Модель ценообразования биномиальных опционов - Binomial options pricing model

В области финансов , то биномиальные варианты ценообразования модели ( РПБ ) обеспечивают обобщение численного метод для оценки вариантов . По сути, модель использует «дискретную» ( основанную на решетке ) модель изменения цены во времени базового финансового инструмента, обращаясь к случаям, когда закрытая формула Блэка – Шоулза отсутствует.

Биномиальная модель была впервые предложена Уильямом Шарпом в издании « Инвестиции» 1978 года ( ISBN 013504605X ) и формализована Коксом , Россом и Рубинштейном в 1979 году и Рендлеманом и Барттером в том же году.

Для биномиальных деревьев применительно к производным инструментам с фиксированным доходом и процентной ставкой см. Решетчатая модель (финансы) § Производные инструменты процентной ставки .

Использование модели

Биномиальная модель ценообразования опционов широко использовалась, поскольку она способна обрабатывать множество условий, для которых другие модели не могут быть легко применены. Во многом это связано с тем, что BOPM основан на описании базового инструмента за период времени, а не на отдельной точке. Как следствие, он используется для оценки американских опционов, которые могут быть исполнены в любое время в данном интервале, а также бермудских опционов, которые могут быть исполнены в определенные моменты времени. Эта относительно простая модель легко реализуется в компьютерном программном обеспечении (включая электронную таблицу ).

Хотя в вычислительном отношении она медленнее, чем формула Блэка – Шоулза , она более точна, особенно для долгосрочных опционов на ценные бумаги с выплатой дивидендов . По этим причинам различные версии биномиальной модели широко используются практиками на рынках опционов.

Для вариантов с несколькими источниками неопределенности (например, реальные варианты ) и для вариантов со сложными характеристиками (например, азиатские варианты ) биномиальные методы менее практичны из-за ряда трудностей, и вместо них обычно используются модели вариантов Монте-Карло . При моделировании небольшого количества временных шагов моделирование Монте-Карло будет требовать больше вычислительных затрат времени, чем BOPM (ср. Методы Монте-Карло в финансах ). Однако в худшем случае время выполнения BOPM будет O (2 ⁿ ) , где n - количество временных шагов в моделировании. Моделирование методом Монте-Карло обычно будет иметь полиномиальную временную сложность и будет быстрее при большом количестве шагов моделирования. Моделирование методом Монте-Карло также менее подвержено ошибкам выборки, поскольку биномиальные методы используют дискретные единицы времени. Это становится тем более правдоподобным, чем меньше становятся дискретные единицы.

Метод

function americanPut(T, S, K, r, sigma, q, n) 
{ 
  '  T... expiration time
  '  S... stock price
  '  K... strike price
  '  q... dividend yield
  '  n... height of the binomial tree
  deltaT := T / n;
  up := exp(sigma * sqrt(deltaT));
  p0 := (up*exp(-q * deltaT) - exp(-r * deltaT)) / (up^2 - 1);
  p1 := exp(-r * deltaT) - p0;
  ' initial values at time T
  for i := 0 to n {
      p[i] := K - S * up^(2*i - n);
      if p[i] < 0 then p[i] := 0;
  }
  ' move to earlier times
  for j := n-1 down to 0 {
      for i := 0 to j {
          ' binomial value
          p[i] := p0 * p[i+1] + p1 * p[i];   
          ' exercise value
          exercise := K - S * up^(2*i - j);  
          if p[i] < exercise then p[i] := exercise;
      }
  }
  return americanPut := p[0];
}

Биномиальная модель ценообразования отслеживает эволюцию ключевых базовых переменных опциона в дискретном времени. Это делается с помощью биномиальной решетки (дерева) для ряда временных шагов между датой оценки и датой истечения срока. Каждый узел в решетке представляет возможную цену базового актива в данный момент времени.

Оценка выполняется итеративно, начиная с каждого из конечных узлов (тех, которые могут быть достигнуты во время истечения срока), а затем возвращаясь назад по дереву к первому узлу (дате оценки). Стоимость, вычисляемая на каждом этапе, является стоимостью опциона на данный момент времени.

Оценка опциона с использованием этого метода, как описано, состоит из трех этапов:

Построение дерева цен,
Расчет стоимости опциона на каждом конечном узле,
Последовательный расчет стоимости опциона на каждом предыдущем узле.

