Первая статья Кантора по теории множеств - Cantor's first set theory article

Георг Кантор, ок. 1870 г.

Первая статья Кантора по теории множеств содержит первые теоремы Георга Кантора из теории трансфинитных множеств , изучающей бесконечные множества и их свойства. Одна из этих теорем являются его «революционным открытием» , что множество всех действительных чисел является несчетным , а не счетно , бесконечны. Эта теорема доказывается с использованием первого доказательства несчетности Кантора , которое отличается от более известного доказательства с использованием его диагонального аргумента . Название статьи « Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел » («Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen») относится к ее первой теореме: множество действительных алгебраических чисел счетно. Статья Кантора была опубликована в 1874 году. В 1879 году он модифицировал свое доказательство несчетности, используя топологическое понятие множества, плотного в интервале.

Статья Кантора также содержит доказательство существования трансцендентных чисел . Как конструктивные, так и неконструктивные доказательства были представлены как «доказательство Кантора». Популярность представления неконструктивных доказательств привела к неправильному представлению о неконструктивности аргументов Кантора. Поскольку доказательство, которое опубликовал Кантор, либо конструирует трансцендентные числа, либо нет, анализ его статьи может определить, является ли это доказательство конструктивным. Переписка Кантора с Ричардом Дедекиндом показывает развитие его идей и показывает, что у него был выбор между двумя доказательствами: неконструктивным доказательством, использующим несчетность действительных чисел, и конструктивным доказательством, не использующим несчетность.

Историки математики изучили статью Кантора и обстоятельства, в которых она была написана. Например, они обнаружили, что Кантору посоветовали опустить его теорему о несчетности в присланной им статье - он добавил ее во время корректуры . Они связали этот и другие факты со статьей с влиянием Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера . Историки также изучили вклад Дедекинда в статью, в том числе его вклад в теорему о счетности действительных алгебраических чисел. Кроме того, они признали роль теоремы о несчетности и концепции счетности в развитии теории множеств, теории меры и интеграла Лебега .

Статья

Статья Кантора короткая, менее четырех с половиной страниц. Он начинается с обсуждения вещественных алгебраических чисел и утверждения его первой теоремы: множество действительных алгебраических чисел может быть поставлено во взаимно однозначное соответствие с множеством положительных целых чисел. Кантор переформулирует эту теорему в терминах, более знакомых математикам его времени: набор действительных алгебраических чисел может быть записан как бесконечная последовательность, в которой каждое число встречается только один раз.

Вторая теорема Кантора работает с отрезком [ a , b ], который представляет собой набор действительных чисел ≥ a и ≤ b . Теорема утверждает: Для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ] существует число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности. Следовательно, таких чисел бесконечно много.

Кантор отмечает, что объединение двух его теорем дает новое доказательство теоремы Лиувилля о том, что каждый интервал [ a , b ] содержит бесконечно много трансцендентных чисел .

Затем Кантор замечает, что его вторая теорема:

причина, по которой наборы действительных чисел, образующие так называемый континуум (например, все действительные числа, которые имеют ≥ 0 и ≤ 1), не могут однозначно соответствовать набору (ν) [совокупности всех положительных целых чисел]; таким образом, я обнаружил явное различие между так называемым континуумом и совокупностью, подобной совокупности действительных алгебраических чисел.

Это замечание содержит теорему Кантора о несчетности, которая только утверждает, что интервал [ a , b ] не может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Он не утверждает, что этот интервал является бесконечным множеством большей мощности, чем множество положительных целых чисел. Кардинальность определяется в следующей статье Кантора, опубликованной в 1878 году.

Доказательство теоремы Кантора о несчетности
Кантор не доказывает явно свою теорему о несчетности, что легко следует из его второй теоремы. Это можно доказать, используя доказательство от противного . Предположим, что интервал [ a , b ] может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с набором положительных целых чисел или, что эквивалентно: действительные числа в [ a , b ] могут быть записаны как последовательность, в которой появляется каждое действительное число только один раз. Применение второй теоремы Кантора к этой последовательности и [ a , b ] дает действительное число в [ a , b ], которое не принадлежит последовательности. Это противоречит исходному предположению и доказывает теорему о несчетности.

Кантор лишь формулирует свою теорему о несчетности. Он не использует его ни в каких доказательствах.

Доказательства

Первая теорема

Алгебраические числа на комплексной плоскости, раскрашенные полиномиальной степенью. (красный = 1, зеленый = 2, синий = 3, желтый = 4). Точки становятся меньше по мере увеличения коэффициентов целочисленного полинома.

Для того, чтобы доказать , что множество вещественных алгебраических чисел счетно, определяет высоту в виде полинома от степени п с целыми коэффициентами , как: п - 1 + | а ₀ | + | а ₁ | + ... + | a _n |, где a ₀ , a ₁ , ..., a _n - коэффициенты многочлена. Упорядочивайте многочлены по их высоте, а действительные корни многочленов одинаковой высоты - по числовому порядку. Поскольку существует только конечное число корней многочленов заданной высоты, эти порядки помещают действительные алгебраические числа в последовательность. Кантор пошел еще дальше и создал последовательность, в которой каждое действительное алгебраическое число встречается только один раз. Он сделал это, используя только неприводимые полиномы над целыми числами. Следующая таблица содержит начало перечисления Кантора.

Канторовское перечисление действительных алгебраических чисел
Действительное алгебраическое число	Полиномиальный	Высота полинома
х ₁ = 0	Икс	1
х ₂ = -1	х + 1	2
х ₃ = 1	х - 1	2
х ₄ = −2	х + 2	3
х ₅ = - 1/2	2 х + 1	3
х ₆ =1/2	2 х - 1	3
х ₇ = 2	х - 2	3
х ₈ = −3	х + 3	4
х ₉ =−1 - √ 5/2	х ² + х - 1	4
х ₁₀ = - √ 2	х ² - 2	4
х ₁₁ = -1/√ 2	2 х ² - 1	4
х ₁₂ =1 - √ 5/2	х ² - х - 1	4
х ₁₃ = -1/3	3 х + 1	4
х ₁₄ =1/3	3 х - 1	4
х ₁₅ =−1 + √ 5/2	х ² + х - 1	4
х ₁₆ =1/√ 2	2 х ² - 1	4
х ₁₇ = √ 2	х ² - 2	4
х ₁₈ =1 + √ 5/2	х ² - х - 1	4
х ₁₉ = 3	х - 3	4

Вторая теорема

Требуется доказать только первую часть второй теоремы Кантора. Он гласит: Для любой последовательности действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ] существует число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности.

Чтобы найти число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности, постройте две последовательности действительных чисел следующим образом: Найдите первые два числа данной последовательности, которые находятся в открытом интервале ( a , b ). Обозначим меньшее из этих двух чисел a _1, а большее - b ₁ . Точно так же найдите первые два числа заданной последовательности, которые находятся в ( a ₁ , b ₁ ). Обозначим меньшую букву a _2, а большую - b ₂ . Продолжая эту процедуру , генерирует последовательность интервалов ( ₁ , б ₁ ), ( ₂ , б ₂ ), ( ₃ , б ₃ ), ... таким образом, что каждый интервал в последовательности содержит все последующие интервалы - то есть, он генерирует последовательность вложенных интервалов . Это означает, что последовательность a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... возрастает, а последовательность b ₁ , b ₂ , b ₃ , ... убывает.

