Дискретное преобразование Фурье - Discrete-time Fourier transform

В математике преобразование Фурье с дискретным временем ( ДВПФ ) - это форма анализа Фурье , применимая к последовательности значений.

DTFT часто используется для анализа выборок непрерывной функции. Термин дискретное время относится к тому факту, что преобразование работает с дискретными данными, часто с выборками, интервал которых имеет единицы времени. Из равномерно расположенных образцов она производит функцию частоты , которая является периодическим суммирования из непрерывного преобразования Фурье исходной непрерывной функции. При определенных теоретических условиях, описываемых теоремой выборки , исходная непрерывная функция может быть полностью восстановлена ​​из DTFT и, следовательно, из исходных дискретных выборок. Само ДВПФ является непрерывной функцией частоты, но его дискретные выборки могут быть легко вычислены с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ) (см. § Выборка ДВПФ ), который на сегодняшний день является наиболее распространенным методом современного анализа Фурье.

Оба преобразования обратимы. Обратное ДВПФ - это исходная последовательность дискретизированных данных. Обратное ДПФ - это периодическое суммирование исходной последовательности. Быстрого преобразования Фурье (БПФ) представляет собой алгоритм для вычисления одного цикла ДПФ, и обратный производит один цикл обратного ДПФ.

Определение

Дискретное преобразование Фурье дискретной последовательности действительных или комплексных чисел x [ n ] для всех целых чисел n представляет собой ряд Фурье , который производит периодическую функцию частотной переменной. Когда переменная частота, ω, имеет нормированные единицы из радиан / образца , периодичность является 2π , а ряд Фурье :

Полезность этой функции в частотной области основана на формуле суммирования Пуассона . Пусть X ( f ) будет преобразованием Фурье любой функции x ( t ) , выборки которой на некотором интервале T ( секунды ) равны (или пропорциональны) последовательности x [ n ] , то есть T ⋅ x ( nT ) = x [ n ] . Тогда периодическая функция, представленная рядом Фурье, представляет собой периодическое суммирование X ( f ) через частоту f в герцах ( циклах / сек ) :

${\ Displaystyle X_ {1 / T} (е) = X_ {2 \ pi} (2 \ pi fT) \ \ треугольник \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ e ^ {- i2 \ pi fTn} \; {\ stackrel {\ mathrm {Poisson \; f.}} {=}} \; \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (fk / T \ right).}$

( Уравнение 2 )

Рис. 1. Изображение преобразования Фурье (вверху слева) и его периодического суммирования (DTFT) в нижнем левом углу. В нижнем правом углу показаны образцы ДВПФ, вычисленные с помощью дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Целое число k имеет единицы циклов / отсчет , а 1 / T - это частота дискретизации, f _s ( отсчетов / сек ). Таким образом, X _{1 / T} ( f ) содержит точные копии X ( f ) , которые сдвинуты на кратные f _s герц и объединены путем сложения. При достаточно большом е _ы с к = 0 термин может наблюдаться в области [- е _с / 2, е _с / 2 ] практически без искажений ( сглаживания ) от других условий. На рисунке 1 крайние точки распределения в верхнем левом углу замаскированы за счет наложения спектров при периодическом суммировании (нижний левый).

Отметим также, что e ^{- i2πfTn} - преобразование Фурье функции δ ( t - nT ) . Следовательно, альтернативное определение DTFT:

${\ displaystyle X_ {1 / T} (f) = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t- nT) \ right \}.}$

( Уравнение 3 )

Модулированная гребенчатая функция Дирака представляет собой математическую абстракцию, которую иногда называют импульсной выборкой .

Обратное преобразование

Операция, которая восстанавливает дискретную последовательность данных из функции DTFT, называется обратным DTFT . Например, обратное непрерывное преобразование Фурье обеих частей уравнения 3 дает последовательность в виде модулированной гребенчатой ​​функции Дирака:

${\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot \ delta (t-nT) = {\ mathcal {F}} ^ {- 1} \ left \ {X_ { 1 / T} (f) \ right \} \ \ треугольникq \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi ft} df.}$

Тем не менее, отметив , что Х _{1 / Т} ( е ) является периодическим, вся необходимая информация содержится в любом интервале длины 1 / T . Как в уравнении 1, так и в уравнении 2 суммирование по n представляет собой ряд Фурье с коэффициентами x [ n ] . Стандартные формулы для коэффициентов Фурье также являются обратными преобразованиями:

Периодические данные

Когда последовательность входных данных x [ n ] является N- периодической , уравнение 2 может быть вычислительно сведено к дискретному преобразованию Фурье (ДПФ), потому что :

• Вся доступная информация содержится в N образцах.
• X _{1 / T} ( f ) сходится к нулю везде, кроме целых кратных 1 / ( NT ) , известных какчастоты гармоник . На этих частотах DTFT расходится с разной частотно-зависимой скоростью. И эти скорости задаются ДПФ одного цикла последовательности x [ n ] .
• ДВПФ является периодическим, поэтому максимальное количество уникальных амплитуд гармоник составляет (1 / T ) / (1 / ( NT )) = N

Коэффициенты ДПФ определяются как :

${\ Displaystyle X [k] \ треугольник \ underbrace {\ sum _ {N} x (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}} _ {\ text {любой n-последовательность длины N}},}$     и DTFT :

${\ displaystyle X_ {1 / T} (f) = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X [k] \ cdot \ delta \ left (f - {\ frac {k} {NT}} \ right).}$     

Подстановка этого выражения в формулу обратного преобразования подтверждает :

${\ displaystyle \ int _ {\ frac {1} {T}} X_ {1 / T} (f) \ cdot e ^ {i2 \ pi fnT} df \ = \ {\ frac {1} {N}} \ underbrace {\ sum _ {N} X [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {n} {N}} k}} _ {\ text {любая k-последовательность длины N}} \ \ Equiv \ x (nT), \ quad n \ in \ mathbb {Z} \,}$( все целые числа )

как и ожидалось. Обратный ДПФ в строке выше иногда называют дискретным рядом Фурье ( ДПФ ).

Выборка DTFT

Когда ДВПФ является непрерывным, обычной практикой является вычисление произвольного количества выборок ( N ) одного цикла периодической функции X _{1 / T} : 

${\ displaystyle {\ begin {align} \ underbrace {X_ {1 / T} \ left ({\ frac {k} {NT}} \ right)} _ {X_ {k}} & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n} \ quad \ quad k = 0, \ dots, N-1 \\ & = \ underbrace {\ sum _ {N} x _ {_ {N}} [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n},} _ {\ text {DFT }} \ quad \ scriptstyle {{\ text {(сумма по любому}} n {\ text {-последовательность длины}} N)} \ end {выравнивается}}}$

где - периодическое суммирование :${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

${\ displaystyle x _ {_ {N}} [n] \ \ Triangleq \ \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} x [n-mN].}$     (см. Дискретный ряд Фурье )

Последовательность является обратным ДПФ. Таким образом, наша выборка DTFT приводит к тому, что обратное преобразование становится периодическим. Массив | X _k | ² значения называется периодограммой , а параметр N называется NFFT в одноименной функции Matlab. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Чтобы вычислить один цикл численно, нам потребуется последовательность x [ n ] конечной длины . Например, длинная последовательность может быть усечена оконной функцией длины L, что приведет к трем случаям, заслуживающим особого упоминания. Для упрощения записи рассмотрим значения x [ n ] ниже, чтобы представить значения, измененные оконной функцией. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Случай: Прореживание частоты. L = N ⋅ I , для некоторого целого числа I (обычно 6 или 8)

Цикл сводится к суммированию I отрезков длины N . Затем ДПФ носит разные названия, например :${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

• оконная презумпция БПФ
• Вес, перекрытие, прибавление (WOLA)

• многофазная ДПФ
• банк многофазных фильтров
• многоблочное управление окнами и временным алиасингом .

Напомним, что прореживание выборочных данных в одном домене (по времени или частоте) приводит к перекрытию (иногда известному как наложение ) в другом, и наоборот. По сравнению с ДПФ с длиной L , суммирование / перекрытие вызывает децимацию по частоте, в результате чего только выборки ДВПФ меньше всего страдают от спектральной утечки . Это обычно является приоритетом при реализации банка фильтров БПФ (канализатора). При использовании обычной оконной функции длины L , scalloping потери были бы неприемлемыми. Таким образом, многоблочные окна создаются с помощью инструментов проектирования FIR-фильтров . Их частотный профиль плоский в самой высокой точке и быстро спадает в средней точке между оставшимися отсчетами DTFT. Чем больше значение параметра I , тем лучше потенциальная производительность. ${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$

Случай: L = N +1 .

