В тригонометрии , то закон котангенсов взаимосвязь между длинами сторон треугольника и котангенсами из половинок трех углов. Это также известно как теорема Кот .
Используя обычные обозначения для треугольника (см. Рисунок в правом верхнем углу), где a , b , c - длины трех сторон, A , B , C - вершины, противоположные этим трем соответствующим сторонам, α , β , γ - соответствующие углы в этих вершинах, s - полупериметр, то есть s =
а + б + с/2, а r - радиус вписанной окружности, закон котангенсов гласит, что
и, кроме того, что inradius определяется как
Доказательство
На верхнем рисунке точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника разбивают периметр на 6 отрезков, по 3 пары. В каждой паре отрезки одинаковой длины. Например, 2 сегмента, смежных с вершиной A , равны. Если мы выберем по одному отрезку из каждой пары, их сумма будет полупериметром s . Примером этого являются сегменты, показанные на рисунке цветом. Два сегмента, составляющих красную линию, в сумме дают a , поэтому синий сегмент должен иметь длину s - a . Очевидно, что остальные пять сегментов также должны иметь длину s - a , s - b или s - c , как показано на нижнем рисунке.
Изучив рисунок и используя определение функции котангенса, мы имеем
и аналогично для двух других углов, доказывая первое утверждение.
Подставляя значения, полученные в первой части, получаем:
Умножение на r 3/sдает значение r 2 , доказывая второе утверждение.
Некоторые доказательства с использованием закона котангенсов
Ряд других результатов можно получить из закона котангенсов.
Формула Герона . Обратите внимание, что площадь треугольника ABC также разделена на 6 меньших треугольников, также на 3 пары, причем треугольники в каждой паре имеют одинаковую площадь. Например, два треугольника около вершины A , являющиеся прямоугольными треугольниками шириной s - a и высотой r , имеют площадь1/2г ( с - а ) . Таким образом, эти два треугольника вместе имеют площадь r ( s - a ) , и,следовательно,площадь S всего треугольника равна