Либо количество сгенерированных интервалов конечно, либо бесконечно. Если конечно, пусть ( a _L , b _L ) будет последним интервалом. Если бесконечно, возьмем пределы a _∞ = lim _{n → ∞} a _n и b _∞ = lim _{n → ∞} b _n . Поскольку a _n < b _n для всех n , либо a _∞ = b _∞, либо a _∞ < b _∞ . Таким образом, следует рассмотреть три случая:

Случай 1: Последний интервал ( a _L , b _L )

Случай 1: есть последний интервал ( a _L , b _L ). Поскольку в этом интервале может быть не более одного x _n , каждый y в этом интервале, кроме x _n (если он существует), не содержится в данной последовательности.

Случай 2: a _∞ = b _∞

Случай 2: a _∞ = b _∞ . Тогда a _∞ не содержится в данной последовательности, поскольку для всех n : a _∞ принадлежит интервалу ( a _n , b _n ), но x _n не принадлежит ( a _n , b _n ). В символах: a _∞ ∈ ( a _n , b _n ), но x _n ∉ ( a _n , b _n ).

Доказательство того, что для всех n : x _n ∉ ( a _n , b _n )
Эта лемма используется в случаях 2 и 3. Она следует из более сильной леммы: для всех n ( a _n , b _n ) исключает x ₁ , ..., x _{2 n} . Это доказывается по индукции . Базовый шаг: поскольку конечные точки ( a ₁ , b ₁ ) равны x ₁ и x _2, а открытый интервал исключает его конечные точки, ( a ₁ , b ₁ ) исключает x ₁ , x ₂ . Индуктивный шаг: Предположим, что ( a _n , b _n ) исключает x ₁ , ..., x _{2 n} . Поскольку ( a _{n +1} , b _{n +1} ) является подмножеством ( a _n , b _n ) и его конечными точками являются x _{2 n +1} и x _{2 n +2} , ( a _{n +1} , b _{n +1} ) исключает x ₁ , ..., x _{2 n} и x _{2 n +1} , x _{2 n +2} . Следовательно, для всех n ( a _n , b _n ) исключает x ₁ , ..., x _{2 n} . Поэтому для всех п , х _п ∉ ( а _п , б _п ).

Случай 3: a _∞ < b _∞

Случай 3: a _∞ < b _∞ . Тогда каждый y из [ a _∞ , b _∞ ] не содержится в данной последовательности, поскольку для всех n : y принадлежит ( a _n , b _n ), а x _n нет.

Доказательство завершено, поскольку во всех случаях было найдено хотя бы одно действительное число в [ a , b ], которое не содержится в данной последовательности.

Доказательства Кантора конструктивны и были использованы для написания компьютерной программы, которая генерирует цифры трансцендентного числа. Эта программа применяет конструкцию Кантора к последовательности, содержащей все действительные алгебраические числа от 0 до 1. В статье, в которой обсуждается эта программа, приводятся некоторые ее результаты, которые показывают, как конструкция генерирует трансцендентное число.

Пример конструкции Кантора

Пример показывает, как работает конструкция Кантора. Рассмотрим последовательность:1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, ... Эта последовательность получается путем упорядочивания рациональных чисел в (0, 1) путем увеличения знаменателей, упорядочения чисел с тем же знаменателем путем увеличения числителей и исключения приводимых дробей . В таблице ниже показаны первые пять шагов построения. Первый столбец таблицы содержит интервалы ( a _n , b _n ). Во втором столбце перечислены термины, посещенные во время поиска первых двух терминов в ( a _n , b _n ). Эти два термина выделены красным.

**Генерация числа с помощью конструкции Кантора**
Интервал	Нахождение следующего интервала	Интервал (десятичный)
${\ displaystyle \ left (\; {\ frac {1} {3}}, \; \; \! {\ frac {1} {2}} \; \ right)}$	${\ displaystyle \; {\ frac {2} {3}}, \; \! {\ frac {1} {4}}, \; \! {\ frac {3} {4}}, \; \! {\ frac {1} {5}}, \; \! {\ color {red} {\ frac {2} {5}},} \; \! \; \! {\ frac {3} {5} }, \; \! {\ frac {4} {5}}, \; \! {\ frac {1} {6}}, \; \! {\ frac {5} {6}}, \; \ ! {\ frac {1} {7}}, \; \! {\ frac {2} {7}}, \; \! {\ color {red} {\ frac {3} {7}}}}$	${\ Displaystyle \ влево (0,3333 \ точек, \; 0,5000 \ точек \ вправо)}$
${\ displaystyle \ left (\; {\ frac {2} {5}}, \; \; \! {\ frac {3} {7}} \; \ right)}$	${\ displaystyle \; {\ frac {4} {7}}, \; \ dots, \; {\ frac {1} {12}}, {\ color {красный} {\ frac {5} {12}} ,} \; \! {\ frac {7} {12}}, \; \ dots, \; {\ frac {6} {17}}, {\ color {red} {\ frac {7} {17} }}}$	${\ Displaystyle \ влево (0,4000 \ точек, \; 0,4285 \ точек \ вправо)}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {7} {17}}, {\ frac {5} {12}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {8} {17}}, \; \! \ dots, \; \! {\ frac {11} {29}}, {\ color {красный} {\ frac {12} {29 }},} \; \! {\ frac {13} {29}}, \; \ dots, \; {\ frac {16} {41}}, {\ color {red} {\ frac {17} { 41}}}}$	${\ Displaystyle \ влево (0,4117 \ точек, \; 0,4166 \ точек \ вправо)}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {12} {29}}, {\ frac {17} {41}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {18} {41}}, \; \! \ dots, \; \! {\ frac {27} {70}}, {\ color {красный} {\ frac {29} {70 }},} \; \! {\ frac {31} {70}}, \; \ dots, \; {\ frac {40} {99}}, {\ color {red} {\ frac {41} { 99}}}}$	${\ Displaystyle \ влево (0,4137 \ точек, \; 0,4146 \ точек \ вправо)}$
${\ displaystyle \ left ({\ frac {41} {99}}, {\ frac {29} {70}} \ right)}$	${\ displaystyle {\ frac {43} {99}}, \ dots, {\ frac {69} {169}}, {\ color {red} {\ frac {70} {169}},} \; \! {\ frac {71} {169}}, \, \ dots, {\ frac {98} {239}}, {\ color {красный} {\ frac {99} {239}}}}$	${\ Displaystyle \ влево (0,4141 \ точек, \; 0,4142 \ точек \ вправо)}$

Поскольку последовательность содержит все рациональные числа из (0, 1), конструкция генерирует иррациональное число , которое оказывается √ 2 - 1.