Когда симметричный, L -длина функция окна ( ) усекается до 1 коэффициента его называют периодическим или ДПФ-даже . Усечение влияет на DTFT. ДПФ из усеченных последовательностей выборок ДВПФА в частотных интервалах 1 / N . Чтобы выполнить выборку на тех же частотах, для сравнения вычисляется ДПФ для одного цикла периодического суммирования,${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x _ {_ {N}}.}$

Рис. 2. ДПФ e ^{i2πn / 8} для L = 64 и N = 256

Рис. 3. ДПФ e ^{i2πn / 8} для L = 64 и N = 64

Случай: частотная интерполяция. L ≤ N

В этом случае ДПФ упрощается до более знакомой формы:

${\ displaystyle X_ {k} = \ sum _ {n = 0} ^ {N-1} x [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n}.}$

Чтобы воспользоваться преимуществом алгоритма быстрого преобразования Фурье для вычисления ДПФ, суммирование обычно выполняется по всем N членам, даже если N - L из них являются нулями. Поэтому случай L < N часто называют заполнением нулями .

Спектральная утечка, которая увеличивается с уменьшением L , отрицательно сказывается на некоторых важных показателях производительности, таких как разрешение нескольких частотных компонентов и количество шума, измеряемого каждой выборкой DTFT. Но эти вещи не всегда имеют значение, например, когда последовательность x [ n ] является бесшумной синусоидой (или константой), сформированной оконной функцией. Затем обычно используют заполнение нулями для графического отображения и сравнения подробных шаблонов утечки оконных функций. Чтобы проиллюстрировать это для прямоугольного окна, рассмотрим последовательность:

${\ displaystyle x [n] = e ^ {i2 \ pi {\ frac {1} {8}} n}, \ quad}$ а также ${\ displaystyle L = 64.}$

Рисунки 2 и 3 представляют собой графики величины двух ДПФ разного размера, как указано на их метках. В обоих случаях доминирующая составляющая находится на частоте сигнала: f = 1/8 = 0,125 . На рис. 2 также видна спектральная картина рассеяния прямоугольного окна L = 64 . Иллюзия на рис. 3 является результатом выборки DTFT только в точках пересечения нуля. Вместо ДВПФ последовательности конечной длины он производит впечатление бесконечно длинной синусоидальной последовательности. Факторами, способствующими возникновению иллюзии, являются использование прямоугольного окна и выбор частоты (1/8 = 8/64) с ровно 8 (целыми) циклами на 64 выборки. Окно Ханна даст аналогичный результат, за исключением того, что пик будет расширен до 3 отсчетов (см. Окно Ханна с четностью ДПФ ).

Свертка

Теорема свертки для последовательностей :

${\ displaystyle x * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right].}$

Важным частным случаем является круговая свертка последовательностей x и y, определяемая как где - периодическое суммирование. Дискретно-частотный характер означает, что произведение с непрерывной функцией также является дискретным, что приводит к значительному упрощению обратного преобразования :${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y,}$${\ displaystyle x _ {_ {N}}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \}}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \}}$

${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DTFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right] \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {x _ {_ {N}} \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {y _ {_ {N}} \} \ right].}$

Для последовательностей x и y , ненулевая длительность которых меньше или равна N , окончательное упрощение :

${\ displaystyle x _ {_ {N}} * y \ = \ \ scriptstyle {\ rm {DFT}} ^ {- 1} \ displaystyle \ left [\ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {x \} \ cdot \ scriptstyle {\ rm {DFT}} \ displaystyle \ {y \} \ right].}$

Значение этого результата объясняется в алгоритмах круговой свертки и быстрой свертки .

Свойства симметрии

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , имеется четыре компонента, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования :

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ mathsf {Time \ domain}} \ quad & \ x \ quad & = \ quad & x _ {_ {RE}} \ quad & + \ quad & x _ {_ {RO}} \ quad & + \ quad i \ & x _ {_ {IE}} \ quad & + \ quad & \ underbrace {i \ x _ {_ {IO}}} \\ & {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ {\ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} && \ \ { \ Bigg \ Updownarrow} {\ mathcal {F}} \\ {\ mathsf {Frequency \ domain}} \ quad & X \ quad & = \ quad & X_ {RE} \ quad & + \ quad & \ overbrace {i \ X_ { IO}} \ quad & + \ quad i \ & X_ {IE} \ quad & + \ quad & X_ {RO} \ end {align}}}$

Отсюда очевидны различные отношения, например :

• Преобразование вещественной функции ( x _RE + x _RO ) является четной симметричной функцией X _RE + i X _IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает действительную временную область.
• Преобразование мнимозначной функции ( i x _IE + i x _IO ) является нечетной симметричной функцией X _RO + i X _IE , и верно обратное.
• Преобразование четно-симметричной функции ( x _RE + i x _IO ) является действительной функцией X _RE + X _RO , и верно обратное.
• Преобразование нечетно-симметричной функции ( x _RO + i x _IE ) является мнимозначной функцией i X _IE + i X _IO , и верно обратное.

Связь с Z-преобразованием

${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$представляет собой ряд Фурье, который также может быть выражен через двустороннее Z-преобразование . Т.е.:

${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = \ left. {\ widehat {X}} (z) \, \ right | _ {z = e ^ {я \ omega}} = {\ widehat {X }} (e ^ {i \ omega}),}$

где обозначение отличает Z-преобразование от преобразования Фурье. Следовательно, мы также можем выразить часть Z-преобразования через преобразование Фурье: ${\ displaystyle {\ widehat {X}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ widehat {X}} (e ^ {i \ omega}) & = \ X_ {1 / T} \ left ({\ tfrac {\ omega} {2 \ pi T}) } \ right) \ = \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left ({\ tfrac {\ omega} {2 \ pi T}} - k / T \ right) \\ & = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left ({\ tfrac {\ omega -2 \ pi k} {2 \ pi T}} \ right). \ end {align}}}$

Обратите внимание, что при изменении параметра T члены остаются на постоянном расстоянии друг от друга, а их ширина увеличивается или уменьшается. Члены X _{1 / T} ( f ) остаются постоянной ширины, а их расстояние 1 / T масштабируется вверх или вниз. ${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Таблица дискретных преобразований Фурье

Некоторые общие пары преобразований показаны в таблице ниже. Применяются следующие обозначения:

• ${\ displaystyle \ omega = 2 \ pi fT}$- действительное число, представляющее непрерывную угловую частоту (в радианах на выборку). ( в циклах в секунду и в секундах / отсчет). Во всех случаях в таблице DTFT является 2π-периодическим (в дюймах ).${\ displaystyle f}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle \ omega}$
• ${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$обозначает функцию, определенную на .${\ displaystyle - \ infty <\ omega <\ infty}$
• ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega)}$обозначает функцию, определенную на , и ноль в другом месте. Потом:${\ Displaystyle - \ пи <\ омега \ leq \ pi}$

${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ \ треугольник \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X_ {o} (\ omega -2 \ pi k).}$

• ${\ displaystyle \ delta (\ omega)}$- дельта-функция Дирака
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} (т)}$ нормализованная функция sinc
• ${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t)}$это функция прямоугольника
• ${\ Displaystyle \ OperatorName {три} (т)}$является функция треугольника
• n - целое число, представляющее дискретную временную область (в выборках)
• ${\ Displaystyle и [п]}$дискретная ступенчатая функция
• ${\ Displaystyle \ дельта [п]}$это дельта Кронекера ${\ displaystyle \ delta _ {п, 0}}$

