Гиперболический треугольник - Hyperbolic triangle
В гиперболической геометрии , A гиперболической треугольник является треугольником в гиперболической плоскости . Он состоит из трех отрезков, называемых сторонами или ребрами, и трех точек, называемых углами или вершинами .
Как и в евклидовом случае, три точки гиперболического пространства произвольной размерности всегда лежат на одной плоскости. Следовательно, плоские гиперболические треугольники также описывают треугольники, возможные в любой более высокой размерности гиперболических пространств.
Определение
Гиперболический треугольник состоит из трех неколлинеарных точек и трех отрезков между ними.
Характеристики
Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в евклидовой геометрии :
- Каждый гиперболический треугольник имеет вписанную окружность, но не каждый гиперболический треугольник имеет описанную окружность (см. Ниже). Его вершины могут лежать на орицикле или гиперцикле .
Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, аналогичными свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии :
- Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
- Есть верхняя граница площади треугольников.
- Имеется верхняя граница радиуса вписанной окружности .
- Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению линейных отражений.
- Два треугольника с соответствующими углами равны конгруэнтны (т. Е. Все подобные треугольники конгруэнтны).
Гиперболические треугольники обладают некоторыми свойствами, противоположными свойствам треугольников в сферической или эллиптической геометрии:
- Сумма углов треугольника меньше 180 °.
- Площадь треугольника пропорциональна дефициту его суммы углов от 180 °.
Гиперболические треугольники также обладают некоторыми свойствами, которых нет в других геометриях:
- Некоторые гиперболические треугольники не имеют описанной окружности , это тот случай, когда хотя бы одна из его вершин является идеальной точкой или когда все его вершины лежат на орицикле или одностороннем гиперцикле .
- Гиперболические треугольники тонкие , максимальное расстояние δ от точки на ребре до одного из двух других ребер. Этот принцип дал начало δ-гиперболическому пространству .
Треугольники с идеальными вершинами
Определение треугольника можно обобщить, разрешив вершины на идеальной границе плоскости, сохраняя стороны внутри плоскости. Если пара сторон является предельной параллелью (то есть расстояние между ними приближается к нулю, поскольку они стремятся к идеальной точке , но не пересекаются), то они заканчиваются в идеальной вершине, представленной как точка омега .
Можно также сказать, что такая пара сторон образует нулевой угол .
Треугольник с нулевым углом невозможен в евклидовой геометрии для прямых сторон, лежащих на различных прямых. Однако такие нулевые углы возможны с касательными окружностями .
Треугольник с одной идеальной вершиной называется омега-треугольником .
Особые треугольники с идеальными вершинами:
Треугольник параллельности
Треугольник, в котором одна вершина - идеальная точка, один угол - прямой: третий угол - это угол параллельности длины стороны между прямым и третьим углом.
Швейкартский треугольник
Треугольник, в котором две вершины - идеальные точки, а оставшийся угол - прямой , - один из первых гиперболических треугольников (1818 г.), описанных Фердинандом Карлом Швейкартом .
Идеальный треугольник
Треугольник, все вершины которого являются идеальными точками, идеальный треугольник - это самый большой из возможных треугольников в гиперболической геометрии из-за нулевой суммы углов.
Стандартизированная гауссова кривизна
Отношения между углами и сторонами аналогичны отношениям сферической тригонометрии ; масштаб длины как для сферической геометрии, так и для гиперболической геометрии может быть определен, например, как длина стороны равностороннего треугольника с фиксированными углами.
Шкала длины наиболее удобна, если длины измеряются в единицах абсолютной длины (особая единица измерения длины, аналогичная соотношению расстояний в сферической геометрии ). Такой выбор этой шкалы длины упрощает формулы.
В рамках модели полуплоскости Пуанкаре абсолютная длина соответствует бесконечно малой метрике, а в модели диска Пуанкаре - .
В терминах (постоянной и отрицательной) гауссовой кривизны K гиперболической плоскости единица абсолютной длины соответствует длине
- .
В гиперболическом треугольнике сумма углов A , B , C (соответственно противоположных стороне с соответствующей буквой) строго меньше прямого угла . Разница между мерой прямого угла и суммой размеров углов треугольника называется дефектом треугольника. Площадь гиперболического треугольника равна его дефект , умноженной на квадрат из R :
- .
Эта теорема, впервые доказанная Иоганном Генрихом Ламбертом , связана с теоремой Жирара в сферической геометрии.
Тригонометрия
Во всех формулах, приведенных ниже, стороны a , b и c должны быть измерены в абсолютной длине , единице так, чтобы гауссова кривизна K плоскости была равна -1. Другими словами, величина R в предыдущем абзаце должна быть равна 1.
Тригонометрические формулы для гиперболических треугольников зависят от гиперболических функций sh, ch и tanh.
Тригонометрия прямоугольных треугольников
Если C - прямой угол, то:
- Синус угла А является гиперболический синус стороны , противоположной от угла , деленной на синус гиперболический на гипотенузе .
- Косинус угла А является гиперболическим тангенсом смежной ноги , разделенной на гиперболическом тангенсе гипотенузы.
- Касательное угла А является гиперболическим тангенсом противоположной ноги , разделенной на гиперболическом синусе смежной ноги.
- .
- Гиперболический косинус прилегающей к ноге угла А является косинус угла B , деленной на синус угла А.
- .
- Гиперболический косинус гипотенузы является продуктом из гиперболических косинусов ног.
- .
- Гиперболический косинус гипотенузы также является произведением косинусов углов , деленное на произведение их синусов .
Отношения между углами
У нас также есть следующие уравнения:
Область
Площадь прямоугольного треугольника составляет:
также
Угол параллельности
Пример омега-треугольника с прямым углом обеспечивает конфигурацию для проверки угла параллельности в треугольнике.
В этом случае угол B = 0, a = c = и , в результате .
Равносторонний треугольник
В тригонометрических формулах правильных треугольников также дают отношения между сторонами s и углами А в качестве равностороннего треугольника (треугольник , где все стороны имеют одинаковую длину и все углы равны).
Отношения бывают:
Общая тригонометрия
Независимо от того, является ли C прямым углом или нет, выполняются следующие соотношения: гиперболический закон косинусов выглядит следующим образом:
Его двойственная теорема является
Также существует закон синусов :
и формула из четырех частей:
который выводится так же, как и аналогичная формула в сферической тригонометрии .
Смотрите также
Для гиперболической тригонометрии:
- Гиперболический закон косинусов
- Гиперболический закон синусов
- Четырехугольник Ламберта
- Четырехугольник Саккери
использованная литература
дальнейшее чтение
- Светлана Каток (1992) Fuchsian Groups , University of Chicago Press ISBN 0-226-42583-5