Лемма Фату - Fatou's lemma

В математике , лемма Фата устанавливает неравенство , связывающее интеграл Лебега от предельного нижнего из последовательности от функций до предела нижнего интегралов от этих функций. Лемма названа в честь Пьера Фату .

Лемму Фату можно использовать для доказательства теоремы Фату – Лебега и теоремы Лебега о доминируемой сходимости .

Стандартное заявление

Далее через -алгебру борелевских множеств на . ${\ displaystyle \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle [0, + \ infty]}$

Теорема - лемма Фату. Учитывая измеримое пространство и набор Пусть последовательность измеримых неотрицательных функций . Определите функцию , установив для каждого . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mu)}$ ${\ displaystyle X \ in {\ mathcal {F}},}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {п} \}}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ displaystyle f_ {n}: от X \ до [0, + \ infty]}$ ${\ displaystyle f: X \ to [0, + \ infty]}$ ${\ Displaystyle е (х) = \ liminf _ {п \ к \ infty} е_ {п} (х),}$ ${\ displaystyle x \ in X}$

Тогда является -измеримым, а также , где интегралы могут быть бесконечными . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {X} f_ {n} \, d \ mu}$

Лемма Фату остается верной, если ее предположения выполняются почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевого множества, такого что последовательность не убывает для каждого. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интегралы, фигурирующие в лемме Фату, не изменятся, если мы изменим каждую функцию на . ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle N}$ ${\ Displaystyle \ {е_ {п} (х) \}}$ ${\ displaystyle {x \ in X \ setminus N}.}$ ${\ displaystyle N}$

Доказательство

Лемма Фату не требует теоремы о монотонной сходимости , но ее можно использовать для быстрого доказательства. Доказательство непосредственно из определений интегралов дается ниже.

В каждом случае доказательство начинается с анализа свойств . Они удовлетворяют: ${\ displaystyle \ textstyle g_ {n} (x) = \ inf _ {k \ geq n} f_ {k} (x)}$

последовательность является точечно не убывает при любых $х$ и ${\ Displaystyle \ {г_ {п} (х) \} _ {п}}$
${\ displaystyle g_ {n} \ leq f_ {n}}$ , . ${\ Displaystyle \ forall п \ в \ mathbb {N}}$

Так как сразу видно, что $f$ измеримо. ${\ displaystyle f (x) = \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} (x) = \ lim _ {n \ to \ infty} \ inf _ {k \ geq n} f_ {k} ( x) = \ lim _ {n \ to \ infty} {g_ {n} (x)}}$

С помощью теоремы о монотонной сходимости

Более того,

{\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu = \ int _ {X} \ lim _ {n} g_ {n} \, d \ mu}

По теореме о монотонной сходимости и свойству (1) предел и интеграл можно поменять местами:

{\ Displaystyle {\ begin {align} \ int _ {X} f \, d \ mu & = \ lim _ {n} \ int _ {X} g_ {n} \, d \ mu \\ & = \ liminf _ {n} \ int _ {X} g_ {n} \, d \ mu \\ & \ leq \ liminf _ {n} \ int _ {X} f_ {n} \, d \ mu, \ end {выровнено }}}

где на последнем шаге использовано свойство (2).

Из «первых принципов»

Чтобы продемонстрировать, что теорема о монотонной сходимости не «скрыта», в приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь.