Доказательство того, что сгенерированное число равно √ 2 - 1.
Доказательство использует последовательности Фарея и непрерывные дроби . Последовательность Фарей является возрастающая последовательность полностью восстановленных фракций , знаменатели которых если и являются смежными в последовательности Фарея, наименьший знаменатель фракции между ними является их медианта Это медианта примыкает к обоим , и в последовательности Фарея ${\ displaystyle F_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ Leq п.}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {c} {d}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {a + c} {b + d}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {c} {d}}}$ ${\ displaystyle F_ {b + d}.}$ Конструкция Кантора дает медианты, потому что рациональные числа были упорядочены по возрастающему знаменателю. Первый интервал в таблице - это Поскольку и смежные по своей медианте - это первая дробь в последовательности между и Следовательно, в этом неравенстве имеет наименьший знаменатель, поэтому вторая дробь является медианой и, которая равна Это означает: Следовательно, следующий интервал ${\ displaystyle ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {2}}).}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle F_ {3},}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} <{\ frac {2} {5}} <{\ frac {1} {2}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {2} {5}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {3} {7}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {1} {3}} <{\ frac {2} {5}} <{\ frac {3} {7}} <{\ frac {1} {2}}.}$ ${\ displaystyle ({\ frac {2} {5}}, {\ frac {3} {7}}).}$ Мы докажем, что концы интервалов сходятся к непрерывной дроби. Эта цепная дробь является пределом своих подходящих дробей : ${\ displaystyle [0; 2,2, \ точки].}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}} = [0; 2, \ dots, 2] \; \; (n \; 2 {\ text {'s}}).}$ Последовательности и удовлетворяют уравнениям: ${\ displaystyle p_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {0} = 0 \; \; \; \; \; \; \; p_ {1} = 1 \; \; \; \; \; \; \; p_ {n + 1} = 2p_ {n} + p_ {n-1} {\ text {for}} n \ geq 1}$ ${\ Displaystyle q_ {0} = 1 \; \; \; \; \; \; \; q_ {1} = 2 \; \; \; \; \; \; \; q_ {n + 1} = 2q_ {n} + q_ {n-1} {\ text {for}} n \ geq 1}$ Во- первых, мы докажем по индукции , что при нечетном п , то п -й интервал в таблице: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {n} + p_ {n-1}} {q_ {n} + q_ {n-1}}}}, {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}) }}}\Правильно)\!,}$ и для четного n конечные точки интервала меняются местами: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}}), {\ frac {p_ {n} + p_ {n-1}} {q_ {n} + q_ {n-1) }}}\Правильно)\!.}$ Это верно для первого интервала, поскольку: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {1} + p_ {0}} {q_ {1} + q_ {0}}}, {\ frac {p_ {1}} {q_ {1}}} \ right) = \ left ({\ frac {1} {3}}, {\ frac {1} {2}} \ right) \ !.}$ Предположим, что индуктивная гипотеза верна для k -го интервала. Если k нечетное, этот интервал равен: ${\ displaystyle \ left ({\ frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}}}, {\ frac {p_ {k}} {q_ {k}) }}}\Правильно)\!.}$ Медиант конечных точек - это первая часть последовательности между этими конечными точками. ${\ displaystyle {\ frac {2p_ {k} + p_ {k-1}} {2q_ {k} + q_ {k-1}}} = {\ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ Следовательно, ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}} <{\ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}} <{\ frac {p_ {k}} {q_ {k}}}.}$ В этом неравенстве имеет наименьший знаменатель, поэтому вторая дробь является медиантом и равна ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k}} {q_ {k}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k}} {q_ {k}}},}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1} + q_ {k}}}.}$ Из этого следует: ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k} + p_ {k-1}} {q_ {k} + q_ {k-1}}} <{\ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}} <{\ frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1} + q_ {k}}} <{\ frac {p_ {k}} {q_ {k} }}.}$ Следовательно, ( k + 1) -й интервал равен ${\ displaystyle \ left ({\ гидроразрыв {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}, {\ frac {p_ {k + 1} + p_ {k}} {p_ {k + 1}) + q_ {k}}} \ right) \ !.}$ Это желаемый интервал; является левым концом, потому что k + 1 четно. Таким образом, индуктивная гипотеза верна для ( k + 1) -го интервала. Для четного k доказательство аналогично. Это завершает индуктивное доказательство. ${\ displaystyle {\ frac {p_ {k + 1}} {q_ {k + 1}}}}$ Так как правые конечные точки интервалов уменьшаются, и каждая другая конечная точка является их пределом, равным Левые конечные точки имеют тот же предел, потому что они увеличиваются, а каждая другая конечная точка равна. Как упоминалось выше, этот предел представляет собой непрерывную дробь, которая равна ${\ displaystyle {\ frac {p_ {2n-1}} {q_ {2n-1}}},}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {p_ {n}} {q_ {n}}}.}$ ${\ displaystyle {\ frac {p_ {2n}} {q_ {2n}}}.}$ ${\ displaystyle [0; 2,2, \ точки],}$ ${\ displaystyle {\ sqrt {2}} - 1.}$

Доказательство несчетности кантора 1879 года

Везде густо

В 1879 году Кантор опубликовал новое доказательство несчетности, изменяющее его доказательство 1874 года. Сначала он определяет топологическое понятие точечного множества P, которое «всюду плотно в интервале»:

Если P лежит частично или полностью в интервале [a, β], то замечательный случай может случиться так, что каждый интервал [γ, δ] содержится в [a, β], независимо от того , насколько она мала, содержит точки P . В таком случае мы будем говорить , что Р является всюду плотным в интервале [a, β].

В этом обсуждении доказательства Кантора: a , b , c , d используются вместо α, β, γ, δ. Кроме того, Кантор использует свое обозначение интервала только в том случае, если первая конечная точка меньше второй. Для данного обсуждения это означает, что ( a , b ) влечет a < b .

Поскольку обсуждение доказательства Кантора 1874 года было упрощено за счет использования открытых интервалов, а не закрытых, здесь используется то же упрощение. Это требует , эквивалентное определения всюду плотно: Множество Р всюду плотно в интервале [ , Ь ] тогда и только тогда , когда каждый открытый подинтервал ( с , d ) из [ , Ь ] содержит , по меньшей мере , одну точки Р .

Кантор не уточнил, сколько точек P должен содержать открытый подынтервал ( c , d ). Ему не нужно было указать это потому , что предположение , что каждые открытые подотрезки содержат , по меньшей мере , одну точки Р означает , что каждые открытые подотрезки содержат бесконечно много точек Р .

Доказательство Кантора 1879 г.

Кантор модифицировал свое доказательство 1874 года новым доказательством своей второй теоремы : для любой последовательности P действительных чисел x ₁ , x ₂ , x ₃ , ... и любого интервала [ a , b ] существует число в [ a , б ] , который не содержится в P . Новое доказательство Кантора имеет только два случая. Во-первых, он обрабатывает случай, когда P не является плотным в интервале, затем он имеет дело с более сложным случаем, когда P плотно в интервале. Это разделение на случаи не только указывает, с какими последовательностями труднее справиться, но также показывает важную роль, которую плотность играет в доказательстве.