Шаг 1. Создайте дерево биномиальных цен

Дерево цен создается путем продвижения вперед от даты оценки до истечения срока ее действия.

На каждом шаге предполагается, что базовый инструмент будет двигаться вверх или вниз на определенный коэффициент ( или ) за шаг дерева (где, по определению, и ). Итак, если это текущая цена, то в следующем периоде цена будет либо, либо . ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle u \ geq 1}$ ${\ displaystyle 0 <d \ leq 1}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle S_ {вверх} = S \ cdot u}$ ${\ Displaystyle S_ {вниз} = S \ cdot d}$

Вверх и вниз факторов рассчитываются с использованием базовой волатильности , и продолжительность времени шага, , измеряется в годах ( с использованием счета день конвенции базового инструмента). Из условия, что отклонение логарифма цены равно : ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle \ sigma ^ {2} т}$

{\ Displaystyle и = е ^ {\ sigma {\ sqrt {t}}}}

{\ displaystyle d = e ^ {- \ sigma {\ sqrt {t}}} = {\ frac {1} {u}}.}

Выше представлен оригинальный метод Кокса, Росса и Рубинштейна (CRR); существуют различные другие методы для создания решетки, такие как дерево «равных вероятностей», см.

Метод CRR гарантирует, что дерево является рекомбинантным, т. Е. Если базовый актив движется вверх, а затем вниз (u, d), цена будет такой же, как если бы он двигался вниз, а затем вверх (d, u) - здесь два пути объединяются или рекомбинируются. Это свойство уменьшает количество узлов дерева и, таким образом, ускоряет вычисление цены опциона.

Это свойство также позволяет рассчитывать стоимость базового актива в каждом узле напрямую с помощью формулы и не требует предварительного построения дерева. Значение узла будет:

{\ displaystyle S_ {n} = S_ {0} \ times u ^ {N_ {u} -N_ {d}},}

Где количество тиков вверх и количество тиков вниз. ${\ displaystyle N_ {u}}$ ${\ displaystyle N_ {d}}$

Шаг 2: Найдите значение параметра на каждом последнем узле

В каждом последнем узле дерева, то есть при истечении срока действия опциона, значение опциона - это просто его внутренняя , или исполненная, стоимость:

Макс [(S n - K), 0]

, для опциона колл

Макс [(K - S n), 0]

, для оферты ,

Где $K$ - цена исполнения, а спотовая цена базового актива в $n-$ ^м периоде. ${\ displaystyle S_ {n}}$

Шаг 3. Найдите значение параметра на более ранних узлах

После завершения вышеуказанного шага значение опциона затем определяется для каждого узла, начиная с предпоследнего временного шага и возвращаясь к первому узлу дерева (дате оценки), где вычисленным результатом является значение опциона.

В общих чертах: «биномиальное значение» находится в каждом узле с использованием предположения о нейтральности риска ; см. Оценка без риска . Если упражнение разрешено в узле, то модель берет большее из значений бинома и упражнения в узле.

Шаги следующие:

Под нейтральностью риск допущения, сегодня справедливая цена из производной равна ожидаемая стоимость его будущего выигрыша дисконтированной по безрисковой ставке . Таким образом, ожидаемое значение вычисляется с использованием значений параметров из последующих двух узлов ( Option вверх и Варианты вниз ) , взвешенной по их соответствующему probabilities- «вероятность» р восходящего движения в подстилающем, и «вероятности» (1-р) из движение вниз. Затем ожидаемая стоимость дисконтируется по безрисковой ставке r , соответствующей сроку действия опциона.
Следующая формула для вычисления математического ожидания применяется к каждому узлу:

${\ displaystyle {\ text {Binomial Value}} = [p \ times {\ text {Option up}} + (1-p) \ times {\ text {Option down]}} \ times \ exp (-r \ times \ Delta t)}$ , или

${\ displaystyle C_ {t- \ Delta t, i} = e ^ {- r \ Delta t} (pC_ {t, i} + (1-p) C_ {t, i + 1}) \,}$

куда

${\ Displaystyle C_ {т, я} \,}$ - значение опции для узла в момент времени $t$ , ${\ displaystyle i ^ {th} \,}$

${\ displaystyle p = {\ frac {e ^ {(rq) \ Delta t} -d} {ud}}}$ выбрано таким образом, чтобы соответствующее биномиальное распределение имитировало геометрическое броуновское движение нижележащей акции с параметрами r и σ ,