Обозначим через множество простых -измеримых функций таких, что на . ${\ displaystyle \ operatorname {SF} (f)}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ displaystyle s: X \ to [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle 0 \ leq s \ leq f}$ ${\ displaystyle X}$

Монотонность -

Если везде, то ${\ displaystyle f \ leq g}$ ${\ displaystyle X,}$

{\ displaystyle \ int _ {X} f \, d \ mu \ leq \ int _ {X} g \, d \ mu.}

Если и тогда ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2} \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle X_ {1} \ substeq X_ {2},}$

{\ displaystyle \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu \ leq \ int _ {X_ {2}} f \, d \ mu.}

Если $f$ неотрицательна и , где - неубывающая цепочка -измеримых множеств, то ${\ Displaystyle S = \ чашка _ {я = 1} ^ {\ infty} S_ {я}}$ ${\ Displaystyle S_ {1} \ substeq \ ldots \ substeq S_ {я} \ substeq \ ldots \ substeq S}$ ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ int _ {S} {е \, d \ mu} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ int _ {S_ {n}} {f \, d \ mu}}}

Доказательство -

1. Поскольку у нас есть ${\ displaystyle f \ leq g,}$

{\ displaystyle \ operatorname {SF} (f) \ substeq \ operatorname {SF} (g).}

По определению интеграла Лебега и свойствам супремума

{\ Displaystyle \ int _ {X} е \, d \ mu = \ sup _ {s \ in {\ rm {SF}} (f)} \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ sup _ {s \ in {\ rm {SF}} (g)} \ int _ {X} s \, d \ mu = \ int _ {X} g \, d \ mu.}

2. Пусть - индикаторная функция множества. Из определения интеграла Лебега можно вывести, что ${\ displaystyle {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}}}$ ${\ displaystyle X_ {1}.}$

{\ displaystyle \ int _ {X_ {2}} f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \, d \ mu = \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu }

если мы заметим, что для каждого свойства, отличного от Combined с предыдущим свойством, неравенство подразумевает ${\ displaystyle s \ in {\ rm {SF}} (е \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}}),}$ ${\ displaystyle s = 0}$ ${\ displaystyle X_ {1}.}$ ${\ displaystyle f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \ leq f}$

{\ displaystyle \ int _ {X_ {1}} f \, d \ mu = \ int _ {X_ {2}} f \ cdot {\ mathbf {1}} _ {X_ {1}} \, d \ mu \ leq \ int _ {X_ {2}} f \, d \ mu.}

3. Сначала отметим, что утверждение выполняется, если $f$ - индикаторная функция множества, в силу монотонности мер . По линейности отсюда сразу же следует требование для простых функций.

Поскольку любая простая функция, поддерживаемая на $S n$ , проста и поддерживается на $X$ , мы должны иметь

{\ displaystyle \ int _ {X} {е \, d \ mu} \ geq \ lim _ {n \ to \ infty} {\ int _ {S_ {n}} {f \, d \ mu}}}

.

Наоборот, предположим, что $g \in SF (f)$ с По сказанному выше ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {X} {е \, d \ mu} - \ epsilon \ leq \ int _ {X} {g \, d \ mu}}$

{\ displaystyle \ int _ {X} {е \, d \ mu} - \ epsilon \ leq \ int _ {X} {g \, d \ mu} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ int _ {S_ {n}} {g \, d \ mu}} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} {\ int _ {S_ {n}} {f \, d \ mu}}}

Теперь обратимся к основной теореме

Шаг 1 - это -измеримый, для каждого , как это . ${\ displaystyle g_ {n} = g_ {n} (x)}$ ${\ displaystyle ({\ mathcal {F}}, \ operatorname {\ mathcal {B}} _ {\ mathbb {R} _ {\ geq 0}})}$ ${\ Displaystyle п \ geq 1}$ ${\ displaystyle f}$

Доказательство -

Напомним замкнутые интервалы порождают в Бореля $сг$ - алгебра . Таким образом, для каждого достаточно показать это . Теперь заметьте, что ${\ Displaystyle т \ в [- \ infty, + \ infty]}$ ${\ displaystyle g_ {n} ^ {- 1} ([t, + \ infty]) \ in {\ mathcal {F}}}$