В первом случае P не плотно в [ a , b ]. По определению P плотно в [ a , b ] тогда и только тогда, когда для всех подынтервалов ( c , d ) в [ a , b ] существует x ∈ P такой, что x ∈ ( c , d ) . Отрицание каждой стороны «тогда и только тогда» дает: P не плотно в [ a , b ] тогда и только тогда, когда существует подинтервал ( c , d ) из [ a , b ] такой, что для всех x ∈ P : x ∉ ( c , d ) . Таким образом, каждое число в ( с , d ) не содержится в последовательности Р . Это дело касается случаев 1 и 3 доказательства Кантора 1874 года.

Во втором случае, который имеет дело со случаем 2 доказательства Кантора 1874 г., P плотно в [ a , b ]. Плотность последовательности P используется для рекурсивного определения последовательности вложенных интервалов, которая исключает все числа в P и чье пересечение содержит единственное действительное число в [ a , b ]. Последовательность интервалов начинается с ( a , b ). Учитывая интервал в последовательности, следующий интервал получается путем нахождения двух чисел с наименьшими индексами, принадлежащих P и текущему интервалу. Эти два числа являются конечными точками следующего открытого интервала. Поскольку открытых интервал не включает его конечные точки, каждый вложенного интервал исключает два числа от передней части последовательности P , откуда следует , что пересечение вложенных интервалов исключают все числа в P . Детали этого доказательства и доказательства того, что это пересечение содержит единственное действительное число в [ a , b ], приведены ниже.

Определение и доказательства для вложенных интервалов
Сплошность последовательности P используется для рекурсивно определить последовательность вложенных интервалов , что исключает все из чисел P . Базовый случай начинается с интервалом ( , б ). Поскольку P плотно в [ a , b ], существует бесконечно много чисел P в ( a , b ). Пусть x _k_₁ будет числом с наименьшим индексом, а x _k_₂ будет числом со следующим большим индексом, и пусть a ₁ будет меньшим, а b ₁ будет большим из этих двух чисел. Тогда k ₁ < k ₂ , a < a ₁ < b ₁ < b и ( a ₁ , b ₁ ) - собственный подынтервал в ( a , b ). Кроме того, x _m ∉ ( a ₁ , b ₁ ) для m ≤ k _2, поскольку эти x _m являются конечными точками ( a ₁ , b ₁ ). Повторение приведенного выше доказательства с интервалом ( a ₁ , b ₁ ) дает k ₃ , k ₄ , a ₂ , b ₂ такие, что k ₁ < k ₂ < k ₃ < k ₄ и a < a ₁ < a ₂ < b ₂ < b ₁ < b и x _m ∉ ( a ₂ , b ₂ ) для m ≤ k ₄ . На шаге рекурсии начинается с интервала ( _п_-1 , б _п_-1 ) , неравенства к ₁ < к ₂ <. . . < k _{2 n –2} < k _{2 n –1} и a < a ₁ <. . . < a _{n –1} < b _{n –1} . . . < Ь ₁ < Ь , и тот факт , что интервал ( _п_-1 , б _п_-1 ) исключает первые 2 п -2 членов последовательности Р - что есть, х _м ∉ ( _N_-1 , б _п_–1 ) для m ≤ k _{2 n –2} . Поскольку P плотно в [ a , b ], существует бесконечно много чисел P в ( a _{n –1} , b _{n –1} ) . Пусть x _{k _{2 n –1}} будет числом с наименьшим индексом, а x _{k _{2 n}} будет числом со следующим большим индексом, и пусть a _n будет меньшим, а b _n будет большим из этих двух чисел. Тогда, K _{2 п -1} < K _{2 п} , _п_-1 < _п < б _п < б _п_-1 , и ( _п , б _п ) является собственно подинтервал из ( в _п_-1 , б _п_{- 1} ) . Объединение этих неравенств с неравенствами для шага n –1 рекурсии дает k ₁ < k ₂ <. . . < k ₂_n_–1 < k ₂_n и a < a ₁ <. . . < a _n < b _n . . . < б ₁ < б . Кроме того, x _m ∉ ( a _n , b _n ) для m = k ₂_n_–1 и m = k ₂_n, поскольку эти x _m являются конечными точками ( a _n , b _n ). Это вместе с ( _п_-1 , б _п_-1 ) за исключением первых 2 п -2 членов последовательности Р означает , что интервал ( _п , б _п ) включают первые 2 п членов Р - что есть, х _м ∉ ( a _n , b _n ) для m ≤ k ₂_n . Поэтому для всех п , х _п ∉ ( а _п , б _п ) начиная с п ≤ K ₂_н . Последовательность a _n возрастает и ограничена сверху числом b , поэтому предел A = lim _{n → ∞} a _n существует. Аналогично, предел B = lim _{n → ∞} b _n существует, поскольку последовательность b _n убывает и ограничена снизу величиной a . Кроме того , _п < б _п означает ≤ B . Если A < B , то для каждого n : x _n ∉ ( A , B ), потому что x _n не находится в большем интервале ( a _n , b _n ). Это противоречит плотности P в [ a , b ]. Следовательно, = B . Для всех n , A ∈ ( a _n , b _n ), но x _n ∉ ( a _n , b _n ) . Таким образом, представляет собой число в [ с , Ь ] , который не содержится в P .

Развитие идей Кантора

Развитие, приведшее к статье Кантора 1874 года, проявляется в переписке между Кантором и Ричардом Дедекиндом . 29 ноября 1873 года Кантор спросил Дедекинда, может ли совокупность положительных целых чисел и совокупность положительных действительных чисел «соответствовать так, чтобы каждая особь одной коллекции соответствовала одной и только одной особи другой?» Кантор добавил, что коллекции, имеющие такое соответствие, включают в себя набор положительных рациональных чисел и коллекции вида ( a _{n ₁ , n ₂ , ..., n _ν} ), где n ₁ , n ₂ ,. . . , n _ν и ν - натуральные числа.

Дедекинд ответил, что не может ответить на вопрос Кантора, и сказал, что он «не заслуживает слишком больших усилий, потому что не представляет особого практического интереса». Дедекинд также прислал Кантору доказательство счетности множества алгебраических чисел.

2 декабря Кантор ответил, что его вопрос действительно интересен: «Было бы хорошо, если бы на него можно было ответить; например, при условии, что на него можно было бы ответить« нет » , можно было бы получить новое доказательство теоремы Лиувилля о существовании трансцендентных чисел. "

7 декабря Кантор отправил Дедекинду доказательство от противного, что множество действительных чисел неисчислимо. Кантор начинает с предположения, что действительные числа можно записать в виде последовательности. Затем он применяет конструкцию к этой последовательности, чтобы получить число , не входящее в последовательность, что противоречит его предположению. Вместе письма от 2 и 7 декабря дают неконструктивное доказательство существования трансцендентных чисел. Кроме того, доказательство в письме Кантора от 7 декабря показывает некоторые рассуждения, которые привели к его открытию, что действительные числа образуют несчетное множество. ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle [0,1]}$

