Компактно-открытая топология - Compact-open topology

В математике , то компактно-открытая топология является топология , определенная на множестве из непрерывных отображений между двумя топологическими пространствами . Компактно-открытая топология - одна из широко используемых топологий на функциональных пространствах , которая применяется в теории гомотопий и функциональном анализе . Он был представлен Ральфом Фоксом в 1945 году.

Если область значений рассматриваемых функций имеет равномерную структуру или метрическую структуру, то компактно-открытая топология является «топологией равномерной сходимости на компактах ». Иными словами, последовательность функций сходится в компактно-открытой топологии именно тогда, когда она сходится равномерно на каждом компактном подмножестве области .

Определение

Пусть $X$ и $Y$ два топологические пространства , и пусть $C (X, Y)$ обозначим множество всех непрерывных отображений между $X$ и $Y$ . Учитывая компактное подмножество $К$ из $X$ и открытое подмножество $U$ в $Y$ , пусть $V (K, U)$ обозначим множество всех функций $F$ $\in$ $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ такой , что $F$ $($ $K$ $) \subseteq$ $U$ $.$ Тогда совокупность всех таких $V$ $($ $K$ $,$ $U$ $)$ является подбазой компактно-открытой топологии на $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ . (Этот набор не всегда составляет основу топологии на $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .)

При работе в категории из компактно порожденных пространств , оно является общим для изменения этого определения пути ограничения к предбазам , образованным из тех , $K$ , которые являются образом компактного хаусдорфова пространства . Конечно, если $X$ компактно порождено и хаусдорфово, это определение совпадает с предыдущим. Однако модифицированное определение имеет решающее значение, если кто-то хочет, чтобы удобная категория компактно порожденных слабых хаусдорфовых пространств была декартово замкнутой , помимо других полезных свойств. Путаница между этим и приведенным выше определением вызвана различным использованием слова « компактный» .

Характеристики

Если $*$ является взаимно одноточечное пространство , то можно определить $C (*, Y)$ с $Y$ , и при этой идентификации компактно-открытая топология совпадает с топологией на $Y$ . В более общем смысле , если $Х$ представляет собой дискретное пространство , то $С (Х, Y)$ может быть идентифицирован с декартовым произведением из $| X |$ копии $Y$ и компактно-открытая топология согласуется с топологией продукта .
Если $Y$ есть $T 0$ , $T 1$ , хаусдорфово , регулярное или тихоновское , то компактно-открытая топология имеет соответствующую аксиому отделимости .
Если $X$ хаусдорфова и $S$ является подбазой для $Y$ , то набор ${V (K, U): U \in S, K compact}$ является подбазой для компактно-открытой топологии на $C (X, Y)$ .
Если $Y$ - метрическое пространство (или, в более общем смысле, равномерное пространство ), то компактно-открытая топология равна топологии компактной сходимости . Другими словами, если $Y$ представляет собой метрическое пространство, то последовательность ${е п}$ сходится к $F$ в компактно-открытой топологии тогда и только тогда , когда для каждого компакта $K$ из $X$ , ${$ $е$ $п$ $}$ равномерно сходится к $F$ на $K$ . Если $X$ компактно, а $Y$ - равномерное пространство, то компактно-открытая топология равна топологии равномерной сходимости .
Если $X, Y$ и $Z$ - топологические пространства, где $Y$ локально компактно по Хаусдорфу (или даже просто локально компактно предрегулярно ), то композиционное отображение $C (Y, Z) \times C (X, Y) \to C (X, Z),$ заданное по $(f, g) \mapsto f \circ g,$ непрерывно (здесь все функциональные пространства заданы компактно-открытой топологией, а $C (Y, Z) \times C (X, Y)$ задана топологией произведения ).
Если $X$ - локально компактное хаусдорфово (или предрегулярное) пространство, то оценочное отображение $e : C (X, Y) \times X \to Y$ , определяемое формулой $e (f, x) = f (x)$ , является непрерывным. Это можно рассматривать как частный случай вышеизложенного, когда $X$ - одноточечное пространство.
Если $X$ компактно, и $Y$ представляет собой метрическое пространство с метрикой $д$ , то компактно-открытая топология на $С (Х, Y)$ является метризуемое , и метрика для него задается $е (е, г) = вир {г (f (x), g (x)): x в X}$ для $f$ $,$ $g$ в $C$ $($ $X$ $,$ $Y$ $)$ .

Приложения

Компактная открытая топология может использоваться для топологизации следующих множеств:

${\ displaystyle \ Omega (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = f (1) = x_ {0} \}}$ , То пространство петель из в , ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle x_ {0}}$
${\ displaystyle E (X, x_ {0}, x_ {1}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} {\ text {and}} f (1) = x_ { 1} \}}$ ,
${\ displaystyle E (X, x_ {0}) = \ {f: I \ to X: f (0) = x_ {0} \}}$ .

Кроме того, между пространствами существует гомотопическая эквивалентность . Эти топологические пространства полезны в теории гомотопий, поскольку их можно использовать для формирования топологического пространства и модели для гомотопического типа множества гомотопических классов отображений. ${\ Displaystyle С (\ Sigma X, Y) \ cong C (X, \ Omega Y)}$ ${\ Displaystyle C (X, Y)}$

{\ displaystyle \ pi (X, Y) = \ {[f]: X \ to Y | f {\ text {является гомотопическим классом}} \}.}

Это потому, что есть набор компонентов пути в , то есть существует изоморфизм множеств ${\ displaystyle \ pi (X, Y)}$ ${\ Displaystyle C (X, Y)}$

{\ Displaystyle \ пи (X, Y) \ к C (I, C (X, Y)) / \ sim}

где - гомотопическая эквивалентность. ${\ displaystyle \ sim}$

Дифференцируемые функции Фреше

Пусть $Х$ и $Y$ два банаховых пространства , определенные над одной и той же области , и пусть $С т (U, Y)$ обозначим множество всех $т$ -непрерывно Фреше-дифференцируемые функции из открытого подмножества $U \subseteq X$ к $Y$ . Компактно-открытая топология - это начальная топология, индуцированная полунормами

{\ Displaystyle p_ {K} (е) = \ sup \ left \ {\ left \ | D ^ {j} f (x) \ right \ | \: \ x \ in K, 0 \ leq j \ leq m \ Правильно\}}

где $D 0 F (х) = е (х)$ , для каждого компактного подмножества $K \subseteq U$ .

Смотрите также

использованная литература

Дугунджи, Дж. (1966). Топология . Аллин и Бекон. ASIN B000KWE22K .
О.Я. Виро, О.А. Иванов, В.М. Харламов, Н.Ю. Нецветаев (2007) Учебник по задачам элементарной топологии .
«Компактно-открытая топология» . PlanetMath .
Топология и группоиды Раздел 5.9 Рональд Браун, 2006 г.

Languages

In other projects