{\ Displaystyle {\ begin {align} g_ {n} ^ {- 1} ([t, + \ infty]) & = \ left \ {x \ in X \ mid g_ {n} (x) \ geq t \ right \} \\ [3pt] & = \ bigcap _ {k} \ left \ {x \ in X \ mid f_ {k} (x) \ geq t \ right \} \\ [3pt] & = \ bigcap _ {k} f_ {k} ^ {- 1} ([t, + \ infty]) \ конец {выровнено}}}

Каждое множество в правой части - из , которое замкнуто относительно счетных пересечений. Таким образом, левая часть также входит в состав . ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$

Точно так же достаточно проверить, что для каждого . Поскольку последовательность поточечно неубывает, ${\ displaystyle f ^ {- 1} ([0, t]) \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle т \ в [- \ infty, + \ infty]}$ ${\ Displaystyle \ {г_ {п} (х) \}}$

{\ displaystyle f ^ {- 1} ([0, t]) = \ bigcap _ {n} g_ {n} ^ {- 1} ([0, t]) \ in {\ mathcal {F}}}

.

Шаг 2 - Учитывая простую функцию и действительное число , определите ${\ displaystyle s \ in \ operatorname {SF} (f)}$ ${\ Displaystyle т \ в (0,1)}$

{\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = \ {x \ in X \ mid t \ cdot s (x) \ leq g_ {k} (x) \} \ substeq X.}

Тогда , и . ${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} \ in {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle B_ {k} ^ {s, t} \ substeq B_ {k + 1} ^ {s, t}}$ ${\ displaystyle \ textstyle X = \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t}}$

Доказательство -

Шаг 2а. Чтобы доказать первое утверждение, запись $ев$ в виде взвешенной суммы индикаторных функций из непересекающихся множеств :

{\ displaystyle s = \ sum _ {i = 1} ^ {m} c_ {i} \ cdot \ mathbf {1} _ {A_ {i}}}

.

потом

{\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t} = \ bigcup _ {i = 1} ^ {m} {\ Bigl (} g_ {k} ^ {- 1} {\ Bigl (} [t \ cdot c_ {i}, + \ infty] {\ Bigr)} \ cap A_ {i} {\ Bigr)}}

.

Так как прообраз борелевского множества относительно измеримой функции измерим, а -алгебры замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение. ${\ displaystyle g_ {k} ^ {- 1} {\ Bigl (} [t \ cdot c_ {i}, + \ infty] {\ Bigr)}}$ ${\ Displaystyle [т \ cdot c_ {я}, + \ infty]}$ ${\ displaystyle g_ {k}}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

Шаг 2б. Чтобы доказать второе утверждение, заметим , что для каждого и каждый , ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle x \ in X}$ ${\ displaystyle g_ {k} (x) \ leq g_ {k + 1} (x).}$

Шаг 2c. Чтобы доказать третье утверждение, предположим от противного, что существует

{\ displaystyle x_ {0} \ in X \ setminus \ bigcup _ {k} B_ {k} ^ {s, t} = \ bigcap _ {k} (X \ setminus B_ {k} ^ {s, t}) }

Затем для каждого . Принимая предел как , ${\ displaystyle g_ {k} (x_ {0}) <t \ cdot s (x_ {0})}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

{\ displaystyle f (x_ {0}) \ leq t \ cdot s (x_ {0}) <s (x_ {0}).}

Это противоречит нашему первоначальному предположению, что . ${\ displaystyle s \ leq f}$

Шаг 3 - От шага 2 и монотонности,

{\ displaystyle \ lim _ {n} \ int _ {B_ {n} ^ {s, t}} s \, d \ mu = \ int _ {X} s \, d \ mu.}

Шаг 4 - Для каждого , ${\ displaystyle s \ in \ operatorname {SF} (f)}$

{\ Displaystyle \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu}

.