Доказательство Кантора от 7 декабря 1873 г.
Доказательство проводится от противоречия и начинается с предположения, что действительные числа в можно записать в виде последовательности: ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {I}) \; \; \ omega _ {1}, \, \ omega _ {2}, \, \ omega _ {3}, \, \ ldots, \, \ omega _ { n}, \, \ ldots}$ Возрастающая последовательность извлекается из этой последовательности, позволяя первому члену стать следующим по величине членом, следующим за следующим по величине членом, и так далее. Та же процедура применяется к остальным членам исходной последовательности, чтобы извлечь другую возрастающую последовательность. Продолжая этот процесс извлечения последовательностей, можно увидеть, что последовательность может быть разложена на бесконечное множество последовательностей: ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {1} =}$ ${\ displaystyle, \ \ omega _ {1} ^ {2} =}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {1}, \ \ omega _ {1} ^ {3} =}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {2},}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {I})}$ ${\ Displaystyle (1) \; \; \ omega _ {1} ^ {1}, \, \ omega _ {1} ^ {2}, \, \ omega _ {1} ^ {3}, \, \ ldots, \, \ omega _ {1} ^ {n}, \, \ ldots}$ ${\ Displaystyle (2) \; \; \ omega _ {2} ^ {1}, \, \ omega _ {2} ^ {2}, \, \ omega _ {2} ^ {3}, \, \ ldots, \, \ omega _ {2} ^ {n}, \, \ ldots}$ ${\ Displaystyle (3) \; \; \ omega _ {3} ^ {1}, \, \ omega _ {3} ^ {2}, \, \ omega _ {3} ^ {3}, \, \ ldots, \, \ omega _ {3} ^ {n}, \, \ ldots}$ ${\ Displaystyle \ \ \ vdots}$ Позвольте быть интервал, такой, что ни один член последовательности (1) не лежит в нем. Например, пусть и удовлетворяет Тогда для так нет термина последовательности (1) лежит в ${\ displaystyle [p, q]}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {1} <p <q <\ omega _ {1} ^ {2}.}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {1} <p <q <\ omega _ {1} ^ {n}}$ ${\ Displaystyle п \ geq 2,}$ ${\ displaystyle [p, q].}$ Теперь рассмотрим условия других последовательностей лежат ли вне Все члены некоторых из этих последовательностей может лежать вне однако, должна быть некоторая последовательность такая , что не все его условия лежат вне В противном случае число в бы не содержаться в последовательности , противоречащего исходная гипотеза. Пусть последовательность будет первой последовательностью, которая содержит член, и пусть будет первым термином. Так пусть и удовлетворяет условие Тогда это надмножество из (в символах, ). Кроме того, члены последовательностей лежат вне ${\ displaystyle [p, q].}$ ${\ displaystyle [p, q];}$ ${\ displaystyle [p, q].}$ ${\ displaystyle [p, q]}$ ${\ displaystyle (\ mathrm {I}),}$ ${\ Displaystyle (к)}$ ${\ displaystyle [p, q]}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k} ^ {n}}$ ${\ displaystyle p <\ omega _ {k} ^ {n} <q,}$ ${\ displaystyle p_ {1}}$ ${\ displaystyle q_ {1}}$ ${\ displaystyle p <p_ {1} <q_ {1} <\ omega _ {k} ^ {n} <q.}$ ${\ displaystyle [p, q]}$ ${\ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}]}$ ${\ Displaystyle [p, q] \ supsetneq [p_ {1}, q_ {1}]}$ ${\ Displaystyle (1), (2), \ ldots, (к-1)}$ ${\ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}].}$ Повторите приведенный выше аргумент, начиная с Пусть последовательность будет первой последовательностью, содержащей термин, и пусть будет первым термином. Поскольку let и удовлетворяют Then, а члены последовательностей лежат вне ${\ Displaystyle [п_ {1}, q_ {1}] \!: \,}$ ${\ displaystyle (k_ {1})}$ ${\ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}]}$ ${\ displaystyle \ omega _ {k_ {1}} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ p_ {1} <\ omega _ {k_ {1}} ^ {n} <q_ {1},}$ ${\ displaystyle p_ {2}}$ ${\ displaystyle q_ {2}}$ ${\ displaystyle p_ {1} <p_ {2} <q_ {2} <\ omega _ {k_ {1}} ^ {n} <q_ {1}.}$ ${\ Displaystyle [p_ {1}, q_ {1}] \ supsetneq [p_ {2}, q_ {2}]}$ ${\ Displaystyle (к_ {1}), \ ldots, (к_ {2} -1)}$ ${\ displaystyle [p_ {2}, q_ {2}].}$ Видно, что можно сформировать бесконечную последовательность вложенных интервалов так , что: члены последовательности лежат вне членов последовательности лежат вне членов последовательности лежат вне ${\ Displaystyle [p, q] \ supsetneq [p_ {1}, q_ {1}] \ supsetneq [p_ {2}, q_ {2}] \ supsetneq \ ldots}$ ${\ displaystyle 1 ^ {st}, 2 ^ {nd}, \ ldots, (k-1) ^ {st}}$ ${\ displaystyle [p, q];}$ ${\ Displaystyle к ^ {th}, \ ldots, (k_ {1} -1) ^ {st}}$ ${\ displaystyle [p_ {1}, q_ {1}];}$ ${\ Displaystyle (к_ {1}) ^ {th}, \ ldots, (k_ {2} -1) ^ {st}}$ ${\ displaystyle [p_ {2}, q_ {2}];}$ ${\ displaystyle \ ldots;}$ Поскольку и являются ограниченными монотонными последовательностями , пределы и существуют. Кроме того , для всех означает Следовательно, существует по крайней мере одно число в который лежит во всех интервалах , а именно, может быть любое число Это означает , что лежит вне всех последовательностей , противоречащих первоначальную гипотезу о том, что последовательность содержит все действительные числа в Таким образом, набор всех действительных чисел неисчислим. ${\ displaystyle p_ {n}}$ ${\ displaystyle q_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} р_ {п}}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} q_ {n}}$ ${\ displaystyle p_ {n} <q_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} p_ {n} \ leq \ lim _ {n \ to \ infty} q_ {n}.}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle [p, q]}$ ${\ displaystyle [p_ {n}, q_ {n}].}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ displaystyle [\ lim _ {n \ to \ infty} p_ {n}, \ lim _ {n \ to \ infty} q_ {n}].}$ ${\ displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle (1), (2), (3), \ ldots,}$ ${\ Displaystyle (\ mathrm {I})}$ ${\ displaystyle [0,1].}$

Дедекинд получил доказательство Кантора 8 декабря. В тот же день Дедекинд упростил доказательство и отправил его по почте Кантору. Кантор использовал доказательство Дедекинда в своей статье. Письмо с доказательством Кантора от 7 декабря не было опубликовано до 1937 года.

9 декабря Кантор объявил теорему, которая позволила ему построить трансцендентные числа, а также доказать несчетность множества действительных чисел:

Я показываю прямо, что если я начну с последовательности

(1) ω ₁ , ω ₂ , ..., ω _n , ...

Я могу определить в каждом заданном интервале [ α , β ] число η , которое не входит в (1).

Это вторая теорема в статье Кантора. Это происходит от осознания того, что его конструкция может быть применена к любой последовательности, а не только к последовательностям, которые якобы перечисляют действительные числа. Итак, у Кантора был выбор между двумя доказательствами, демонстрирующими существование трансцендентных чисел: одно доказательство конструктивно, а другое - нет. Эти два доказательства можно сравнить, начав с последовательности, состоящей из всех действительных алгебраических чисел.

