$ таким образом, обобщающей многие знакомые свойства скалярного произведения из векторов в евклидовом пространстве . Так же, как и скалярное произведение, метрические тензоры используются для определения длины и угла между касательными векторами. Путем интегрирования метрический тензор позволяет определять и вычислять длину кривых на многообразии.

Метрический тензор называется положительно определенным, если он присваивает положительное значение $g (v, v)> 0$ каждому ненулевому вектору $v$ . Многообразие, снабженное положительно определенным метрическим тензором, называется римановым многообразием . На римановом многообразии кривая, соединяющая две точки, которые (локально) имеют наименьшую длину, называется геодезической , а ее длина - это расстояние, которое пассажир в многообразии должен пройти, чтобы перейти из одной точки в другую. Обладая этим понятием длины, риманово многообразие является метрическим пространством , что означает, что оно имеет функцию расстояния $d (p, q)$ , значение которой в паре точек $p$ и $q$ является расстоянием от $p$ до $q$ . И наоборот, сам метрический тензор является производной функции расстояния (взятой подходящим образом). Таким образом, метрический тензор дает бесконечно малое расстояние на многообразии.

Хотя понятие метрического тензора было в некотором смысле известно математикам, таким как Карл Гаусс, с начала 19 века, только в начале 20 века его свойства как тензора были поняты, в частности, Грегорио Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита , который первым систематизировал понятие тензора. Метрический тензор является примером тензорного поля .

Компоненты метрического тензора в координатном базисе принимают форму симметричной матрицы , элементы которой ковариантно преобразуются при изменении системы координат. Таким образом, метрический тензор - это ковариантный симметричный тензор . С точки зрения координат, не зависящей от координат , метрическое тензорное поле определяется как невырожденная симметричная билинейная форма на каждом касательном пространстве, которая плавно изменяется от точки к точке.

Вступление

Карл Фридрих Гаусс в своих 1827 Disquisitiones generales circa superficies curvas ( Общие исследования криволинейных поверхностей ) рассматривал поверхность параметрически с декартовыми координатами $x$ , $y$ и $z$ точек на поверхности в зависимости от двух вспомогательных переменных $u$ и $v$ . Таким образом, параметрическая поверхность - это (в сегодняшних терминах) вектор-функция.

{\ displaystyle {\ vec {r}} (u, \, v) = {\ bigl (} x (u, \, v), \, y (u, \, v), \, z (u, \ , v) {\ bigr)}}

зависящие от упорядоченной пары вещественных переменных $(u, v)$ и определенные в открытом множестве $D$ на $uv$ -плоскости. Одна из главных целей исследований Гаусса состояла в том, чтобы вывести те особенности поверхности, которые можно было бы описать функцией, которая осталась бы неизменной, если бы поверхность претерпела преобразование в пространстве (например, изгибание поверхности без ее растяжения) или изменение в ней. особая параметрическая форма той же геометрической поверхности.

Одной из естественных инвариантных величин является длина кривой, проведенной по поверхности. Другой - угол между парой кривых, проведенных вдоль поверхности и встречающихся в общей точке. Третья такая величина - это площадь куска поверхности. Изучение этих инвариантов поверхности привело Гаусса к введению предшественника современного понятия метрического тензора.

Длина дуги

Если переменные $u$ и $v$ зависят от третьей переменной $t$ , принимающей значения в интервале $[a, b]$ , то $r \to (u (t), v (t))$ построит параметрическую кривую в параметрическом поверхностно - $M$ . Длина дуги этой кривой определяется интегралом

{\ displaystyle {\ begin {align} s & = \ int _ {a} ^ {b} \ left \ | {\ frac {d} {dt}} {\ vec {r}} (u (t), v ( t)) \ right \ | \, dt \\ [5pt] & = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {u '(t) ^ {2} \, {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} + 2u '(t) v' (t) \, {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} + v '(t) ^ {2} \, {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}}} \, dt \ ,, \ end { выровнено}}}

где представляет собой евклидову норму . Здесь применено цепное правило , а нижние индексы обозначают частные производные : ${\ Displaystyle \ влево \ | \ CDOT \ вправо \ |}$

{\ displaystyle {\ vec {r}} _ {u} = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial u}} \ ,, \ quad {\ vec {r}} _ {v } = {\ frac {\ partial {\ vec {r}}} {\ partial v}} \ ,.}

Подынтегральное выражение - это ограничение на кривую квадратного корня из ( квадратичного ) дифференциала

{\ Displaystyle (ds) ^ {2} = E \, (du) ^ {2} + 2F \, du \, dv + G \, (dv) ^ {2},}

( 1 )

где

{\ displaystyle E = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u}, \ quad F = {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}, \ quad G = {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v}.}

( 2 )

Величина $DS$ в ( 1 ) называется линейный элемент , в то время как $DS 2$ называется первой фундаментальной формы из $М$ . Интуитивно он представляет собой главную часть квадрата смещения, которому подвергается $r \to (u, v),$ когда $u$ увеличивается на $du$ единиц, а $v$ увеличивается на $dv$ единиц.

Используя матричные обозначения, первая фундаментальная форма становится

{\ displaystyle ds ^ {2} = {\ begin {bmatrix} du & dv \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} du \\ dv \ end {bmatrix}}}

Координатные преобразования

Предположим теперь, что выбрана другая параметризация, позволяющая $u$ и $v$ зависеть от другой пары переменных $u'$ и $v'$ . Тогда аналог ( 2 ) для новых переменных есть

{\ displaystyle E '= {\ vec {r}} _ {u'} \ cdot {\ vec {r}} _ {u '}, \ quad F' = {\ vec {r}} _ {u '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v '}, \ quad G' = {\ vec {r}} _ {v '} \ cdot {\ vec {r}} _ {v'}.}

( 2 ' )

Цепное правило относится $E'$ , $F'$ и $G'$ к $Е$ , $F$ и $G$ с помощью матричного уравнения

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} E '& F' \\ F '& G' \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} и {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u'}} и {\ frac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix }}}

( 3 )

где верхний индекс T обозначает транспонированную матрицу . Таким образом, матрица с расположенными таким образом коэффициентами $E$ , $F$ и $G$ преобразуется матрицей Якоби изменения координат

{\ Displaystyle J = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial u} {\ partial u '}} и {\ frac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ {\ frac {\ partial v} {\ partial u '}} & {\ frac {\ partial v} {\ partial v'}} \ end {bmatrix}} \ ,.}

Матрица, которая преобразуется таким образом, является разновидностью того, что называется тензором . Матрица

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}

с законом преобразования ( 3 ) известен как метрический тензор поверхности.

