Exsecant - Exsecant

Тригонометрия
Контур История использование Функции  ( обратные ) Обобщенная тригонометрия
Справка
Идентичности Точные константы Таблицы Единичный круг
Законы и теоремы
Синусы Косинусы Касательные Котангенсы теорема Пифагора
Исчисление
Тригонометрическая замена Интегралы  ( обратные функции ) Производные
v т е

Exsecant ( exsec , EXS ) и excosecant ( excosec , excsc , возб ) являются тригонометрические функции , определенные в терминах секущих и Косеканс функций. Раньше они были важны в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство , гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия, и могли помочь повысить точность, но сегодня используются редко, за исключением упрощения некоторых расчетов.

Единичная окружность с тригонометрическими функциями .

Exsecant

В тригонометрических функциях, в том числе exsecant, могут быть построены геометрически в терминах единичной окружности с центром в точке O . Exsecant представляет собой часть ДЕ секущие снаружи к окружности.

Exsecant , (лат secans внешний вид ) , также известный как внешний вид , внешний , внешней или наружной секущей и сокращенно exsec или EXS , является тригонометрическая функция определена в терминах функции секущей сек ( & thetas ; ):

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ sec (\ theta) -1 = {\ frac {1} {\ cos (\ theta)}} - 1.}$

Название exsecant можно понять из графического построения различных тригонометрических функций из единичной окружности , как это было исторически. сек ( θ ) является секущей линией ЫМ , а exsecant является частью ДЕ этого секущим , что лежит внешние к окружности ( ех является латинским для из ).

Excosecant

exsecant (синий) и excosecant (зеленый)

Связанная функция - это экзосеканс или сосексанс , также известный как внешний , внешний , внешний или внешний косеканс и сокращенно обозначаемый как excosec , coexsec , excsc или exc , эксеканс дополнительного угла:

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ operatorname {exsec} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - \ theta \ right) = \ csc (\ theta) -1 = {\ гидроразрыв {1} {\ sin (\ theta)}} - 1.}$

использование

Важная в таких областях, как геодезия , железнодорожное строительство (например, для построения кривых и виражей железных дорог ), гражданское строительство , астрономия и сферическая тригонометрия вплоть до 1980-х годов, функция exsecant сейчас мало используется. В основном это связано с тем, что широкая доступность калькуляторов и компьютеров устранила необходимость в тригонометрических таблицах специализированных функций, таких как эта.

Причина определения специальной функции для эксеканса аналогична обоснованию версины : для малых углов θ функция sec ( θ ) приближается к единице , и поэтому использование приведенной выше формулы для эксеканса потребует вычитания двух почти равных количества, что приведет к катастрофической отмене . Таким образом, таблица функции секанса потребует очень высокой точности для использования для exsecant, что делает полезной специализированную таблицу exsecant. Даже с компьютером ошибки с плавающей запятой могут быть проблематичными для exsecants малых углов, если использовать определение на основе косинуса. Более точной формулой в этом пределе было бы использование тождества:

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = {\ frac {1- \ cos (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} = {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta)} {\ cos (\ theta)}} = \ operatorname {versin} (\ theta) \ sec (\ theta) = 2 \ left (\ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ справа) ^ {2} \ sec (\ theta)}$

или

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = {\ frac {1- \ sin (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} = {\ frac {\ operatorname {Coversin} (\ theta)} {\ sin (\ theta)}} = \ operatorname {coverin} (\ theta) \ csc (\ theta) = 2 \ left (\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ справа) ^ {2} \ csc (\ theta). \}$

До появления компьютеров для этого потребовалось бы трудоемкое умножение.

Функция exsecant использовалась Галилео Галилей еще в 1632 году, хотя он все еще называл ее segante (что означает секанс ). Латинский термин « секанс экстерьер» использовался по крайней мере примерно с 1745 года. Использование английского термина « внешний секанс» и аббревиатуры ex. сек. По крайней мере, их можно проследить до 1855 года, когда Чарльз Хаслетт опубликовал первую известную таблицу exsecants. Вариации , такие как бывшие секущие и exsec были в использовании в 1880 году, и exsecant был использован с 1894 по меньшей мере.

Термины coexsecant и coexsec могут быть найдены использованы еще в 1880 году, а затем excosecant с 1909 года функция была также использована на Альберта Эйнштейна , чтобы описать кинетическую энергию из фермионов .

Математические тождества

Производные

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan (\ theta) \ sec (\ theta) = {\ frac { \ sin (\ theta)} {(\ cos (\ theta)) ^ {2}}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ operatorname {excsc} (\ theta) = - \ cot (\ theta) \ csc (\ theta) = {\ frac {- \ cos (\ theta)} {(\ sin (\ theta)) ^ {2}}}}$

Интегралы

${\ displaystyle \ int \ operatorname {exsec} (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ ln \ left [\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) + \ sin \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] - \ ln \ left [\ cos \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) - \ sin \ слева ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right] - \ theta + C}$

${\ Displaystyle \ int \ OperatorName {excsc} (\ theta) \, \ mathrm {d} \ theta = \ ln \ left [\ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right) \ right ] - \ theta + C}$

Обратные функции

Также существуют обратные функции arcexsecant ( arcexsec , aexsec , aexs , exsec ⁻¹ ) и arcexcosecant ( arcexcosec , arcexcsc , aexcsc , aexc , arccoexsecant , arccoexsec , excsc ⁻¹ ):

${\ displaystyle \ operatorname {arcexsec} (y) = \ operatorname {arcsec} (y + 1) = \ arccos \ left ({\ frac {1} {y + 1}} \ right) = \ arctan ({\ sqrt {y ^ {2} + 2y}})}$(для y  ≤ −2 или y  ≥ 0)

${\ displaystyle \ operatorname {arcexcsc} (y) = \ operatorname {arccsc} (y + 1) = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {y + 1}} \ right) \,}$

Прочие свойства

Получено из единичного круга:

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ sec (\ theta) - \ cos (\ theta) - \ operatorname {versin} (\ theta).}$

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ operatorname {csc} (\ theta) - \ sin (\ theta) - \ operatorname {coverin} (\ theta).}$

Функция exsecant связана с функцией касательной соотношением

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan (\ theta) \ tan \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией котангенса соотношением

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = \ cot (\ theta) \ cot \ left ({\ frac {\ theta} {2}} \ right).}$

Функция exsecant связана с функцией синуса соотношением

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (\ theta) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - (\ sin (\ theta)) ^ {2}}}} - 1.}$

Аналогично, функция экзосеканса связана с функцией косинуса соотношением

${\ displaystyle \ operatorname {excsc} (\ theta) = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - (\ cos (\ theta)) ^ {2}}}} - 1.}$

Функции exsecant и excosecant могут быть расширены на комплексную плоскость .

${\ displaystyle \ lim _ {\ theta \ to 0} {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta)} {\ theta}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {versin} (\ theta) + \ operatorname {coverin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {coverin} (\ theta)}} - {\ frac {\ operatorname {exsec} (\ theta) + \ operatorname {excsc} (\ theta)} {\ operatorname {exsec} (\ theta) - \ operatorname {excsc} (\ theta)}} = {\ frac {2 \ operatorname {versin} (\ theta) \ operatorname {coverin} (\ theta)} {\ operatorname {versin} (\ theta) - \ operatorname {playsin} (\ theta)}}}$

${\ Displaystyle (\ Operatorname {exsec} (\ theta) + \ Operatorname {versin} (\ theta)) \, (\ Operatorname {excsc} (\ theta) + \ Operatorname {Coversin} (\ theta)) = \ sin (\ тета) \ соз (\ тета)}$

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} (2 \ theta) = {\ frac {2 \ sin ^ {2} (\ theta)} {1-2 \ sin ^ {2} (\ theta)}}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {exsec} (2 \ тета) \, \ соз (2 \ тета) = \ загар (\ тета)}$

${\ displaystyle \ operatorname {exsec} ^ {2} (\ theta) +2 \ operatorname {exsec} (\ theta) = \ tan ^ {2} (\ theta)}$

Смотрите также

• Тригонометрические тождества  - Равенства, включающие тригонометрические функции
• Версин  - 1 минус косинус угла
• Хорда  - отрезок геометрической линии, оба конца которого лежат на кривой.
• Вписанная и вневписанная окружности треугольника  - окружности, касающиеся всех трех сторон треугольника.
• Экспоненциальная минус 1
• Натуральный логарифм плюс 1

использованная литература