Конструктивное доказательство применяет конструкцию Кантора к этой последовательности и интервалу [ a , b ], чтобы получить трансцендентное число в этом интервале.

Неконструктивное доказательство использует два доказательства от противного:

Доказательство от противного используется для доказательства теоремы о несчетности (см. Доказательство теоремы Кантора о несчетности ).
Доказательство от противного используется для доказательства существования трансцендентных чисел из счетности действительных алгебраических чисел и несчетности действительных чисел. Письмо Кантора от 2 декабря упоминает это доказательство существования, но не содержит его. Вот доказательство: предположим, что в [ a , b ] нет трансцендентных чисел . Тогда все числа в [ a , b ] алгебраические. Это означает, что они образуют подпоследовательность всех действительных алгебраических чисел, что противоречит теореме Кантора о несчетности. Таким образом, предположение, что в [ a , b ] нет трансцендентных чисел , неверно. Следовательно, в [ a , b ] есть трансцендентное число .

Кантор решил опубликовать конструктивное доказательство, которое не только дает трансцендентное число, но также короче и позволяет избежать двух доказательств от противного. Неконструктивное доказательство из соответствия Кантора проще, чем приведенное выше, потому что оно работает со всеми действительными числами, а не с интервалом [ a , b ]. Это исключает шаг подпоследовательности и все вхождения [ a , b ] во втором доказательстве от противного.

Заблуждение о работе Кантора

Акихиро Канамори , специализирующийся на теории множеств, заявил, что «отчеты о работе Кантора в основном изменили порядок вывода о существовании трансцендентных чисел, установив сначала несчетность действительных чисел и только затем сделав вывод о существовании из счетности алгебраических чисел. В учебниках инверсия может быть неизбежной, но это породило неправильное представление о неконструктивности аргументов Кантора ».

Как в опубликованном доказательстве Кантора, так и в доказательстве в обратном порядке используется теорема: если дана последовательность вещественных чисел, можно найти вещественное число, которого нет в последовательности. Применив эту теорему к последовательности действительных алгебраических чисел, Кантор получил трансцендентное число. Затем он доказал, что действительные числа неисчислимы: предположим, что существует последовательность, содержащая все числа. Применение теоремы к этой последовательности дает вещественное число, не входящее в последовательность, что противоречит предположению, что последовательность содержит все действительные числа. Следовательно, реалы неисчислимы. Доказательство в обратном порядке начинается с того, что сначала доказывается, что действительные числа неисчислимы. Затем это доказывает, что трансцендентные числа существуют: если бы не было трансцендентных чисел, все действительные числа были бы алгебраическими и, следовательно, счетными, что противоречит только что доказанному. Это противоречие доказывает, что трансцендентные числа существуют, не создавая их.

Оскар Перрон, ок. 1948 г.

Переписка, содержащая неконструктивные рассуждения Кантора, была опубликована в 1937 году. К тому времени другие математики заново открыли его неконструктивное доказательство обратного порядка. Еще в 1921 году это доказательство называлось «доказательством Кантора» и критиковалось за то, что оно не дает никаких трансцендентных чисел. В том же году Оскар Перрон дал доказательство обратного порядка, а затем заявил: «… Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел имеет, наряду с его простотой и элегантностью, большой недостаток, заключающийся в том, что оно является лишь доказательством существования; оно не позволяет нам нужно указать хотя бы одно трансцендентное число ».

Авраам Френкель, между 1939 и 1949 годами.

Еще в 1930 году некоторые математики пытались исправить это неправильное представление о работе Кантора. В том же году теоретик множеств Абрахам Френкель заявил, что метод Кантора - это «… метод, который, кстати, вопреки широко распространенной интерпретации, является фундаментально конструктивным, а не просто экзистенциальным». В 1972 году Ирвинг Каплански писал: «Часто говорят, что доказательство Кантора не является« конструктивным »и поэтому не дает ощутимого трансцендентного числа. Это замечание неоправданно. Если мы составим определенный список всех алгебраических чисел… и затем применяем диагональную процедуру …, мы получаем совершенно определенное трансцендентное число (его можно вычислить до любого числа десятичных знаков) ». Доказательство Кантора не только конструктивно, но и проще, чем доказательство Перрона, которое требует сначала доказательства того, что множество всех действительных чисел неисчислимо.

Диагональный аргумент Кантора часто заменял его конструкцию 1874 года в изложении его доказательства. Диагональный аргумент конструктивен и дает более эффективную компьютерную программу, чем его конструкция 1874 года. С его помощью была написана компьютерная программа, которая вычисляет цифры трансцендентного числа за полиномиальное время . Программа, использующая конструкцию Кантора 1874 года, требует как минимум субэкспоненциального времени .

Изложение неконструктивного доказательства без упоминания конструктивного доказательства Кантора появляется в некоторых книгах, которые были весьма успешными, если судить по продолжительности появления новых изданий или переизданий, например: Irrationalzahlen Оскара Перрона (1921; 1960, 4-е издание), Eric « Люди математики» Темпл Белла (1937; все еще переиздаются), Годфри Харди и Э.М. Райта « Введение в теорию чисел» (1938; 6-е издание 2008 г.), Обзор современной алгебры Гарретта Биркгофа и Сондерса Мак Лейна (1941; 5-е издание 1997 г.) ) и исчисления Майкла Спивака (1967; 2008, 4-е издание). С 2014 года появилось по крайней мере две книги, в которых утверждается, что доказательство Кантора конструктивно, и по крайней мере четыре книги, утверждающие, что его доказательство не строит никакого (или единственного) трансцендентального.

Утверждение, что Кантор дал неконструктивный аргумент, без упоминания конструктивного доказательства, которое он опубликовал, может привести к ошибочным утверждениям об истории математики . В «Обзоре современной алгебры» Биркгоф и Мак Лейн утверждают: «Аргумент Кантора в пользу этого результата [не каждое действительное число является алгебраическим] сначала был отвергнут многими математиками, поскольку он не показал какого-либо конкретного трансцендентного числа». Доказательство, опубликованное Кантором, дает трансцендентные числа, и, похоже, нет никаких доказательств того, что его аргумент был отвергнут. Даже Леопольд Кронекер , имевший строгие взгляды на то, что допустимо в математике, и который мог отложить публикацию статьи Кантора, не откладывал это. Фактически, применение конструкции Кантора к последовательности действительных алгебраических чисел приводит к ограничивающему процессу, который принял Кронекер, а именно, он определяет число с любой требуемой степенью точности.

Влияние Вейерштрасса и Кронекера на статью Кантора

Карл Вейерштрасс

Леопольд Кронекер, 1865 г.

Историки математики обнаружили следующие факты о статье Кантора «Об одном свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел»:

Теорема Кантора о несчетности была исключена из представленной им статьи. Добавил во время корректуры .
Название статьи относится к набору вещественных алгебраических чисел. Основной темой в переписке Кантора было множество действительных чисел.
Доказательство второй теоремы Кантора пришло от Дедекинда. Однако он опускает объяснение Дедекинда, почему существуют пределы a _∞ и b _∞ .
Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел. Доказательство, которое он использовал, демонстрирует счетность множества всех алгебраических чисел.