Временная область x [ n ]	Частотная область X 2π (ω)	Замечания	Ссылка
${\ Displaystyle \ дельта [п]}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = 1}$
${\ displaystyle \ delta [нМ]}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = e ^ {- я \ omega M}}$	целое число ${\ displaystyle M}$
${\ Displaystyle \ сумма _ {м = - \ infty} ^ {\ infty} \ дельта [п-мм] \!}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega Mm} = {\ frac {2 \ pi} {M} } \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$ ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {2 \ pi} {M}} \ sum _ {k = - (M-1) / 2} ^ {(M-1) / 2} \ дельта \ влево (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$     нечетное M     четное M ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {2 \ pi} {M}} \ sum _ {k = -M / 2 + 1} ^ {M / 2} \ delta \ left (\ omega - {\ frac {2 \ pi k} {M}} \ right) \,}$	целое число ${\ displaystyle M> 0}$
${\ Displaystyle и [п]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ pi \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty } \ дельта (\ омега -2 \ пи к) \!}$ ${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {1-e ^ {- i \ omega}}} + \ pi \ cdot \ delta (\ omega) \!}$	Этот термин следует интерпретировать как распределение в смысле главного значения Коши вокруг его полюсов в . ${\ Displaystyle 1 / (1-е ^ {- я \ omega})}$${\ Displaystyle \ омега = 2 \ пи к}$
${\ Displaystyle а ^ {п} и [п]}$	${\ displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = {\ frac {1} {1-ae ^ {- i \ omega}}} \!}$	${\ Displaystyle 0 <| а | <1}$
${\ displaystyle e ^ {- ian}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = 2 \ pi \ cdot \ delta (\ omega + a),}$     -π <a <π ${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) = 2 \ pi \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ omega + a-2 \ pi k)}$	настоящий номер ${\ displaystyle a}$
${\ Displaystyle \ соз (а \ CDOT п)}$	${\ Displaystyle X_ {о} (\ омега) = \ пи \ влево [\ дельта \ влево (\ омега-а \ вправо) + \ дельта \ влево (\ омега + а \ вправо) \ вправо],}$ ${\ Displaystyle Х_ {2 \ пи} (\ омега) \ \ треугольник \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} X_ {o} (\ омега -2 \ пи к)}$	реальный номер с${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle - \ пи <а <\ пи}$
${\ Displaystyle \ грех (а \ CDOT п)}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {\ pi} {i}} \ left [\ delta \ left (\ omega -a \ right) - \ delta \ left (\ omega + a \ right )\Правильно]}$	реальный номер с${\ displaystyle a}$${\ Displaystyle - \ пи <а <\ пи}$
${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left [{nM \ over N} \ right]}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ sin [N \ omega / 2] \ over \ sin (\ omega / 2)} \, e ^ {- i \ omega M} \!}$	целые числа и ${\ displaystyle M}$${\ displaystyle N}$
${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} (W (п + а))}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {W}} \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right) e ^ {ia \ omega} }$	реальные числа с${\ displaystyle W, a}$${\ displaystyle 0 <W <1}$
${\ Displaystyle \ OperatorName {sinc} ^ {2} (Wn) \,}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {1} {W}} \ operatorname {tri} \ left ({\ omega \ over 2 \ pi W} \ right)}$	реальное число ,${\ displaystyle W}$${\ displaystyle 0 <W <0,5}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} 0 & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n}} {n}} & {\ mbox {elsewhere}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = j \ omega}$	он работает как дифференцирующий фильтр
${\ displaystyle {\ frac {1} {(n + a)}} \ left \ {\ cos [\ pi W (n + a)] - \ operatorname {sinc} [W (n + a)] \ right \ }}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ frac {j \ omega} {W}} \ cdot \ operatorname {rect} \ left ({\ omega \ over \ pi W} \ right) e ^ {ja \ omega}}$	реальные числа с${\ displaystyle W, a}$${\ displaystyle 0 <W <1}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {\ pi} {2}} & n = 0 \\ {\ frac {(-1) ^ {n} -1} {\ pi n ^ {2}}} & {\ mbox {иначе}} \ end {case}}}$	${\ Displaystyle X_ {o} (\ omega) = | \ omega |}$
${\ displaystyle {\ begin {cases} 0; & n {\ text {even}} \\ {\ frac {2} {\ pi n}}; & n {\ text {odd}} \ end {cases}}}$	${\ displaystyle X_ {o} (\ omega) = {\ begin {cases} j & \ omega <0 \\ 0 & \ omega = 0 \\ - j & \ omega> 0 \ end {cases}}}$	Преобразование гильберта
${\ displaystyle {\ frac {C (A + B)} {2 \ pi}} \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {AB} {2 \ pi}} n \ right] \ cdot \ operatorname {sinc} \ left [{\ frac {A + B} {2 \ pi}} n \ right]}$	${\ Displaystyle X_ {о} (\ omega) =}$	комплекс действительных чисел${\ displaystyle A, B}$ ${\ displaystyle C}$

Характеристики

В этой таблице показаны некоторые математические операции во временной области и соответствующие эффекты в частотной области.

