Собственная функция - Eigenfunction

Это решение проблемы вибрирующего барабана в любой момент времени является собственной функцией оператора Лапласа на диске.

В математике , собственная функция из линейного оператора D , определенного на некотором пространстве функций являются любой ненулевой функция F в этом пространстве , что при воздействии на D , только умножаются на некотором коэффициенте масштабирования , называемом собственным значением . В виде уравнения это условие можно записать как

{\ displaystyle Df = \ lambda f}

для некоторого скалярного собственного значения λ. Решения этого уравнения также могут подчиняться граничным условиям, которые ограничивают допустимые собственные значения и собственные функции.

Собственная функция - это тип собственного вектора .

Собственные функции

В общем, собственный вектор линейного оператора D, определенного в некотором векторном пространстве, является ненулевым вектором в области определения D, который, когда D действует на него, просто масштабируется некоторым скалярным значением, называемым собственным значением. В частном случае, когда D определено в функциональном пространстве, собственные векторы называются собственными функциями . То есть функция f является собственной функцией D, если она удовлетворяет уравнению

{\ displaystyle Df = \ lambda f,}

( 1 )

где λ - скаляр. Решения уравнения ( 1 ) также могут подчиняться граничным условиям. Из-за граничных условий возможные значения λ обычно ограничены, например, дискретным набором λ ₁ , λ ₂ ,… или непрерывным набором в некотором диапазоне. Множество всех возможных собственных значений D иногда называют его спектром , который может быть дискретным, непрерывным или сочетанием того и другого.

Каждое значение λ соответствует одной или нескольким собственным функциям. Если несколько линейно независимых собственных функций имеют одно и то же собственное значение, собственное значение называется вырожденным, а максимальное количество линейно независимых собственных функций, связанных с одним и тем же собственным значением, является степенью вырождения собственного значения или геометрической кратностью .

Производный пример

Широко используемый класс линейных операторов, действующих в бесконечномерных пространствах, - это дифференциальные операторы в пространстве C ^∞ бесконечно дифференцируемых вещественных или комплексных функций действительного или комплексного аргумента t . Например, рассмотрим производный оператор с уравнением на собственные значения ${\ textstyle {\ frac {d} {dt}}}$

{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} f (t) = \ lambda f (t).}

Это дифференциальное уравнение можно решить, умножив обе части на и интегрировав. Ее решение - экспоненциальная функция ${\ textstyle {\ frac {dt} {е (т)}}}$

{\ Displaystyle е (т) = е_ {0} е ^ {\ лямбда т},}

- собственная функция оператора производной, где f ₀ - параметр, зависящий от граничных условий. Обратите внимание, что в этом случае собственная функция сама является функцией связанного с ней собственного значения λ, которое может принимать любое действительное или комплексное значение. В частности, заметим, что при λ = 0 собственная функция f ( t ) является постоянной.

Предположим в примере, что f ( t ) подчиняется граничным условиям f (0) = 1 и . Затем мы обнаруживаем, что ${\ textstyle \ left. {\ frac {df} {dt}} \ right | _ {t = 0} = 2}$

{\ displaystyle f (t) = e ^ {2t},}

где λ = 2 - единственное собственное значение дифференциального уравнения, которое также удовлетворяет граничному условию.

Ссылка на собственные значения и собственные векторы матриц

Собственные функции могут быть выражены как векторы-столбцы, а линейные операторы могут быть выражены как матрицы, хотя они могут иметь бесконечные размеры. В результате многие концепции, связанные с собственными векторами матриц, переносятся на изучение собственных функций.

Определите внутренний продукт в функциональном пространстве, в котором D определяется как

{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ f ^ {*} (t) g (t) dt,}

проинтегрировано в некотором интересующем диапазоне для t, называемом Ω. * Обозначает комплексное сопряжение .

Предположим, что функциональное пространство имеет ортонормированный базис, заданный набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ),…, u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. Для ортонормированного базиса

{\ displaystyle \ langle u_ {i}, u_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t) dt = \ delta _ {ij } = {\ begin {cases} 1 & i = j \\ 0 & i \ neq j \ end {cases}},}

где δ _ij - символ Кронекера, и его можно рассматривать как элементы единичной матрицы .

Функции можно записать как линейную комбинацию базисных функций,

{\ displaystyle f (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} u_ {j} (t),}

например, посредством разложения Фурье функции f ( t ). Коэффициенты Ь _J могут быть уложены в п от 1 вектор - столбец Ь = [ Ь ₁ Ь ₂ ... б _п ] ^T . В некоторых особых случаях, таких как коэффициенты ряда Фурье синусоидальной функции, этот вектор-столбец имеет конечную размерность.

Кроме того, определите матричное представление линейного оператора D с элементами

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt. }

Мы можем записать функцию Df ( t ) либо как линейную комбинацию базисных функций, либо как D, действующий на разложение f ( t ),

{\ displaystyle Df (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} u_ {j} (t) = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} Du_ { j} (t).}

Взяв скалярное произведение каждой части этого уравнения на произвольную базисную функцию u _i ( t ),

{\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {j = 1} ^ {n} c_ {j} \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) u_ {j} (t ) dt & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} \ int _ {\ Omega} \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) dt, \\ c_ {i} & = \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} A_ {ij}. \ end {align}}}

Это матричное умножение Ab = c, записанное в обозначении суммирования, и является матричным эквивалентом оператора D, действующего на функцию f ( t ), выраженную в ортонормированном базисе. Если f ( t ) - собственная функция оператора D с собственным значением λ, то Ab = λb .

Собственные значения и собственные функции эрмитовых операторов

Многие из операторов, встречающихся в физике, эрмитовы . Предположим, что линейный оператор D действует в функциональном пространстве, которое является гильбертовым пространством с ортонормированным базисом, заданным набором функций { u ₁ ( t ), u ₂ ( t ),…, u _n ( t )}, где n может быть бесконечным. В этом базисе оператор D имеет матричное представление A с элементами

{\ displaystyle A_ {ij} = \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle = \ int _ {\ Omega} dt \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t). }

проинтегрировано по некоторому интересующему диапазону для t, обозначенного Ω.

По аналогии с эрмитовыми матрицами , D является эрмитами оператора , если _IJ = _джи *, или:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ langle u_ {i}, Du_ {j} \ rangle & = \ langle Du_ {i}, u_ {j} \ rangle, \\ [- 1pt] \ int _ {\ Omega } dt \ u_ {i} ^ {*} (t) Du_ {j} (t) & = \ int _ {\ Omega} dt \ u_ {j} (t) [Du_ {i} (t)] ^ { *}. \ end {выравнивается}}}

Рассмотрим эрмитов оператор D с собственными значениями λ ₁ , λ ₂ ,… и соответствующими собственными функциями f ₁ ( t ), f ₂ ( t ),…. Этот эрмитов оператор обладает следующими свойствами:

Его собственные значения действительны, λ _i = λ _i *
Его собственные функции подчиняются условию ортогональности, если i ≠ j ${\ displaystyle \ langle f_ {i}, f_ {j} \ rangle = 0}$

Второе условие всегда выполняется при λ _i ≠ λ _j . Для вырожденных собственных функций с одним и тем же собственным значением λ _i всегда можно выбрать ортогональные собственные функции, которые охватывают собственное подпространство, связанное с λ _i , например, с помощью процесса Грама-Шмидта . В зависимости от того, является ли спектр дискретным или непрерывным, собственные функции можно нормализовать, установив внутреннее произведение собственных функций равным либо дельте Кронекера, либо дельта-функции Дирака , соответственно.

Для многих эрмитовых операторов, особенно операторов Штурма-Лиувилля , третье свойство

Его собственные функции составляют основу функционального пространства, на котором определяется оператор

Как следствие, во многих важных случаях собственные функции эрмитова оператора образуют ортонормированный базис. В этих случаях произвольная функция может быть выражена как линейная комбинация собственных функций эрмитова оператора.

Приложения

Вибрирующие струны

Форма стоячей волны в закрепленной на ее границах струне является примером собственной функции дифференциального оператора. Допустимые собственные значения зависят от длины струны и определяют частоту колебаний.

Пусть $ч (х, т)$ обозначит смещение поперечного из нагруженного упругой струны, такие как вибрирующие струны одного струнного инструмента , в зависимости от положения $х$ вдоль струны и по времени $т$ . Применяя законы механики к бесконечно малым частям струны, функция $h$ удовлетворяет уравнению в частных производных

{\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial t ^ {2}}} = c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} h} {\ partial x ^ {2 }}},}

которое называется (одномерным) волновым уравнением . Здесь

c

- постоянная скорость, которая зависит от натяжения и массы струны.

Эта проблема решается методом разделения переменных . Если предположить, что $h (x, t)$ можно записать как произведение вида $X (x) T (t)$ , мы можем составить пару обыкновенных дифференциальных уравнений:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} X = - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}} X, \ qquad {\ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} T = - \ omega ^ {2} T.}

Каждое из них является уравнением на собственные значения с собственными значениями и $-$ $ω$ $2$ соответственно. При любых значениях $ω$ и $c$ уравнениям удовлетворяют функции ${\ textstyle - {\ frac {\ omega ^ {2}} {c ^ {2}}}}$

{\ Displaystyle Икс (Икс) = \ грех \ влево ({\ гидроразрыва {\ omega x} {c}} + \ varphi \ right), \ qquad T (t) = \ sin (\ omega t + \ psi),}

где фазовые углы

φ

и

ψ

- произвольные действительные постоянные.