Инвариантность длины дуги относительно преобразований координат

Риччи-Курбастро и Леви-Чивита (1900) впервые заметили значение системы коэффициентов $E$ , $F$ и $G$ , которая трансформируется таким образом при переходе от одной системы координат к другой. Результатом является то , что первая основная форма ( 1 ) является инвариантным при изменении системы координат, и что это следует исключительно из свойств преобразования $E$ , $F$ и $G$ . Действительно, по цепному правилу

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} du \ dv \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u} {\ partial u '}} и {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v '}} \\ {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u'}} & {\ dfrac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ begin { bmatrix} du '\\ dv' \ end {bmatrix}}}

чтобы

{\ displaystyle {\ begin {align} ds ^ {2} & = {\ begin {bmatrix} du & dv \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } du \\ dv \ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ begin {bmatrix} du '& dv' \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u} {\ частичный u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u '}} и {\ dfrac {\ partial v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} ^ {\ mathsf {T}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial u } {\ partial u '}} & {\ dfrac {\ partial u} {\ partial v'}} \\ [6pt] {\ dfrac {\ partial v} {\ partial u '}} и {\ dfrac {\ частичный v} {\ partial v '}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} du' \\ dv '\ end {bmatrix}} \\ [6pt] & = {\ begin {bmatrix} du' & dv '\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E' & F '\\ F' & G '\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} du' \\ dv '\ end {bmatrix}} \\ [ 6pt] & = (ds ') ^ {2} \,. \ End {align}}}

Длина и угол

Другая интерпретация метрического тензора, также рассматриваемая Гауссом, заключается в том, что он обеспечивает способ вычисления длины касательных векторов к поверхности, а также угла между двумя касательными векторами. Говоря современным языком, метрический тензор позволяет вычислять скалярное произведение касательных векторов способом, независимым от параметрического описания поверхности. Любой касательный вектор в точке параметрической поверхности $M$ можно записать в виде

{\ displaystyle \ mathbf {p} = p_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + p_ {2} {\ vec {r}} _ {v}}

для подходящих действительных чисел $p 1$ и $p 2$ . Если даны два касательных вектора:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} & = a_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \\\ mathbf {b} & = b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} + b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ end {выровнено}}}

затем, используя билинейность скалярного произведения,

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} & = a_ {1} b_ {1} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r} } _ {u} + a_ {1} b_ {2} {\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} + b_ {1} a_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} + a_ {2} b_ {2} {\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \\ [8pt] & = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ {2} b_ {2} G \\ [8pt] & = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2} \ end {bmatrix}} \,. \ End {align}}}

Это явно функция четырех переменных $a 1$ , $b 1$ , $a 2$ и $b 2$ . Однако более выгодно рассматривать ее как функцию, которая принимает пару аргументов $a = [a 1 a 2]$ и $b = [b 1 b 2],$ которые являются векторами в $uv-$ плоскости. То есть положить

{\ displaystyle g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = a_ {1} b_ {1} E + a_ {1} b_ {2} F + b_ {1} a_ {2} F + a_ { 2} b_ {2} G \ ,.}

Это симметричная функция в $виде$ и $б$ , а это означает , что

{\ Displaystyle г (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) = г (\ mathbf {b}, \ mathbf {a}) \ ,.}

Он также является билинейным , что означает, что он линейен по каждой переменной $a$ и $b$ отдельно. Это,

{\ displaystyle {\ begin {align} g \ left (\ lambda \ mathbf {a} + \ mu \ mathbf {a} ', \ mathbf {b} \ right) & = \ lambda g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a} ', \ mathbf {b} \ right), \ quad {\ text {and}} \\ g \ left (\ mathbf {a}, \ lambda \ mathbf {b} + \ mu \ mathbf {b} '\ right) & = \ lambda g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b}) + \ mu g \ left (\ mathbf {a}, \ mathbf {b} '\ right) \ end {выровнен}}}

для любых векторов $a$ , $a'$ , $b$ и $b'$ в $uv-$ плоскости и любых действительных чисел $μ$ и $λ$ .

В частности, длина касательного вектора $a$ определяется выражением

{\ displaystyle \ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | = {\ sqrt {g (\ mathbf {a}, \ mathbf {a})}}}

а угол $θ$ между двумя векторами $a$ и $b$ вычисляется по формуле

{\ displaystyle \ cos (\ theta) = {\ frac {g (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})} {\ left \ | \ mathbf {a} \ right \ | \ left \ | \ mathbf { b} \ right \ |}} \ ,.}

Область

Площадь поверхности - это еще одна числовая величина, которая должна зависеть только от самой поверхности, а не от того, как она параметризована. Если поверхность $M$ параметризована функцией $r \to (u, v)$ над областью $D$ на $uv-$ плоскости, то площадь поверхности $M$ определяется интегралом

{\ displaystyle \ iint _ {D} \ left | {\ vec {r}} _ {u} \ times {\ vec {r}} _ {v} \ right | \, du \, dv}

где $\times$ обозначает перекрестное произведение , а абсолютное значение обозначает длину вектора в евклидовом пространстве. По тождеству Лагранжа для векторного произведения интеграл можно записать

{\ displaystyle {\ begin {align} & \ iint _ {D} {\ sqrt {\ left ({\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {u} \ right) \ left ({\ vec {r}} _ {v} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \ right) - \ left ({\ vec {r}} _ {u} \ cdot {\ vec {r}} _ {v} \ right) ^ {2}}} \, du \, dv \\ [5pt] = {} & \ iint _ {D} {\ sqrt {EG-F ^ {2}} } \, du \, dv \\ [5pt] = {} & \ iint _ {D} {\ sqrt {\ det {\ begin {bmatrix} E&F \\ F&G \ end {bmatrix}}}} \, du \ , дв \ конец {выровнено}}}

где $det$ - определитель .