Доказательство -

В самом деле, используя определение , неотрицательность и монотонность интеграла Лебега, имеем ${\ displaystyle B_ {k} ^ {s, t}}$ ${\ displaystyle g_ {k}}$

{\ displaystyle \ forall k \ geq 1 \ qquad \ int _ {B_ {k} ^ {s, t}} t \ cdot s \, d \ mu \ leq \ int _ {B_ {k} ^ {s, t }} g_ {k} \, d \ mu \ leq \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu}

.

В соответствии с шагом 4, поскольку неравенство принимает вид ${\ Displaystyle к \ к \ infty}$

{\ Displaystyle т \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu}

.

Принимая предел как доходность ${\ displaystyle t \ uparrow 1}$

{\ Displaystyle \ int _ {X} s \, d \ mu \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu}

,

как требуется.

Шаг 5 - Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 4, и учтем, что : ${\ displaystyle g_ {n} \ leq f_ {n}}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {X} f \, d \ mu & = \ sup _ {s \ in \ operatorname {SF} (f)} \ int _ {X} s \, d \ му \\ & \ leq \ lim _ {k} \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu \\ & = \ liminf _ {k} \ int _ {X} g_ {k} \, d \ mu \\ & \ leq \ liminf _ {k} \ int _ {X} f_ {k} \, d \ mu \ end {align}}}

Доказательство окончено.

Примеры строгого неравенства

Оборудовать пространство с борелевской а-алгебры и меры Лебега . ${\ displaystyle S}$

Пример для вероятностного пространства : Обозначим единичный интервал . Для каждого натурального числа определите ${\ Displaystyle S = [0,1]}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} n & {\ text {for}} x \ in (0,1 / n), \\ 0 & {\ text {в противном случае.}} \ end { случаи}}}

Пример с равномерной сходимостью : Обозначим через множество всех действительных чисел . Определять ${\ displaystyle S}$

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {n}} & {\ text {for}} x \ in [0, n], \\ 0 & {\ text {в противном случае.}} \ end {case}}}

Эти последовательности сходятся поточечно (соответственно равномерно) к нулевой функции (с нулевым интегралом), но каждая имеет целую единицу. ${\ Displaystyle (е_ {п}) _ {п \ в \ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$

Роль неотрицательности

Подходящее предположение о негативных частях последовательности F ₁ , F ₂ ,. . . функций необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Обозначим через S полупрямую [0, ∞) с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим

{\ displaystyle f_ {n} (x) = {\ begin {case} - {\ frac {1} {n}} & {\ text {for}} x \ in [n, 2n], \\ 0 & {\ текст {иначе.}} \ end {case}}}

Эта последовательность сходится равномерно на S к нулевой функции, и предел 0 достигается за конечное число шагов: для любого x ≥ 0, если $n > x$ , то f _n ( x ) = 0. Однако каждая функция f _n имеет интеграл −1. Вопреки лемме Фату это значение строго меньше интеграла от предела (0).

Как обсуждается в § Расширения и вариации леммы Фату ниже, проблема состоит в том, что не существует равномерной интегрируемой оценки последовательности снизу, а 0 - это равномерная оценка сверху.

Обратная лемма Фату

Пусть F ₁ , F ₂ ,. . . - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция g на S такая, что f _n ≤ g для всех n , то

{\ Displaystyle \ limsup _ {п \ к \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ int _ {S} \ limsup _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, д \ му.}

Примечание: здесь g интегрируемый означает, что g измеримо и что . ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <\ infty}$

Эскиз доказательства

Применим линейность интеграла Лебега и леммы Фату к последовательности, поскольку эта последовательность определена -почти всюду и неотрицательна. ${\ displaystyle g-f_ {n}.}$ ${\ displaystyle \ textstyle \ int _ {S} g \, d \ mu <+ \ infty,}$ ${\ displaystyle \ mu}$

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрируемая нижняя граница

Пусть F ₁ , F ₂ ,. . . - последовательность расширенных измеримых действительных функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует интегрируемая функция g на S такая, что f _n ≥ - g для всех n , то

{\ displaystyle \ int _ {S} \ liminf _ {n \ to \ infty} f_ {n} \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, д \ му.}

Доказательство

Примените лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной f _n + g .

