Периодическое суммирование - Periodic summation

В обработке сигналов , любая периодическая функция с периодом P может быть представлена с помощью суммирования бесконечного числа экземпляров апериодической функции , которые компенсируются целыми кратными от P . Такое представление называется периодическим суммированием:${\ displaystyle s_ {P} (t)}$${\ displaystyle s (t)}$

${\ displaystyle s_ {P} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s ( т-нП).}$

Преобразование Фурье и 3 варианта, вызванные периодической выборкой (с интервалом T ) и / или периодическим суммированием (с интервалом P ) лежащей в основе функции временной области.

Когда альтернативно представлена в виде комплексного ряда Фурье , коэффициенты Фурье пропорциональны значениям (или «образцы») от непрерывного преобразования Фурье , с интервалом в 1 / P . Это тождество является формой формулы суммирования Пуассона . Аналогичный образом , ряд Фурье, коэффициенты которого являются образцами с постоянными интервалами ( Т ) эквивалентен периодическим суммированием из которого известен как дискретного времени преобразования Фурье . ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ ${\ Displaystyle S (е) \ треугольник {\ mathcal {F}} \ {s (т) \},}$${\ displaystyle s (t)}$${\ Displaystyle S (е),}$

Периодическое суммирование дельта-функции Дирака - это гребенка Дирака . Точно так же периодическое суммирование интегрируемой функции является ее сверткой с гребенкой Дирака.

Факторное пространство как домен

Если периодическая функция представляется с использованием фактор - пространство домена , то можно написать ${\ Displaystyle \ mathbb {R} / (P \ mathbb {Z})}$

${\ displaystyle \ varphi _ {P}: \ mathbb {R} / (P \ mathbb {Z}) \ to \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ varphi _ {P} (x) = \ sum _ {\ tau \ in x} s (\ tau)}$

вместо. Аргументы являются классами эквивалентности из действительных чисел , которые разделяют ту же дробную часть при делении . ${\ displaystyle \ varphi _ {P}}$${\ displaystyle P}$

Цитаты

Смотрите также

• Гребень Дирака
• Круговая свертка
• Дискретное преобразование Фурье