Определение

Пусть $M$ - гладкое многообразие размерности $n$ ; например, поверхность (в случае $n = 2$ ) или гиперповерхность в декартовом пространстве $ℝ n + 1$ . В каждой точке $p \in M$ существует векторное пространство $T p M$ , называемое касательным пространством , состоящее из всех касательных векторов к многообразию в точке $p$ . Метрический тензор в точке $p$ - это функция $g p (X p, Y p),$ которая принимает в качестве входных данных пару касательных векторов $X p$ и $Y p в$ точке $p$ и производит на выходе действительное число ( скаляр ), так что следующее условия выполнены:

$г р$ является билинейной . Функция двух векторных аргументов является билинейной, если она линейна отдельно по каждому аргументу. Таким образом, если $U p$ , $V p$ , $Y p$ - три касательных вектора в $p,$ а $a$ и $b$ - действительные числа, то
${\ displaystyle {\ begin {align} g_ {p} (aU_ {p} + bV_ {p}, Y_ {p}) & = ag_ {p} (U_ {p}, Y_ {p}) + bg_ {p } (V_ {p}, Y_ {p}) \ ,, \ quad {\ text {and}} \\ g_ {p} (Y_ {p}, aU_ {p} + bV_ {p}) & = ag_ { p} (Y_ {p}, U_ {p}) + bg_ {p} (Y_ {p}, V_ {p}) \,. \ end {выровнено}}}$
$г р$ является симметричным . Функция двух векторных аргументов является симметричной при условии, что для всех векторов $X p$ и $Y p$ ,
${\ displaystyle g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p}) = g_ {p} (Y_ {p}, X_ {p}) \ ,.}$
$г р$ является невырожденным . Билинейная функция невырождена, если для любого касательного вектора $X p \neq 0$ функция
${\ Displaystyle Y_ {p} \ mapsto g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}$

полученный путем сохранения постоянного значения

X p

и изменения значения

Y p

не равно нулю тождественно . То есть для любого

X p \neq 0

существует

Y p

такое, что

g p (X p, Y p) \neq 0

.

Поле метрического тензора $g$ на $M$ сопоставляет каждой точке $p$ из $M$ метрический тензор $g p$ в касательном пространстве в $p$ таким образом, который плавно изменяется с $p$ . Точнее, для любого открытого подмножества $U$ многообразия $M$ и любых (гладких) векторных полей $X$ и $Y$ на $U$ действительная функция

{\ displaystyle g (X, Y) (p) = g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}

является гладкой функцией от $p$ .

Компоненты метрики

Компоненты метрики в любой основе из векторных полей или кадра , $F = (X 1, ..., Х п)$ задаются

{\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f}] = g \ left (X_ {i}, X_ {j} \ right).}

( 4 )

В $п 2$ функции $г IJ [F]$ образуют вхождения в $п \times п$ симметричной матрицы , $G [е]$ . Если

{\ displaystyle v = \ sum _ {i = 1} ^ {n} v ^ {i} X_ {i} \ ,, \ quad w = \ sum _ {i = 1} ^ {n} w ^ {i} X_ {i}}

- два вектора в точке $p \in U$ , то значение метрики, примененной к $v$ и $w$ , определяется коэффициентами ( 4 ) по билинейности:

{\ displaystyle g (v, w) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g \ left (X_ {i}, X_ {j} \ right) = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} v ^ {i} w ^ {j} g_ {ij} [\ mathbf {f}]}

Обозначив матрицу $(g ij [f])$ через $G [f]$ и расположив компоненты векторов $v$ и $w$ в векторах-столбцах $v [f]$ и $w [f]$ ,

{\ Displaystyle г (v, ш) = \ mathbf {v} [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] \ mathbf {w} [\ mathbf {f}] = \ mathbf {w} [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] \ mathbf {v} [\ mathbf {f}]}

где $v [f]$ ^T и $w [f]$ ^T обозначают транспонирование векторов $v [f]$ и $w [f]$ соответственно. При изменении основы формы

{\ displaystyle \ mathbf {f} \ mapsto \ mathbf {f} '= \ left (\ sum _ {k} X_ {k} a_ {k1}, \ dots, \ sum _ {k} X_ {k} a_ { kn} \ right) = \ mathbf {f} A}

для некоторого обратимого $п \times п$ матрица $= ($ $Ij$ $)$ , матрица компонентов метрических изменений на $А$ , а также. Это,

{\ Displaystyle G [\ mathbf {f} A] = A ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] A}

или, в терминах элементов этой матрицы,

{\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f} A] = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} a_ {ki} g_ {kl} [\ mathbf {f}] a_ {lj} \ ,.}

По этой причине говорят , что система величин $g ij [f]$ ковариантно преобразуется относительно изменений в системе отсчета $f$ .

Метрика в координатах

Система $n$ действительных функций $(x 1, ..., x n)$ , задающая локальную систему координат на открытом множестве $U$ в $M$ , определяет базис векторных полей на $U$

{\ displaystyle \ mathbf {f} = \ left (X_ {1} = {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {1}}}, \ dots, X_ {n} = {\ frac {\ partial}) {\ partial x ^ {n}}} \ right) \ ,.}

У метрики $g$ есть компоненты относительно этого фрейма, заданные формулой

{\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} \ right] = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} {\ частичный x ^ {j}}} \ right) \ ,.}

Относительно новой системы локальных координат, скажем,

{\ displaystyle y ^ {i} = y ^ {i} (x ^ {1}, x ^ {2}, \ dots, x ^ {n}), \ quad i = 1,2, \ dots, n}

метрический тензор будет определять другую матрицу коэффициентов,

{\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} '\ right] = g \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {i}}}, {\ frac {\ partial} { \ partial y ^ {j}}} \ right).}

Эта новая система функций связана с исходной $g ij (f)$ с помощью цепного правила

{\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial y ^ {i}}} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial y ^ {i}}} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {k}}}}

чтобы

{\ displaystyle g_ {ij} \ left [\ mathbf {f} '\ right] = \ sum _ {k, l = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial y ^ {i}}} g_ {kl} \ left [\ mathbf {f} \ right] {\ frac {\ partial x ^ {l}} {\ partial y ^ {j}}}.}.

Или, в терминах матриц $G [f] = (g ij [f])$ и $G [f'] = (g ij [f'])$ ,

{\ Displaystyle G \ left [\ mathbf {f} '\ right] = \ left ((Dy) ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}} G ​​\ left [\ mathbf {f} \ right ] (Ду) ^ {- 1}}

где $Dy$ обозначает матрицу Якоби изменения координаты.

Подпись метрики

С любым метрическим тензором связана квадратичная форма, определяемая в каждом касательном пространстве формулой

{\ displaystyle q_ {m} (X_ {m}) = g_ {m} (X_ {m}, X_ {m}) \ ,, \ quad X_ {m} \ in T_ {m} M.}

Если $q m$ положительно для всех ненулевых $X m$ , то метрика положительно определена в $m$ . Если метрика положительно определена на каждом $m \in M$ , то $g$ называется римановой метрикой . В более общем смысле, если квадратичные формы $q m$ имеют постоянную сигнатуру, не зависящую от $m$ , то сигнатура $g$ является этой сигнатурой, а $g$ называется псевдоримановой метрикой . Если $М$ будет подключен , то подпись $д т$ не зависит от $т$ .

По закону инерции Сильвестра базис касательных векторов $X i$ может быть выбран локально так, чтобы квадратичная форма диагонализовалась следующим образом

{\ displaystyle q_ {m} \ left (\ sum _ {i} \ xi ^ {i} X_ {i} \ right) = \ left (\ xi ^ {1} \ right) ^ {2} + \ left ( \ xi ^ {2} \ right) ^ {2} + \ cdots + \ left (\ xi ^ {p} \ right) ^ {2} - \ left (\ xi ^ {p + 1} \ right) ^ { 2} - \ cdots - \ left (\ xi ^ {n} \ right) ^ {2}}

для некоторого $p$ от 1 до $n$ . Любые два таких выражения $q$ (в одной и той же точке $m$ множества $M$ ) будут иметь одинаковое количество положительных знаков $p$ . Сигнатура $g$ - это пара целых чисел $(p, n - p)$ , означающая, что в любом таком выражении есть $p$ положительных знаков и $n - p$ отрицательных знаков. Эквивалентно метрика имеет сигнатуру $(p, n - p),$ если матрица $g ij$ метрики имеет $p$ положительных и $n - p$ отрицательных собственных значений .

Некоторые метрические подписи, которые часто возникают в приложениях:

Если $g$ имеет сигнатуру $(n, 0)$ , то $g$ - риманова метрика, а $M$ называется римановым многообразием . В противном случае $g$ - псевдориманова метрика, а $M$ называется псевдоримановым многообразием (также используется термин полуриманово).
Если $M$ четырехмерно с сигнатурой $(1, 3)$ или $(3, 1)$ , то метрика называется лоренцевой . В более общем смысле, метрический тензор в размерности $n,$ отличной от 4, сигнатуры $(1, n - 1)$ или $(n - 1, 1)$ иногда также называют лоренцевым.
Если $М$ является $2 п$ - мерным и $г$ имеет сигнатуру $(п, п)$ , то метрика называется ультрагиперболической .

Обратная метрика

Пусть $f = (X 1, ..., X n)$ - базис векторных полей, и, как и выше, пусть $G [f]$ - матрица коэффициентов

{\ displaystyle g_ {ij} [\ mathbf {f}] = g \ left (X_ {i}, X_ {j} \ right) \ ,.}

Можно рассмотреть обратную матрицу $G [f] -1$ , которая отождествляется с обратной метрикой ( сопряженной или двойственной метрикой ). Обратная метрика удовлетворяет закону преобразования, когда фрейм $f$ заменяется матрицей $A$ через

{\ Displaystyle G [\ mathbf {f} A] ^ {- 1} = A ^ {- 1} G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}}.}

( 5 )

Обратные преобразования метрических контравариантен или по отношению к обратной величине изменений основы матрицы $A$ . В то время как сама метрика обеспечивает способ измерения длины (или угла между) векторных полей, обратная метрика предоставляет средства измерения длины (или угла между) ковекторных полей; то есть поля линейных функционалов .

Чтобы убедиться в этом, предположим, что $α$ - ковекторное поле. То есть для каждой точки $p$ , $α$ определяет функцию $α p,$ определенную на касательных векторах в точке $p,$ так что следующее условие линейности выполняется для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ и всех действительных чисел $a$ и $b$ :

{\ displaystyle \ alpha _ {p} \ left (aX_ {p} + bY_ {p} \ right) = a \ alpha _ {p} \ left (X_ {p} \ right) + b \ alpha _ {p} \ left (Y_ {p} \ right) \ ,.}

При изменении $p$ предполагается , что $α$ является гладкой функцией в том смысле, что

{\ displaystyle p \ mapsto \ alpha _ {p} \ left (X_ {p} \ right)}

является гладкой функцией $р$ для любого гладкого векторного поля $X$ .

Любое ковекторное поле $α$ имеет компоненты в базисе векторных полей $f$ . Они определяются

{\ displaystyle \ alpha _ {i} = \ alpha \ left (X_ {i} \ right) \ ,, \ quad i = 1,2, \ dots, n \ ,.}

Обозначим вектор-строку этих компонентов через

{\ displaystyle \ alpha [\ mathbf {f}] = {\ big \ lbrack} {\ begin {array} {cccc} \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ dots & \ alpha _ {n } \ end {array}} {\ big \ rbrack} \ ,.}

При изменении $F$ с помощью матрицы $A$ , $α [F]$ изменяется по правилу

{\ Displaystyle \ альфа [\ mathbf {f} A] = \ alpha [\ mathbf {f}] A \ ,.}

То есть вектор-строка компонентов $α [f]$ преобразуется как ковариантный вектор.

Для пары ковекторных полей $α$ и $β$ определите обратную метрику, применяемую к этим двум ковекторам, как

{\ Displaystyle {\ тильда {g}} (\ альфа, \ бета) = \ альфа [\ mathbf {f}] G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}.}

( 6 )

Полученное определение, хотя и включает в себя выбор базиса $f$ , на самом деле не зависит от $f$ существенно. Действительно, замена базиса на $f A$ дает

{\ Displaystyle {\ begin {выровнено} & \ альфа [\ mathbf {f} A] G [\ mathbf {f} A] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f} A] ^ {\ mathsf {T }} \\ = {} & \ left (\ alpha [\ mathbf {f}] A \ right) \ left (A ^ {- 1} G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}} \ right) \ left (A ^ {\ mathsf {T}} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} \ right ) \\ = {} & \ alpha [\ mathbf {f}] G [\ mathbf {f}] ^ {- 1} \ beta [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}. \ end { выровнено}}}

Таким образом, правая часть уравнения ( 6 ) не изменится при замене базиса $f$ на любой другой базис $f A$ вообще. Следовательно, уравнению можно придать смысл независимо от выбора основы. Элементы матрицы $G [f]$ обозначаются $g ij$ , где индексы $i$ и $j$ подняты, чтобы указать закон преобразования ( 5 ).

Повышение и понижение показателей

В базисе векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ любое гладкое касательное векторное поле $X$ можно записать в виде

{\ displaystyle X = v ^ {1} [\ mathbf {f}] X_ {1} + v ^ {2} [\ mathbf {f}] X_ {2} + \ dots + v ^ {n} [\ mathbf {f}] X_ {n} = \ mathbf {f} {\ begin {bmatrix} v ^ {1} [\ mathbf {f}] \\ v ^ {2} [\ mathbf {f}] \\\ vdots \\ v ^ {n} [\ mathbf {f}] \ end {bmatrix}} = \ mathbf {f} v [\ mathbf {f}]}

( 7 )

для некоторых однозначно определенных гладких функций $v 1, ..., v n$ . При замене базиса $f$ невырожденной матрицей $A$ коэффициенты $v i$ изменяются таким образом, что уравнение ( 7 ) остается верным. Это,

{\ Displaystyle X = \ mathbf {fA} v [\ mathbf {fA}] = \ mathbf {f} v [\ mathbf {f}] \ ,.}

Следовательно, $v [f A] = A -1 v [f]$ . Другими словами, компоненты вектора преобразования контравариантно (то есть, обратно или в обратном направлении) при изменении базиса с помощью невырожденной матрицы $A$ . Контравариантность компонентов $v [f]$ условно обозначается помещением индексов $v i [f]$ в верхнюю позицию.

Фрейм также позволяет выражать ковекторы через их компоненты. Для базиса векторных полей $f = (X 1, ..., X n)$ определим дуальный базис как линейные функционалы $(θ 1 [f], ..., θ n [f])$ такие, что

{\ displaystyle \ theta ^ {i} [\ mathbf {f}] (X_ {j}) = {\ begin {cases} 1 & \ mathrm {if} \ i = j \\ 0 & \ mathrm {if} \ i \ not = j. \ end {case}}}

То есть $θ i [f] (X j) = δ j i$ , символ Кронекера . Позволять

{\ displaystyle \ theta [\ mathbf {f}] = {\ begin {bmatrix} \ theta ^ {1} [\ mathbf {f}] \\\ theta ^ {2} [\ mathbf {f}] \\\ vdots \\\ theta ^ {n} [\ mathbf {f}] \ end {bmatrix}}.}

При изменении базиса $е \mapsto е$ для невырожденной матрицы $A$ , $θ [е]$ преобразование с помощью

{\ displaystyle \ theta [\ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} \ theta [\ mathbf {f}].}

Любой линейный функционал $α$ на касательных векторах можно разложить по дуальному базису $θ$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ alpha & = a_ {1} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {1} [\ mathbf {f}] + a_ {2} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {2} [\ mathbf {f}] + \ cdots + a_ {n} [\ mathbf {f}] \ theta ^ {n} [\ mathbf {f}] \\ [8pt] & = {\ big \ lbrack} {\ begin {array} {cccc} a_ {1} [\ mathbf {f}] & a_ {2} [\ mathbf {f}] & \ dots & a_ {n} [\ mathbf {f}] \ end {массив}} {\ big \ rbrack} \ theta [\ mathbf {f}] \\ [8pt] & = a [\ mathbf {f}] \ theta [\ mathbf {f}] \ end {align}}}

( 8 )

где $a [f]$ обозначает вектор-строку $[a 1 [f] ... a n [f]]$ . Компоненты $a i$ преобразуются при замене базиса $f$ на $f A$ таким образом, что уравнение ( 8 ) продолжает выполняться. Это,

{\ Displaystyle \ альфа = а [\ mathbf {f} A] \ theta [\ mathbf {f} A] = a [\ mathbf {f}] \ theta [\ mathbf {f}]}

откуда, потому что & $thetas [F A] = -1 & thetas; [ф]$ , то отсюда следует , что $[$ $F$ $A$ $] =$ $с$ $[$ $е$ $]$ $А$ . То есть компоненты $a$ преобразуются ковариантно (матрицей $A,$ а не ее обратной). Ковариация компонентов $a$ $[$ $f$ $]$ условно обозначается помещением индексов $a$ $i$ $[$ $f$ $]$ в нижнюю позицию.

Теперь метрический тензор позволяет идентифицировать векторы и ковекторы следующим образом. Удерживая $X p$ фиксированным, функция

{\ displaystyle g_ {p} (X_ {p}, -): Y_ {p} \ mapsto g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}

касательного вектора $Y p$ определяет линейный функционал на касательном пространстве в точке $p$ . Эта операция берет вектор $X p$ в точке $p$ и создает ковектор $g p (X p, -)$ . В базисе векторных полей $f$ , если векторное поле $X$ имеет компоненты $v [f]$ , то компоненты ковекторного поля $g (X, -)$ в дуальном базисе задаются элементами вектора-строки

{\ displaystyle a [\ mathbf {f}] = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}].}

При замене базиса $f \mapsto f A$ правая часть этого уравнения преобразуется как

{\ displaystyle v [\ mathbf {f} A] ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f} A] = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}} \ left (A ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathsf {T}} A ^ {\ mathsf {T}} G ​​[\ mathbf {f}] A = v [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T} } G [\ mathbf {f}] A}

так что $a [f A] = a [f] A$ : $a$ преобразуется ковариантно. Операция сопоставления (контравариантным) компонентам векторного поля $v [f] = [v 1 [f] v 2 [f] ... v n [f]]$ ^T (ковариантные) компоненты ковекторного поля $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f]\dots a n [f]]$ , где

{\ displaystyle a_ {i} [\ mathbf {f}] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} v ^ {k} [\ mathbf {f}] g_ {ki} [\ mathbf {f}] }

называется понижением индекса .