Чтобы объяснить эти факты, историки указали на влияние бывших профессоров Кантора, Карла Вейерштрасса и Леопольда Кронекера. Кантор обсудил свои результаты с Вейерштрассом 23 декабря 1873 года. Вейерштрасс сначала был поражен концепцией счетности, но затем нашел полезной счетность множества действительных алгебраических чисел. Кантор пока не хотел публиковать, но Вейерштрасс чувствовал, что он должен опубликовать хотя бы свои результаты, касающиеся алгебраических чисел.

Из его переписки следует, что Кантор обсуждал свою статью только с Вейерштрассом. Однако Кантор сказал Дедекинду: «Ограничение, которое я наложил на опубликованную версию моих исследований, вызвано частично местными обстоятельствами…» Биограф Кантора Йозеф Добен считает, что «местные обстоятельства» относятся к Кронекеру, который, как член редакционной статьи Правление Crelle's Journal отложило публикацию статьи Эдуарда Гейне , одного из коллег Кантора, в 1870 году . Кантор представит свою статью в Crelle's Journal .

Вейерштрасс посоветовал Кантору убрать свою теорему о несчетности из статьи, которую он представил, но Вейерштрасс также сказал Кантору, что он может добавить ее в качестве заметки на полях во время корректуры, что он и сделал. Об этом говорится в примечании в конце введения к статье . Здесь сыграли свою роль мнения Кронекера и Вейерштрасса. Кронекер не принимал бесконечные множества, и кажется, что Вейерштрасс не соглашался с тем, что два бесконечных множества могут быть такими разными, причем одно может быть счетным, а другое - нет. Позже Вейерштрасс изменил свое мнение. Без теоремы о несчетности статья нуждалась в названии, которое не относилось бы к этой теореме. Кантор выбрал «Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen» («Об одном свойстве набора всех действительных алгебраических чисел»), который относится к счетности множества действительных алгебраических чисел, результат, который Вейерштрасс счел полезным.

Влияние Кронекера проявляется в доказательстве второй теоремы Кантора. Кантор использовал версию доказательства Дедекинда, за исключением того, что он не упомянул, почему существуют пределы a _∞ = lim _{n → ∞} a _n и b _∞ = lim _{n → ∞} b _n . Дедекинд использовал свой «принцип непрерывности», чтобы доказать, что они существуют. Этот принцип (который эквивалентен свойству наименьшей верхней границы действительных чисел) исходит из конструкции вещественных чисел Дедекинда, конструкции, которую Кронекер не принял.

Кантор ограничил свою первую теорему набором действительных алгебраических чисел, хотя Дедекинд прислал ему доказательство, которое рассматривало все алгебраические числа. Кантор сделал это из объяснительных соображений и из-за «местных обстоятельств». Это ограничение упрощает статью, поскольку вторая теорема работает с действительными последовательностями. Следовательно, конструкция второй теоремы может быть применена непосредственно к перечислению действительных алгебраических чисел для создания «эффективной процедуры вычисления трансцендентных чисел». Эта процедура была бы приемлема для Вейерштрасса.

Вклад Дедекинда в статью Кантора

Ричард Дедекинд, ок. 1870 г.

С 1856 года Дедекинд разработал теории, включающие бесконечно много бесконечных множеств, например: идеалы , которые он использовал в алгебраической теории чисел , и сечения Дедекинда , которые он использовал для построения действительных чисел. Эта работа позволила ему понять и внести свой вклад в работу Кантора.

Первый вклад Дедекинда касается теоремы о счетности множества действительных алгебраических чисел. Кантору обычно приписывают эту теорему, но историк математики Хосе Феррейрос назвал ее «теоремой Дедекинда». Их переписка показывает, какой вклад в теорему внес каждый математик.

В своем письме, вводящем понятие счетности, Кантор без доказательства заявил, что множество положительных рациональных чисел счетно, как и множества вида ( a _{n ₁ , n ₂ , ..., n _ν} ), где n ₁ , n ₂ , ..., n _ν и ν - натуральные числа. Второй результат Кантора использует индексированное семейство чисел: набор формы ( a _{n ₁ , n ₂ , ..., n _ν} ) - это диапазон функции от индексов ν до набора действительных чисел. Его второй результат влечет его первый: пусть ν = 2 и a _{n ₁ , n ₂} = п ₁/п ₂. Функция может быть довольно общей - например, a _{n ₁ , n ₂ , n ₃ , n ₄ , n ₅} = (п ₁/п ₂)^{1/п ₃} + загар (п ₄/п ₅).

Дедекинд ответил доказательством теоремы о счетности множества всех алгебраических чисел. В своем ответе Дедекинду Кантор не утверждал, что доказал результат Дедекинда. Он указал, как он доказал свою теорему об индексированных семействах чисел: «Ваше доказательство того, что ( n ) [набор натуральных чисел] может быть однозначно коррелирован с полем всех алгебраических чисел, примерно такое же, как и способ Я доказываю свое утверждение в последнем письме. Я беру n ₁² + n ₂² + ··· + n _ν² = и упорядочиваю элементы соответственно ». Однако порядок Кантора слабее, чем порядок Дедекинда, и его нельзя распространить на наборы целых чисел, включающие нули. ${\ displaystyle {\ mathfrak {N}}}$ ${\ displaystyle n}$

Второй вклад Дедекинда - это доказательство второй теоремы Кантора. Дедекинд отправил это доказательство в ответ на письмо Кантора, содержащее теорему о несчетности, которую Кантор доказал с помощью бесконечного числа последовательностей. Затем Кантор написал, что он нашел более простое доказательство, в котором не использовалось бесконечное количество последовательностей. Так что у Кантора был выбор доказательств и он решил опубликовать Дедекинда.

Кантор в частном порядке поблагодарил Дедекинда за его помощь: «… ваши комментарии (которые я очень ценю) и ваша манера постановки некоторых пунктов очень помогли мне». Однако в своей статье он не упомянул о помощи Дедекинда. В предыдущих статьях он признал помощь, полученную от Кронекера, Вейерштрасса, Гейне и Германа Шварца . Неспособность Кантора упомянуть вклад Дедекинда испортила его отношения с Дедекиндом. Дедекинд перестал отвечать на свои письма и не возобновлял переписку до октября 1876 года.

Наследие статьи Кантора

В статье Кантора вводятся теорема о несчетности и понятие счетности. Оба приведут к значительному развитию математики. Теорема о несчетности показала, что взаимно однозначные соответствия можно использовать для анализа бесконечных множеств. В 1878 году Кантор использовал их для определения и сравнения мощностей. Он также построил один-на-один соответствие , чтобы доказать , что п - мерные пространства R ^п (где R представляет собой множество действительных чисел) и множество иррациональных чисел имеют ту же мощность, что и R .

В 1883 году Кантор расширил положительные целые числа своими бесконечными ординалами . Это расширение было необходимо для его работы над теоремой Кантора – Бендиксона . Кантор открыл другие способы использования ординалов - например, он использовал наборы ординалов для создания бесконечного множества множеств, имеющих различные бесконечные мощности. Его работа над бесконечными множествами вместе с теоретико-множественными работами Дедекинда создали теорию множеств.