• ${\ Displaystyle * \!}$является дискретной свертки двух последовательностей
• ${\ Displaystyle х [п] ^ {*}}$является комплексно сопряженным к x [ n ] .

Имущество	Временная область x [ n ]	Частотный диапазон ${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega)}$	Замечания	Ссылка
Линейность	${\ Displaystyle а \ CDOT х [п] + б \ CDOT у [п]}$	${\ Displaystyle а \ cdot X_ {2 \ pi} (\ omega) + b \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega)}$	сложные числа ${\ displaystyle a, b}$
Обратное время / изменение частоты	${\ Displaystyle х [-n]}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (- \ omega) \!}$
Сопряжение времени	${\ Displaystyle х [п] ^ {*}}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (- \ omega) ^ {*} \!}$
Обращение времени и спряжение	${\ Displaystyle х [-n] ^ {*}}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} \!}$
Реальная часть времени	${\ Displaystyle \ Re {(х [п])}}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} (X_ {2 \ pi} (\ omega) + X_ {2 \ pi} ^ {*} (- \ omega))}$
Воображаемая часть времени	${\ Displaystyle \ Im {(х [п])}}$	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2i}} (X_ {2 \ pi} (\ omega) -X_ {2 \ pi} ^ {*} (- \ omega))}$
Реальная часть частоты	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {1} {2}} (х [п] + х ^ {*} [- п])}$	${\ Displaystyle \ Re {(X_ {2 \ pi} (\ omega))}}$
Мнимая часть частоты	${\ displaystyle {\ frac {1} {2i}} (x [n] -x ^ {*} [- n])}$	${\ Displaystyle \ Im {(X_ {2 \ pi} (\ omega))}}$
Сдвиг во времени / Модуляция по частоте	${\ Displaystyle х [нк]}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot e ^ {- я \ omega k}}$	целое число k
Сдвиг частоты / Модуляция во времени	${\ Displaystyle х [п] \ CDOT е ^ {ian} \!}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega -a) \!}$	настоящий номер ${\ displaystyle a}$
Децимация	${\ Displaystyle х [нМ]}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {M}} \ sum _ {m = 0} ^ {M-1} X_ {2 \ pi} \ left ({\ tfrac {\ omega -2 \ pi m} {M }}\Правильно)\!}$	целое число ${\ displaystyle M}$
Расширение времени	${\ displaystyle \ scriptstyle {\ begin {case} x [n / M] & n = {\ text {multi of M}} \\ 0 & {\ text {else}} \ end {cases}}}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (М \ омега) \!}$	целое число ${\ displaystyle M}$
Производная по частоте	${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {п} {я}} х [п] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {dX_ {2 \ pi} (\ omega)} {d \ omega}} \!}$
Интеграция по частоте	${\ displaystyle \!}$	${\ displaystyle \!}$
Разница во времени	${\ Displaystyle х [п] -х [п-1] \!}$	${\ displaystyle \ left (1-e ^ {- я \ omega} \ right) X_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Суммирование во времени	${\ Displaystyle \ сумма _ {м = - \ infty} ^ {п} х [м] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {\ left (1-e ^ {- я \ omega} \ right)}} X_ {2 \ pi} (\ omega) + \ pi X (0) \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (\ omega -2 \ pi k) \!}$
Свертка по времени / Умножение по частоте	${\ Displaystyle х [п] * у [п] \!}$	${\ Displaystyle X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Умножение по времени / Свертка по частоте	${\ Displaystyle х [п] \ CDOT у [п] \!}$	${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} X_ {2 \ pi} (\ nu) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega - \ ню) д \ ню \!}$	Периодическая свертка
Взаимная корреляция	${\ Displaystyle \ rho _ {ху} [п] = х [-n] ^ {*} * у [п] \!}$	${\ displaystyle R_ {xy} (\ omega) = X_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) \!}$
Теорема Парсеваля	${\ displaystyle E_ {xy} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {x [n] \ cdot y [n] ^ {*}} \!}$	${\ displaystyle E_ {xy} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {X_ {2 \ pi} (\ omega) \ cdot Y_ {2 \ pi} (\ omega) ^ {*} d \ omega} \!}$

Смотрите также

• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Многомерное преобразование
• Зак преобразовать

Примечания

Цитирование страниц

использованная литература