Чтобы поднять индекс , применяется та же конструкция, но с обратной метрикой вместо метрики. Если $a [f] = [a 1 [f] a 2 [f] ... a n [f]]$ - компоненты ковектора в дуальном базисе $θ [f]$ , то вектор-столбец

{\ displaystyle v [\ mathbf {f}] = G ^ {- 1} [\ mathbf {f}] а [\ mathbf {f}] ^ {\ mathsf {T}}}

( 9 )

имеет компоненты, которые преобразуются контравариантным образом:

{\ displaystyle v [\ mathbf {f} A] = A ^ {- 1} v [\ mathbf {f}].}

Следовательно, величина $Х = F v [F]$ не зависит от выбора базиса $е$ существенным образом, и , таким образом , определяет векторное поле на $M$ . Операция ( 9 ) сопоставляет (ковариантным) компонентам ковектора $a [f]$ (контравариантные) компоненты заданного вектора $v [f],$ называется повышением индекса . По компонентам ( 9 ) имеет вид

{\ displaystyle v ^ {i} [\ mathbf {f}] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} g ^ {ik} [\ mathbf {f}] a_ {k} [\ mathbf {f} ].}

Индуцированная метрика

Пусть $U$ быть открытое множество в $ℝ п$ , и пусть $φ$ будет непрерывно дифференцируемая функция из $U$ в евклидовом пространстве $ℝ м$ , где $т > п$ . Отображение $φ$ называется погружением , если его дифференциал инъективны в каждой точке $U$ . Образ $φ$ называется погруженным подмногообразием . Более конкретно, $т = 3$ , что означает , что окружающее евклидово пространство является $ℝ 3$ , индуцированный метрический тензор называется первой фундаментальной формы .

Предположим, что $φ$ - погружение на подмногообразие $M \subset R m$ . Обычное евклидово скалярное произведение в $ℝ m$ - это метрика, которая, будучи ограничена векторами, касательными к $M$ , дает средство для получения скалярного произведения этих касательных векторов. Это называется индуцированной метрикой .

Предположим, что $v$ - касательный вектор в точке $U$ , скажем

{\ displaystyle v = v ^ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ dots + v ^ {n} \ mathbf {e} _ {n}}

где $e i$ - стандартные координатные векторы в $ℝ n$ . Когда $φ$ применяется к $U$ , вектор $v$ переходит в вектор, касательный к $M,$ заданный формулой

{\ displaystyle \ varphi _ {*} (v) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {a = 1} ^ {m} v ^ {i} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {a}} {\ partial x ^ {i}}} \ mathbf {e} _ {a} \ ,.}

(Это называется прямым образом из $V$ вдоль $ф$ .) С учетом два таких векторов, $V$ и $W$ , индуцированная метрика определяется

{\ displaystyle g (v, w) = \ varphi _ {*} (v) \ cdot \ varphi _ {*} (w).}

Из прямого вычисления следует, что матрица индуцированной метрики в базисе координатных векторных полей $e$ имеет вид

{\ Displaystyle G (\ mathbf {e}) = (D \ varphi) ^ {\ mathsf {T}} (D \ varphi)}

где $Dφ$ - матрица Якоби:

{\ displaystyle D \ varphi = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {1}} {\ partial x ^ {n}}} \\ [1ex] {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {2}} {\ partial x ^ {n}}} \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ { 1}}} & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {2}}} & \ dots & {\ frac {\ partial \ varphi ^ {m}} {\ partial x ^ {n}}} \ end {bmatrix}}.}

Внутренние определения метрики

Понятие метрики можно определить внутренне, используя язык расслоений и векторных расслоений . В этих терминах метрический тензор - это функция

{\ displaystyle g: \ mathrm {T} M \ times _ {M} \ mathrm {T} M \ to \ mathbf {R}}

( 10 )

из волокнистого продукта в касательном расслоении из $М$ с собой $R$ такое , что сужение $г$ на каждый слой является невырожденной билинейное отображение

{\ displaystyle g_ {p}: \ mathrm {T} _ {p} M \ times \ mathrm {T} _ {p} M \ to \ mathbf {R}.}

Отображение ( 10 ) должно быть непрерывным и часто непрерывно дифференцируемым , гладким или вещественно аналитическим , в зависимости от интересующего случая и от того, может ли $M$ поддерживать такую структуру.

Метрика как раздел пакета

По универсальному свойству тензорного произведения , любое билинейное отображение ( 10 ) дает расти естественным образом к разделу $г \otimes$ из двух из пучка тензорного произведения из $T M$ с собой

{\ displaystyle g _ {\ otimes} \ in \ Gamma \ left ((\ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ right).}

Сечение $g \otimes$ определяется на простых элементах $T M \otimes T M$ формулой

{\ Displaystyle г _ {\ otimes} (v \ otimes w) = g (v, w)}

и определяется на произвольных элементах $T M \otimes T M$ линейным продолжением до линейных комбинаций простых элементов. Исходная билинейная форма $g$ симметрична тогда и только тогда, когда

{\ displaystyle g _ {\ otimes} \ circ \ tau = g _ {\ otimes}}

где

{\ displaystyle \ tau: \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M {\ stackrel {\ cong} {\ to}} TM \ otimes TM}

это карта плетения .

Поскольку $M$ конечномерно, существует естественный изоморфизм

{\ displaystyle (\ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M) ^ {*} \ cong \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M,}

так , что $г \otimes$ рассматриваются также как сечение пучка $Т * М \otimes Т * М$ в кокасательном расслоении $T * M$ с самими собой. Поскольку $g$ симметричен как билинейное отображение, то $g \otimes$ - симметричный тензор .

