Гребень Дирака - Dirac comb

Гребень Дирака - это бесконечная серия дельта-функций Дирака, расположенных на интервалах T

В математике , А Гребень Дирак (также известный как импульсные и функция выборки в области электротехники ) является периодическим закаленным распределение строится из дельта - функций Дирака

${\ Displaystyle \ OperatorName {\ текст {Ш}} _ {T} (t) \ \ Triangleq \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = {\ frac { 1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)}$

на определенный период . Символ , в котором точка опущена, представляет гребенку Дирака с единичным периодом. Некоторые авторы, особенно Брейсвелл , а также некоторые авторы учебников по электротехнике и теории цепей, называют ее функцией Шаха (возможно, потому, что ее график напоминает форму кириллической буквы sha Ø). Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье : ${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ OperatorName {\ текст {Ш}} (т)}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}$

Гребневая функция Дирака позволяет представить как непрерывные, так и дискретные явления, такие как дискретизация и наложение спектров, в единой структуре непрерывного анализа Фурье на распределениях Шварца, без какой-либо ссылки на ряды Фурье. Благодаря теореме свертки для умеренных распределений, которая оказывается формулой суммирования Пуассона , при обработке сигналов гребенка Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения на нее, но также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней.

Идентичность Дирака-гребешка

Гребень Дирака может быть сконструирован двумя способами: либо с помощью оператора гребня (выполнение выборки ), применяемого к функции, которая выполняется постоянно , либо, в качестве альтернативы, с помощью оператора rep (выполнения периодизации ), применяемого к дельте Дирака . Формально это дает ( Woodward 1953 ; Brandwood 2003 ) ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ delta}$

${\ displaystyle \ operatorname {comb} _ {T} \ {1 \} = \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} = \ operatorname {rep} _ {T} \ {\ delta \},}$

куда

${\ displaystyle \ operatorname {comb} _ {T} \ {f (t) \} \ треугольникq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \, f (kT) \, \ delta (t- kT)}$   и   ${\ displaystyle \ operatorname {rep} _ {T} \ {g (t) \} \ треугольникq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \, g (t-kT).}$

В обработке сигналов , это свойство с одной стороны , позволяет дискретизации функцию путем умножения с , а с другой стороны , она также позволяет периодизацию из путем свертки с ( Bracewell тысяча девятьсот восемьдесят шесть ). Тождество гребешка Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений. ${\ displaystyle f (t)}$${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$${\ displaystyle f (t)}$${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$

Масштабирование

Свойство масштабирования гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака . Поскольку для положительных действительных чисел следует, что: ${\ displaystyle \ delta (t) = {\ frac {1} {a}} \ delta \ left ({\ frac {t} {a}} \ right)}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac { t} {T}} \ right),}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {aT} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {aT}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac { t} {aT}} \ right) = {\ frac {1} {a}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left ({\ frac {t} {a}} \ right). }$

Обратите внимание, что требование положительных масштабных чисел вместо отрицательных не является ограничением, потому что отрицательный знак только изменит порядок суммирования внутри , что не влияет на результат. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$

Ряд Фурье

Понятно, что периодичен с периодом . Это, ${\ displaystyle \ \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t)}$${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t + T) = \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t)}$

для всех т . Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции есть

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}},}$

где коэффициенты Фурье (символически)

${\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} & = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} \ operatorname {\ text {Ш }} _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \ quad (- \ infty <t_ {0} <+ \ infty) \\ & = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T } (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \\ & = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T } {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} \ delta (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \\ & = {\ frac {1} {T}} e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {0} {T}}} \\ & = {\ frac {1} {T}}. \ end {align}}}$

Все коэффициенты Фурье равны 1 / T, что приводит к

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}$

Когда период равен одной единице, это упрощается до

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (x) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nx}.}$

Замечание : строго говоря, интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине приведенное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) следует понимать «в смысле обобщенных функций». Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененной к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла , см. Lighthill 1958 , стр.62, теорема 22 для подробностей.