$q$ - дивидендная доходность базового актива, соответствующая сроку действия опциона. Отсюда следует, что в нейтральном к риску мире фьючерсная цена должна иметь ожидаемый темп роста, равный нулю, и поэтому мы можем рассматривать фьючерсы. ${\ displaystyle q = r}$

Обратите внимание, что для того, чтобы $p$ находилось в интервале, должно быть выполнено следующее условие on . ${\ displaystyle (0,1)}$ ${\ displaystyle \ Delta t}$ ${\ displaystyle \ Delta t <{\ frac {\ sigma ^ {2}} {(rq) ^ {2}}}}$

(Обратите внимание, что альтернативный подход к оценке, ценообразование без арбитража , дает идентичные результаты; см. « Дельта-хеджирование ».)
Этот результат и есть «биномиальное значение». Он представляет собой справедливую цену производного инструмента в определенный момент времени (то есть в каждом узле), учитывая динамику цены базового инструмента к этому моменту. Это стоимость опциона, если он будет удерживаться, а не исполненный на тот момент.
В зависимости от стиля опциона оцените возможность досрочного исполнения на каждом узле: если (1) опцион может быть исполнен и (2) значение исполнения превышает биномиальное значение, то (3) значение в узле равно ценность упражнения.
- Для европейского варианта нет возможности раннего исполнения, и биномиальное значение применяется ко всем узлам.
- Для американского опциона , поскольку опцион может быть удержан или исполнен до истечения срока его действия, значение в каждом узле составляет: Макс (биномиальное значение, значение исполнения).
- Для бермудского опциона значение в узлах, где разрешено раннее упражнение, составляет: Макс (биномиальное значение, значение упражнения); в узлах, где раннее упражнение не разрешено, применяется только биномиальное значение.

При вычислении значения на следующем рассчитанном временном шаге - т. Е. На один шаг ближе к оценке - модель должна использовать значение, выбранное здесь, для «Вариант вверх» / «Вариант вниз», в зависимости от ситуации, в формуле в узле. Алгоритм aside демонстрирует подход к вычислению цены американского пут-опциона, хотя его легко обобщить для колл-опционов, а также для европейских и бермудских опционов:

Отношения с Блэком – Скоулзом

Подобные предположения лежат в основе как биномиальной модели, так и модели Блэка – Шоулза , и, таким образом, биномиальная модель обеспечивает приближение дискретного времени к непрерывному процессу, лежащему в основе модели Блэка – Шоулза. Биномиальная модель предполагает, что движения цены следуют биномиальному распределению ; для многих испытаний это биномиальное распределение приближается к логнормальному распределению, принятому Блэком – Шоулзом. В этом случае для европейских опционов без дивидендов значение биномиальной модели сходится со значением формулы Блэка – Шоулза по мере увеличения количества временных шагов.

Кроме того, при анализе в качестве численной процедуры, биномиальное метод ЦРП можно рассматривать как частный случай из явного метода конечных разностей для Блэка-Шоулза PDE ; см. конечно-разностные методы ценообразования опционов .

Смотрите также

Трехчленное дерево , аналогичная модель с тремя возможными путями на узел.
Дерево (структура данных)
Модель решетки (финансы) , для более общего обсуждения и применения к другим базовым элементам.
Блэка – Шоулза : биномиальные решетки способны обрабатывать множество условий, для которых нельзя применять Блэка – Шоулза.
Модель опционов Монте-Карло , используемая при оценке опционов со сложными характеристиками, которые затрудняют их оценку другими методами.
Анализ реальных опционов , где широко используется БОПМ.
Квантовые финансы , квантово-биномиальная модель ценообразования.
Математические финансы , в котором есть список статей по теме.
Опцион на акции сотрудников § Оценка , где широко используется BOPM.
Подразумеваемое биномиальное дерево
Биномиальное дерево Эджворта

использованная литература

внешние ссылки

Биномиальная модель для вариантов ценообразования , профессор Тайер Уоткинс
Биномиальное ценообразование опционов ( PDF ), профессор Роберт М. Конрой
Биномиальная модель ценообразования опционов Фионы Маклахлан, The Wolfram Demonstrations Project
О несоответствии ожидаемой доходности акций при ценообразовании опционов в биномиальной модели: педагогическая заметка Валерия Закамулина
Простой вывод вероятности, нейтральной к риску, в биномиальной модели ценообразования опционов Грега Ороси

Languages

In other projects