Метрика в векторном расслоении

В более общем смысле можно говорить о метрике в векторном расслоении . Если $E$ - векторное расслоение над многообразием $M$ , то метрика - это отображение

{\ displaystyle g: E \ times _ {M} E \ to \ mathbf {R}}

от продукта волокна от $E$ до $R,$ который является билинейным в каждом волокне:

{\ displaystyle g_ {p}: E_ {p} \ times E_ {p} \ to \ mathbf {R}.}

Используя двойственность , как указано выше, метрика часто идентифицируется с секцией из тензорного произведения расслоения $Х * ® Е *$ . (См. Метрику (векторное расслоение) .)

Изоморфизм тангенса – котангенса

Метрический тензор дает естественный изоморфизм из касательного расслоения к кокасательному расслоению , иногда называют музыкальным изоморфизмом . Этот изоморфизм получается путем настройки, для каждого касательного вектора $Х р \in Т р М$ ,

{\ Displaystyle S_ {g} X_ {p} \, {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \, g (X_ {p}, -),}

линейный функционал на $Т р М$ , который посылает касательный вектор $Y р$ на $р$ к $г р (X р, Y р)$ . То есть, в терминах спаривания $[-, -]$ между $T p M$ и его дуальным пространством $T * p М$ ,

{\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = g_ {p} (X_ {p}, Y_ {p})}

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ . Отображение $S g$ является линейным преобразованием из $T p M$ в $T * p M$ . Это следует из определения невырожденностичто ядро из $S г$ сводятся к нулю, и поэтому по теореме ранга дефектности , $S г$ является линейным изоморфизмом . Кроме того, $S g$ является симметричным линейным преобразованием в том смысле, что

{\ displaystyle [S_ {g} X_ {p}, Y_ {p}] = [S_ {g} Y_ {p}, X_ {p}]}

для всех касательных векторов $X p$ и $Y p$ .

Наоборот, любой линейный изоморфизм $S : T p M \to T * p M$ определяет невырожденную билинейную форму на $T p M$ с помощью

{\ displaystyle g_ {S} (X_ {p}, Y_ {p}) = [SX_ {p}, Y_ {p}] \ ,.}

Эта билинейная форма симметрична тогда и только тогда, когда $S$ симметрична. Таким образом, существует естественное взаимно однозначное соответствие между симметричными билинейными формами на $T p M$ и симметричными линейными изоморфизмами $T p M$ двойственным $T * p M$ .

В $р$ изменяется по $М$ , $S г$ определяет сечение расслоения $Hom (Т М, Т * М)$ из векторных расслоений изоморфизмов касательного расслоения к кокасательному расслоению. Эта секция имеет ту же гладкость, что и $g$ : она непрерывна, дифференцируема, гладкая или вещественно-аналитическая в зависимости от $g$ . Отображение $S g$ , которое сопоставляет каждому векторному полю на $M$ ковекторное поле на $M,$ дает абстрактную формулировку «понижения индекса» на векторном поле. Обратным к $S g$ является отображение $T * M \to T M,$ которое аналогично дает абстрактную формулировку «повышения индекса» ковекторного поля.

Обратный $S -1 г$ определяет линейное отображение

{\ displaystyle S_ {g} ^ {- 1}: \ mathrm {T} ^ {*} M \ to \ mathrm {T} M}

который неособен и симметричен в том смысле, что

{\ displaystyle \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ alpha, \ beta \ right] = \ left [S_ {g} ^ {- 1} \ beta, \ alpha \ right]}

для всех ковекторов $α$ , $β$ . Такое невырожденное симметричное отображение порождает (посредством тензорно-гомопривязки ) отображение

{\ Displaystyle \ mathrm {T} ^ {*} M \ otimes \ mathrm {T} ^ {*} M \ to \ mathbf {R}}

или двойным дуальным изоморфизмом к сечению тензорного произведения

{\ displaystyle \ mathrm {T} M \ otimes \ mathrm {T} M.}

Длина дуги и линейный элемент

Предположим , что $г$ риманова метрика на $М$ . В локальной системе координат $x i$ , $i = 1, 2,\dots, n$ , метрический тензор появляется как матрица , обозначенная здесь $G$ , элементами которой являются компоненты $g ij$ метрического тензора относительно координатных векторных полей.

Пусть $γ (t)$ - кусочно-дифференцируемая параметрическая кривая в $M$ для $a \leq t \leq b$ . Длина дуги кривой определяется как

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ right) }} \, dt \ ,.}

В связи с этим геометрическим приложением квадратичная дифференциальная форма

{\ displaystyle ds ^ {2} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (p) dx ^ {i} dx ^ {j}}

называется первой фундаментальной формой, связанной с метрикой, а $ds$ - линейным элементом . Когда $DS 2$ является отстранился к изображению кривой в $М$ , она представляет собой квадрат дифференциала относительно длиной дуги.

Для псевдоримановой метрики приведенная выше формула длины не всегда определяется, потому что член под квадратным корнем может стать отрицательным. Обычно мы определяем длину кривой только тогда, когда величина под квадратным корнем всегда одного знака или другого. В этом случае определите

{\ displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left | \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ( {\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ right) \ right |}} \, dt \ ,.}

Обратите внимание, что, хотя в этих формулах используются выражения координат, они фактически не зависят от выбранных координат; они зависят только от метрики и кривой, по которой интегрируется формула.

Энергия, вариационные принципы и геодезические.

Для данного участка кривой другой часто определяемой величиной является (кинетическая) энергия кривой:

{\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g_ {ij} (\ gamma (t)) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {i} \ circ \ gamma (t) \ right) \ left ({\ frac {d} {dt}} x ^ {j} \ circ \ gamma (t) \ right) \, dt \ ,.}

Это использование происходит из физики , в частности, из классической механики , где интеграл $E, как$ можно видеть, напрямую соответствует кинетической энергии точечной частицы, движущейся по поверхности многообразия. Так, например, в формулировке принципа Мопертюи , сформулированной Якоби, можно увидеть, что метрический тензор соответствует тензору масс движущейся частицы.

Во многих случаях, когда вычисление требует использования длины, может быть выполнено аналогичное вычисление с использованием энергии. Это часто приводит к более простым формулам, поскольку исключается необходимость в квадратном корне. Таким образом, например, уравнения геодезических могут быть получены путем применения вариационных принципов либо к длине, либо к энергии. В последнем случае видно, что уравнения геодезических возникают из принципа наименьшего действия : они описывают движение «свободной частицы» (частицы, не испытывающей сил), которая ограничена движением по многообразию, но в остальном движется свободно, с постоянным импульсом внутри коллектора.

Каноническая мера и форма объема

По аналогии со случаем поверхностей, метрический тензор на $n-$ мерном паракомпактном многообразии $M$ дает естественный способ измерить $n$ -мерный объем подмножеств этого многообразия. Полученная естественная положительная борелевская мера позволяет развить теорию интегрирования функций на многообразии с помощью ассоциированного интеграла Лебега .

Мера может быть определена, по теореме Рисса , давая положительный линейный функционал $Л$ на пространстве $C 0 (M)$ с компактным носителем непрерывных функций на $М$ . Более точно, если $М$ является многообразием с (псевдо-) римановой метрикой тензора $г$ , то существует единственная положительная борелевская мера $μ г$ такие , что для любых координатной диаграммы $(U, ф)$ ,

{\ displaystyle \ Lambda f = \ int _ {U} f \, d \ mu _ {g} = \ int _ {\ varphi (U)} f \ circ \ varphi ^ {- 1} (x) {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx}

для всех $е$ поддерживается в $U$ . Здесь $det g$ - определитель матрицы, образованной компонентами метрического тензора в координатной карте. То, что $Λ$ корректно определено на функциях с носителями в координатных окрестностях, оправдывается якобиевой заменой переменных . Он продолжается до единственного положительного линейного функционала на $C 0 (M)$ с помощью разбиения единицы .

Если $M$ также ориентирован , то можно определить форму естественного объема из метрического тензора. В положительно ориентированной системе координат $(x 1, ..., x n)$ форма объема представлена как

{\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {| \ det g |}} \, dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}

где $dx i$ - координатные дифференциалы, а $\land$ - внешнее произведение в алгебре дифференциальных форм . Форма объема также позволяет интегрировать функции на многообразии, и этот геометрический интеграл согласуется с интегралом, полученным с помощью канонической меры Бореля.

Примеры

Евклидова метрика

Самый известный пример - элементарная евклидова геометрия : двумерный евклидов метрический тензор. В обычных координатах $(x, y)$ мы можем написать

{\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,.}

Длина кривой сводится к формуле:

{\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {(dx) ^ {2} + (dy) ^ {2}}} \ ,.}

Евклидова метрика в некоторых других распространенных системах координат может быть записана следующим образом.

Полярные координаты $(r, θ)$ :

{\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ cos \ theta \\ y & = r \ sin \ theta \\ J & = {\ begin {bmatrix} \ cos \ theta & -r \ sin \ theta \\\ sin \ theta & r \ cos \ theta \ end {bmatrix}} \,. \ end {align}}}

Так

{\ Displaystyle г = J ^ {\ mathsf {T}} J = {\ begin {bmatrix} \ cos ^ {2} \ theta + \ sin ^ {2} \ theta & -r \ sin \ theta \ cos \ theta + r \ sin \ theta \ cos \ theta \\ - r \ cos \ theta \ sin \ theta + r \ cos \ theta \ sin \ theta & r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + r ^ {2 } \ cos ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r ^ {2} \ end {bmatrix}}}

по тригонометрические тождества .

В общем, в декартовой системе координаты $х I$ на евклидово пространства , частные производные $\partial / \partial х я$ являюсь ортонормированным относительно евклидовой метрикой. Таким образом, метрический тензор - это символ Кронекера δ _ij в этой системе координат. Метрический тензор относительно произвольных (возможно, криволинейных) координат $q i$ имеет вид

{\ displaystyle g_ {ij} = \ sum _ {kl} \ delta _ {kl} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {l}} {\ partial q ^ {j}}} = \ sum _ {k} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {i}}} {\ frac {\ partial x ^ {k}} {\ partial q ^ {j}}}.}

Круглая метрика на сфере

Единичная сфера в $ℝ 3$ снабжена естественной метрикой, индуцированной внешней евклидовой метрикой посредством процесса, описанного в разделе, посвященном индуцированной метрике . В стандартных сферических координатах $(θ, φ)$ , где $θ$ - широта , угол, измеренный от оси $z$ , и $φ$ - угол от оси $x$ в плоскости $xy$ , метрика принимает вид

{\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}} \ ,.}

Обычно это записывается в виде

{\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ varphi ^ {2} \ ,.}

Лоренцевы метрики из теории относительности

В плоском пространстве Минковского ( специальная теория относительности ) с координатами

{\ displaystyle r ^ {\ mu} \ rightarrow \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ right) = (ct, x, y, z) \ ,,}

метрика, в зависимости от выбора сигнатуры метрики ,

{\ displaystyle g = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \ end {bmatrix}} \ quad {\ text {или}} \ quad g = {\ begin { bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,.}

Для кривой с, например, постоянной координатой времени, формула длины с этой метрикой сводится к обычной формуле длины. Для времениподобной кривой формула длины дает собственное время вдоль кривой.

В этом случае интервал пространства-времени записывается как

{\ displaystyle ds ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -dx ^ {2} -dy ^ {2} -dz ^ {2} = dr ^ {\ mu} dr _ {\ mu} = g _ {\ mu \ nu} dr ^ {\ mu} dr ^ {\ nu} \ ,.}

Метрика Шварцшильда описывает пространство -время вокруг сферически - симметричного тела, такие как планеты, или черной дыры . С координатами

{\ displaystyle \ left (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, x ^ {3} \ right) = (ct, r, \ theta, \ varphi) \ ,,}

мы можем записать метрику как

{\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} \ left (1 - {\ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \ left (1- { \ frac {2GM} {rc ^ {2}}} \ right) ^ {- 1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -r ^ {2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta \ конец {bmatrix}} \ ,,}

где $G$ (внутри матрицы) - гравитационная постоянная, а $M$ - полное массово-энергетическое содержание центрального объекта.

Смотрите также

Основное введение в математику искривленного пространства-времени
Алгебра Клиффорда
Финслеровский коллектор
Список карт координат
Исчисление Риччи
Индикатриса Тиссо , метод визуализации метрического тензора

Languages

In other projects