Поточечная сходимость

Если в предыдущей установке последовательность F ₁ , F ₂ ,. . . поточечно сходится к функции f μ - почти всюду на S , то

{\ displaystyle \ int _ {S} е \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu \ ,.}

Доказательство

Обратите внимание , что е должен согласиться с пределом нижней функции F _п почти всюду, и что значения подынтегральной на множестве нулевой меры не оказывают никакого влияния на величину интеграла.

Сходимость по мере

Последнее утверждение справедливо, если последовательность F ₁ , F ₂ ,. . . сходится по мере к функции f .

Доказательство

Существует подпоследовательность такая, что

{\ displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n_ {k}} \, d \ mu = \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ { п} \, д \ му.}

Поскольку эта подпоследовательность также сходится по мере к f , существует еще одна подпоследовательность, которая поточечно сходится к f почти всюду, поэтому предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подпоследовательности.

Лемма Фату с различными мерами.

Во всех приведенных выше утверждениях леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере μ. Предположим, что μ _n - последовательность мер на измеримом пространстве ( S , Σ ) такая, что (см. Сходимость мер )

{\ displaystyle \ mu _ {n} (E) \ to \ mu (E), ~ \ forall E \ in {\ mathcal {F}}.}

Тогда, когда f _n неотрицательных интегрируемых функций и f является их поточечным пределом ниже, мы имеем

{\ displaystyle \ int _ {S} f \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu _ {n}.}

Доказательство

Мы докажем здесь кое-что посильнее. А именно, мы позволим f _n сходиться μ- почти всюду на подмножестве E в S. Мы стремимся показать, что

{\ displaystyle \ int _ {E} е \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} \ ,.}

Позволять

{\ Displaystyle К = \ {х \ в E | f_ {n} (x) \ rightarrow f (x) \}}

.

Тогда μ (EK) = 0 и

{\ displaystyle \ int _ {E} е \, d \ mu = \ int _ {EK} f \, d \ mu, ~~~ \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu = \ int _ {EK} f_ {n} \, d \ mu ~ \ forall n \ in \ mathbb {N}.}

Таким образом, заменяя E на EK, мы можем считать, что f _n сходится к f поточечно на E. Далее заметим, что для любой простой функции φ мы имеем

{\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {n}.}

Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если φ - любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная f, то

{\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu \ leq \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n}}

Пусть a - минимальное неотрицательное значение φ. Определять

{\ Displaystyle А = \ {х \ в Е | \ фи (х)> а \}}

Рассмотрим сначала случай, когда . Мы должны иметь, что μ (A) бесконечно, поскольку ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu = \ infty}$

{\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu \ leq M \ mu (A),}

где M - (обязательно конечное) максимальное значение, которого достигает φ .

Далее мы определяем

{\ displaystyle A_ {n} = \ {x \ in E | f_ {k} (x)> a ~ \ forall k \ geq n \}.}

У нас есть это

{\ displaystyle A \ substeq \ bigcup _ {n} A_ {n} \ Rightarrow \ mu (\ bigcup _ {n} A_ {n}) = \ infty.}

Но A _n - это вложенная возрастающая последовательность функций и, следовательно, в силу непрерывности снизу μ ,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mu (A_ {n}) = \ infty.}

.

Таким образом,

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mu _ {n} (A_ {n}) = \ mu (A_ {n}) = \ infty.}

.

В то же время,

{\ displaystyle \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} \ geq a \ mu _ {n} (A_ {n}) \ Rightarrow \ liminf _ {n \ to \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {n} = \ infty = \ int _ {E} \ phi \, d \ mu,}

доказывая иск в этом случае.