Концепция счетности привела к счетным операциям и объектам, которые используются в различных областях математики. Например, в 1878 году Кантор ввел счетные объединения множеств. В 1890-х годах Эмиль Борель использовал счетные объединения в своей теории меры , а Рене Бэр использовал счетные ординалы для определения своих классов функций . Основываясь на работах Бореля и Бэра, Анри Лебег создал свои теории меры и интеграции , которые были опубликованы с 1899 по 1901 год.

Счетные модели используются в теории множеств. В 1922 годе Thoralf Skolem доказал , что если обычные аксиомы теории множеств являются последовательными , то они имеют счетную модель. Поскольку эта модель является счетной, ее набор действительных чисел является счетным. Это следствие называется парадоксом Сколема , и Сколем объяснил, почему оно не противоречит теореме Кантора о несчетности: хотя существует взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством положительных целых чисел, такое взаимно однозначное соответствие не является членом модели. Таким образом, модель считает свой набор действительных чисел неисчислимым, или, точнее, предложение первого порядка, в котором говорится, что набор действительных чисел неисчислим, истинно в рамках модели. В 1963 году Пол Коэн использовал счетные модели для доказательства своих теорем независимости .

Смотрите также

Теорема кантора

Примечания

Примечание к доказательству Кантора 1879 г.

использованная литература

Библиография

Архангельский, А В; Федорчук, В.В. (1990), "Основные понятия и конструкции общей топологии", Архангельский, А.В. Понтрягин, Л.С. (ред.), Общая топология I , Нью-Йорк, Берлин: Springer-Verlag, стр. 1–90, ISBN 978-0-387-18178-3.
Audin, Michèle (2011), Вспоминая Софью Ковалевскую , Лондон: Springer, ISBN 978-0-85729-928-4.
Белл, Эрик Темпл (1937), Люди математики , Нью-Йорк: Саймон и Шустер, ISBN 978-0-671-62818-5.
Биркгоф, Гарретт; Мак-Лейн, Сондерс (1941), Обзор современной алгебры , Нью-Йорк: Macmillan, ISBN 978-1-56881-068-3.
Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона (3-е изд.), Дубьюк, Айова: Уильям С. Браун, ISBN 978-0-697-16089-8.
Кантор, Георг (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes Aller reellen algebraischen Zahlen" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1874 (77): 258–262, doi : 10.1515 / crll.1874.77.258 , S2CID 199545885.
Кантор, Георг (1878), «Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre» , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 1878 (84): 242–258, doi : 10.1515 / crll.1878.84.242.
Кантор, Георг (1879), "Ueber unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten. 1." , Mathematische Annalen (на немецком языке ), 15 : 1-7, DOI : 10.1007 / bf01444101 , S2CID 179177510.
Чоудхари, KR (2015), Основы дискретных математических структур (3-е изд.), Дели, Индия: PHI Learning, ISBN 978-81-203-5074-8.
Коэн, Пол Дж. (1963), «Независимость гипотезы континуума», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 50 (6): 1143–1148, Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C , DOI : 10.1073 / pnas.50.6.1143 , КУП 221287 , PMID 16578557.
Дасгупта, Абхиджит (2014), Теория множеств: Введение в наборы реальных точек , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-1-4614-8853-8.
Даубен, Джозеф (1979), Георг Кантор: его математика и философия бесконечности , Кембридж, Массачусетс: Издательство Гарвардского университета, ISBN 978-0-674-34871-4.
Даубен, Джозеф (1993), "Георг Кантор и битва за теорию трансфинитных множеств" (PDF) , Материалы 9-й конференции ACMS.
Эдвардс, Гарольд М. (1989), «Взгляды Кронекера на основы математики» , в Rowe, David E .; Макклири, Джон (ред.), История современной математики, том 1 , Нью-Йорк: Academic Press, стр. 67–77 , ISBN 978-0-12-599662-4.
Эвальд, Уильям Б., изд. (1996), От Иммануила Канта до Дэвида Гильберта: Справочник по основам математики, Том 2 , Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850536-5.
Ferreiros, Хосе (1993), "Об отношениях между Георгом Кантором и Ричардом Дедекиндом", Historia Mathematica , 20 (4): 343-363, DOI : 10,1006 / hmat.1993.1030.
Феррейрос, Хосе (2007), Лабиринт мысли: история теории множеств и ее роль в математической мысли (2-е исправленное издание), Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-8349-7.
Френкель, Абрахам (1930), «Георг Кантор» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (на немецком языке), 39 : 189–266.
Граттан-Гиннесс, Айвор (1971), «Переписка между Георгом Кантором и Филипом Журденом» , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 73 : 111–130.
Серый, Роберт (1994), "Георг Кантор и трансцендентных чисел" (PDF) , American Mathematical Monthly , 101 (9): 819-832, DOI : 10,2307 / 2975129 , JSTOR 2975129 , MR 1300488 , Zbl 0827,01004.
Харди, Годфри; Райт, EM (1938), Введение в теорию чисел , Оксфорд: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-921985-8.
Хэвил, Джулиан (2012), Иррациональные , Принстон, Оксфорд: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-16353-6.
Хокинс, Томас (1970), Теория интеграции Лебега , Мэдисон, Висконсин: University of Wisconsin Press, ISBN 978-0-299-05550-9.
Джарвис, Фрейзер (2014), алгебраическая теория чисел , Нью-Йорк: Спрингер, ISBN 978-3-319-07544-0.
Канамори, Акихиро (2012), «Теория множеств от Кантора до Коэна» (PDF) , в Gabbay, Dov M .; Канамори, Акихиро; Вудс, Джон Х. (ред.), « Наборы и расширения в двадцатом веке» , Амстердам, Бостон: Cambridge University Press, стр. 1–71, ISBN. 978-0-444-51621-3.
Каплански, Ирвинг (1972), Теория множеств и метрические пространства , Бостон: Аллин и Бэкон, ISBN 978-0-8284-0298-9.
Келли, Джон Л. (1991), Общая топология , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-3-540-90125-9.
Левек, Уильям Дж. (1956), Темы теории чисел , I , Чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-486-42539-9. (Перепечатано Dover Publications, 2002 г.)
Нётер, Эмми ; Кавай, Жан , ред. (1937), Briefwechsel Cantor-Dedekind (на немецком языке), Париж: Герман.
Перрон, Оскар (1921), Irrationalzahlen (на немецком языке), Лейпциг, Берлин: W. de Gruyter, OCLC 4636376.
Шеппард, Барнаби (2014), Логика бесконечности , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-1-107-67866-8.
Спивак, Майкл (1967), Исчисление , Лондон: WA Бенджамин, ISBN 978-0914098911.
Стюарт, Ян (2015), Теория Галуа (4-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, ISBN 978-1-4822-4582-0.
Стюарт, Ян; Толл, Дэвид (2015), Основы математики (2-е изд.), Нью-Йорк: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-870644-1.
Weisstein, Eric W. , ed. (2003), «Непрерывная дробь», Краткая энциклопедия математики CRC , Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-347-0.

Languages

In other projects