Если мы наложим граничные условия, например, что концы струны зафиксированы в $точках x = 0$ и $x = L$ , а именно $X (0) = X (L) = 0$ , и что $T (0) = 0$ , мы ограничим собственные значения. Для этих граничных условий $sin (φ) = 0$ и $sin (ψ) = 0$ , поэтому фазовые углы $φ = ψ = 0$ и

{\ displaystyle \ sin \ left ({\ frac {\ omega L} {c}} \ right) = 0.}

Это последнее граничное условие вынуждает $ω$ принимать значение $ω n =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} ncπ/L$ , где $n$ - любое целое число. Таким образом, зажатая струна поддерживает семейство стоячих волн вида

{\ displaystyle h (x, t) = \ sin \ left ({\ frac {n \ pi x} {L}} \ right) \ sin (\ omega _ {n} t).}

В примере струнного инструмента, частоты $со п$ является частота $п$ -й гармоники , которая называется $(п - 1)$ -й обертон .

Уравнение Шредингера

В квантовой механике , то уравнение Шредингера

{\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} \ Psi (\ mathbf {r}, t) = H \ Psi (\ mathbf {r}, t)}

с гамильтоновым оператором

{\ displaystyle H = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} \ nabla ^ {2} + V (\ mathbf {r}, t)}

можно решить разделением переменных, если гамильтониан не зависит явно от времени. В этом случае волновая функция

Ψ (r, t) = φ (r) T (t)

приводит к двум дифференциальным уравнениям:

{\ Displaystyle H \ varphi (\ mathbf {r}) = E \ varphi (\ mathbf {r}),}

( 2 )

{\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial T (t)} {\ partial t}} = ET (t).}

( 3 )

Оба этих дифференциальных уравнений на собственные значения уравнения с собственным значением $Е$ . Как показано в предыдущем примере, решение уравнения ( 3 ) является экспоненциальным

{\ displaystyle T (t) = e ^ {{- iEt} / {\ hbar}}.}

Уравнение ( 2 ) является не зависящим от времени уравнением Шредингера. Собственные функции $φ k$ оператора Гамильтона являются стационарными состояниями квантово-механической системы, каждое с соответствующей энергией $E k$ . Они представляют допустимые энергетические состояния системы и могут быть ограничены граничными условиями.

Гамильтонов оператор $H$ является примером эрмитова оператора, собственные функции которого образуют ортонормированный базис. Когда гамильтониан не зависит явно от времени, общие решения уравнения Шредингера представляют собой линейные комбинации стационарных состояний, умноженных на колебательное $T (t)$ , или, для системы с непрерывным спектром, ${\ textstyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ sum _ {k} c_ {k} \ varphi _ {k} (\ mathbf {r}) e ^ {{- iE_ {k} t} / {\ hbar}}}$

{\ displaystyle \ Psi (\ mathbf {r}, t) = \ int dE \, c_ {E} \ varphi _ {E} (\ mathbf {r}) e ^ {{- iEt} / {\ hbar}} .}

Успех уравнения Шредингера в объяснении спектральных характеристик водорода считается одним из величайших достижений физики 20-го века.

Сигналы и системы

При исследовании сигналов и систем собственной функцией системы является сигнал $f (t),$ который при вводе в систему дает ответ $y (t) = λf (t)$ , где $λ$ - комплексное скалярное собственное значение.

Смотрите также

Примечания

Цитаты

Процитированные работы

Курант, Ричард; Гильберт, Дэвид. Методы математической физики . Том 1. Wiley. ISBN 047150447-5. |volume=имеет дополнительный текст ( справка )(Том 2: ISBN 047150439-4 )
Давыдов А.С. (1976). Квантовая механика . Переведено, отредактировано и с дополнениями Д. тер Хаара (2-е изд.). Оксфорд: Pergamon Press. ISBN 008020438-4.
Жирод, Бернд ; Рабенштейн, Рудольф; Стенджер, Александр (2001). Сигналы и системы (2-е изд.). Вайли. ISBN 047198800-6.
Кусс, Брюс; Вествиг, Эрик (1998). Математическая физика . Нью-Йорк: Wiley Interscience. ISBN 047115431-8.
Вассерман, Эрик В. (2016). «Собственная функция» . MathWorld . Wolfram Research . Проверено 12 апреля 2016 года .

внешние ссылки

Больше изображений (без GPL) в Atom in a Box

Languages

In other projects