Остающийся случай - когда . Мы должны иметь конечность μ (A) . Обозначим, как и выше, через M максимальное значение φ и зафиксируем ε> 0. Определять ${\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu <\ infty}$

{\ displaystyle A_ {n} = \ {x \ in E | f_ {k} (x)> (1- \ epsilon) \ phi (x) ~ \ forall k \ geq n \}.}

Тогда A _n - это вложенная возрастающая последовательность множеств, объединение которых содержит A. Таким образом, AA _n - это убывающая последовательность множеств с пустым пересечением. Поскольку A имеет конечную меру (поэтому нам пришлось рассматривать два отдельных случая),

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mu (A-A_ {n}) = 0.}

Таким образом, существует n такое, что

{\ displaystyle \ mu (A-A_ {k}) <\ epsilon, ~ \ forall k \ geq n.}

Следовательно, поскольку

{\ displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} \ mu _ {n} (A-A_ {k}) = \ mu (A-A_ {k}),}

существует такое N, что

{\ displaystyle \ mu _ {k} (A-A_ {k}) <\ epsilon, ~ \ forall k \ geq N.}

Следовательно, для ${\ Displaystyle к \ geq N}$

{\ displaystyle \ int _ {E} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {A_ {k}} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq (1 - \ epsilon) \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}

В то же время,

{\ displaystyle \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} = \ int _ {A} \ phi \, d \ mu _ {k} = \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} + \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}

Следовательно,

{\ Displaystyle (1- \ epsilon) \ int _ {A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} \ geq (1- \ epsilon) \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k}.}

Комбинирование этих неравенств дает

{\ displaystyle \ int _ {E} f_ {k} \, d \ mu _ {k} \ geq (1- \ epsilon) \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ int _ {A-A_ {k}} \ phi \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {E} \ phi \, d \ mu _ {k} - \ epsilon \ left (\ int _ {E } \ phi \, d \ mu _ {k} + M \ right).}

Следовательно, переводя ε в 0 и взяв предел по n, мы получаем, что

{\ displaystyle \ liminf _ {n \ rightarrow \ infty} \ int _ {E} f_ {n} \, d \ mu _ {k} \ geq \ int _ {E} \ phi \, d \ mu,}

завершая доказательство.

Лемма Фату для условных ожиданий

В теории вероятностей , путем изменения обозначений, приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин X ₁ , X ₂ ,. . . определяется на вероятностном пространстве ; интегралы превращаются в ожидания . Кроме того, есть версия для условных ожиданий . ${\ Displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, \, {\ mathcal {F}}, \, \ mathbb {P})}$

Стандартная версия

Пусть X ₁ , X ₂ ,. . . - последовательность неотрицательных случайных величин на вероятностном пространстве и пусть - под- σ-алгебра . потом ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

почти наверняка .

Примечание. Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда хорошо определено, конечное ожидание не требуется.

Доказательство

Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство стандартной версии леммы Фату выше, однако должна применяться теорема о монотонной сходимости для условных ожиданий .

Пусть X обозначает нижний предел X _n . Для каждого натурального числа k определим поточечно случайную величину

{\ displaystyle Y_ {k} = \ inf _ {n \ geq k} X_ {n}.}

Тогда последовательность Y ₁ , Y ₂ ,. . . возрастает и сходится к точечно X . Для k ≤ n имеем Y _k ≤ X _n , так что

{\ Displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

почти наверняка

по монотонности условного ожидания , следовательно ,

{\ displaystyle \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \ leq \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G} }]}

почти наверняка,

потому что счетное объединение исключительных множеств с нулевой вероятностью снова является нулевым множеством . Используя определение X , его представление как поточечный предел Y _k , теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверняка

{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} { \ Bigr]} & = \ mathbb {E} [X | {\ mathcal {G}}] = \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ lim _ {k \ to \ infty} Y_ {k} \, { \ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} = \ lim _ {k \ to \ infty} \ mathbb {E} [Y_ {k} | {\ mathcal {G}}] \\ & \ leq \ lim _ {k \ to \ infty} \ inf _ {n \ geq k} \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}] = \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]. \ end {align}}}

Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части

Пусть X ₁ , X ₂ ,. . . - последовательность случайных величин на вероятностном пространстве и пусть - под- σ-алгебра . Если отрицательные части ${\ displaystyle \ scriptstyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathcal {G}} \, \ subset \, {\ mathcal {F}}}$

{\ displaystyle X_ {n} ^ {-}: = \ max \ {- X_ {n}, 0 \}, \ qquad n \ in {\ mathbb {N}},}

равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что для ε > 0 существует c > 0 такое, что

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G}} {\ bigr]} <\ varepsilon, \ qquad {\ text {для всех}} n \ in \ mathbb {N}, \, {\ text {почти наверняка}}}

,

тогда

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \, \ mathbb {E} [X_ {n} | {\ mathcal {G}}]}

почти наверняка.

Примечание: на съемочной площадке, где

{\ displaystyle X: = \ liminf _ {n \ to \ infty} X_ {n}}

удовлетворяет

{\ Displaystyle \ mathbb {E} [\ макс \ {X, 0 \} \, | \, {\ mathcal {G}}] = \ infty,}

левая часть неравенства считается равной плюс бесконечности. Условное ожидание нижнего предела может быть плохо определено на этом наборе, потому что условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечность.

Доказательство

Пусть ε > 0. В силу равномерной интегрируемости относительно условного ожидания существует c > 0 такое, что

{\ displaystyle \ mathbb {E} {\ bigl [} X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}} \, | \, {\ mathcal {G}} {\ bigr]} <\ varepsilon \ qquad {\ text {для всех}} n \ in \ mathbb {N}, \, {\ text {почти наверняка}}.}

С

{\ Displaystyle X + с \ Leq \ liminf _ {п \ к \ infty} (X_ {n} + c) ^ {+},}

где x ⁺ : = max { x , 0} обозначает положительную часть действительного x , монотонность условного ожидания (или указанное выше соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий подразумевает

{\ Displaystyle \ mathbb {E} [X \, | \, {\ mathcal {G}}] + c \ leq \ mathbb {E} {\ Bigl [} \ liminf _ {n \ to \ infty} (X_ { n} + c) ^ {+} \, {\ Big |} \, {\ mathcal {G}} {\ Bigr]} \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} \, | \, {\ mathcal {G}}]}

почти наверняка.

С

{\ displaystyle (X_ {n} + c) ^ {+} = (X_ {n} + c) + (X_ {n} + c) ^ {-} \ leq X_ {n} + c + X_ {n} ^ {-} 1 _ {\ {X_ {n} ^ {-}> c \}},}

у нас есть

{\ displaystyle \ mathbb {E} [(X_ {n} + c) ^ {+} \, | \, {\ mathcal {G}}] \ leq \ mathbb {E} [X_ {n} \, | \ , {\ mathcal {G}}] + c + \ varepsilon}

почти наверняка,

следовательно

{\ displaystyle \ mathbb {E} [X \, | \, {\ mathcal {G}}] \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ mathbb {E} [X_ {n} \, | \, {\ mathcal {G}}] + \ varepsilon}

почти наверняка.

Отсюда следует утверждение.

Languages

In other projects

Лемма Фату - Fatou's lemma

Содержание

Стандартное заявление

Доказательство

С помощью теоремы о монотонной сходимости

Из «первых принципов»

Примеры строгого неравенства

Роль неотрицательности

Обратная лемма Фату

Эскиз доказательства

Расширения и вариации леммы Фату

Интегрируемая нижняя граница

Доказательство

Поточечная сходимость

Доказательство

Сходимость по мере

Доказательство

Лемма Фату с различными мерами.

Лемма Фату для условных ожиданий

Стандартная версия

Доказательство

Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части

Доказательство

Рекомендации