преобразование Фурье

Преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака. Это очевидно, если учесть, что все компоненты Фурье конструктивно складываются всякий раз, когда целое число кратно . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ frac {1} {T}}}$

Унитарное преобразование в обычную частотную область (Гц):

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text { Ш}} _ {\ frac {1} {T}} (f) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi fnT}.}$

Примечательно, что гребенка Дирака с единичным периодом преобразуется сама в себя:

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ operatorname {\ text {Ш}} (f).}$

Конкретное правило зависит от формы используемого преобразования Фурье. При использовании унитарного преобразования угловой частоты (радиан / с) правило

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {2 \ pi} {T}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega nT}.}$

Выборка и наложение

Умножение любой функции на гребенку Дирака превращает ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значению функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки.

${\ displaystyle (\ Operatorname {\ text {Ш}} _ {T} x) (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ delta (t-kT) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (kT) \ delta (t-kT).}$

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теореме о свертке , это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области.

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} x \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ текст {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X}$

Поскольку свертка с дельта-функцией эквивалентна сдвигу функции на , свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию : ${\ Displaystyle \ дельта (т-кТ)}$${\ displaystyle kT}$

${\ displaystyle (\ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X) (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left ( е - {\ frac {k} {T}} \ right)}$

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста – Шеннона . Если спектр функции не содержит частот выше B (т. Е. Его спектр отличен от нуля только в интервале ), то выборок исходной функции через интервалы достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр дискретизированной функции на подходящую функцию прямоугольника , что эквивалентно применению кирпичного фильтра нижних частот . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (-B, B)}$${\ displaystyle 1 / 2B}$

${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {2B}} x \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad 2B \, \ operatorname {\ текст {Ш}} _ {2B} * X}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2B}} \ Pi \ left ({\ frac {f} {2B}} \ right) (2B \, \ operatorname {\ text {Ш}} _ {2B} * X ) = X}$

Во временной области это «умножение на функцию rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» ( Woodward 1953 , стр.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию из своих образцов. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера – Шеннона .

Замечание : Строго говоря, умножение прямой функции на обобщенную функцию, такую ​​как гребешок Дирака, не удается. Это происходит из-за неопределенных результатов произведения умножения на границах интервала. В качестве обходного пути можно использовать унитарную функцию Lighthill вместо функции rect. Он гладкий на границах интервалов, следовательно, он дает определенные произведения умножения повсюду, см. Lighthill 1958 , стр.62, теорема 22 для подробностей.

Использование в направленной статистике

В направленной статистике гребенка периода Дирака эквивалентна обернутой дельта-функции Дирака и является аналогом дельта-функции Дирака в линейной статистике. ${\ displaystyle 2 \ pi}$

В линейной статистике случайная величина обычно распределяется по строке действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности представляет собой функцию, область определения которой является набором действительных чисел, а интеграл от до равен единице. В направленной статистике случайная величина распределена по единичной окружности, а плотность вероятности является функцией, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длины, а интеграл по этому интервалу равен единице. Подобно тому, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по прямой с действительными числами дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки Дирака периода с произвольной функцией периода по единичный круг дает значение этой функции в нуле. ${\ Displaystyle (х)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle + \ infty}$${\ Displaystyle (\ тета)}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$

Смотрите также

• Частотная гребенка
• Формула суммирования Пуассона

использованная литература

дальнейшее чтение

• Брандвуд, Д. (2003), Преобразования Фурье в радиолокации и обработке сигналов , Artech House, Бостон, Лондон.
• Кордова, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics , 17 (3): 191–196, Bibcode : 1989LMaPh..17..191C , doi : 10.1007 / BF00401584
• Вудворд, PM (1953), Теория вероятностей и информации, с приложениями к радарам , Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт.
• Лайтхилл, MJ (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции , Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания.