Ожидание (квантовая механика) - Expectation value (quantum mechanics)
В квантовой механике , то ожидаемое значение является вероятностным ожидаемым значением результата (измерения) эксперимента. Его можно рассматривать как среднее значение всех возможных результатов измерения, взвешенных по их вероятности, и как таковое не является наиболее вероятным значением измерения; действительно, ожидаемое значение может иметь нулевую вероятность возникновения (например, измерения, которые могут давать только целые значения, могут иметь нецелочисленное среднее). Это фундаментальная концепция во всех областях квантовой физики .
Рабочее определение
Рассмотрим оператора . Среднее значение затем в дираковских обозначениях с более нормированным вектором состояния.
Формализм в квантовой механике
В квантовой теории экспериментальная установка описывается измеряемой наблюдаемой и состоянием системы. Ожидаемое значение в состоянии обозначается как .
Математически это самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве . Чаще всего в квантовой механике используется чистое состояние , описываемое нормализованным вектором в гильбертовом пространстве. Ожидаемое значение в состоянии определяется как
-
( 1 )
Если рассматривать динамику , либо вектор, либо оператор считаются зависящими от времени, в зависимости от того, используется ли изображение Шредингера или изображение Гейзенберга . Однако эволюция математического ожидания не зависит от этого выбора.
Если имеет полный набор собственных векторов с собственными значениями , то ( 1 ) может быть выражено как
-
( 2 )
Это выражение похоже на среднее арифметическое и иллюстрирует физический смысл математического формализма: собственные значения - это возможные результаты эксперимента, а их соответствующий коэффициент - вероятность того, что этот результат произойдет; ее часто называют вероятностью перехода .
Особенно простой случай возникает, когда - проекция и, следовательно, имеет только собственные значения 0 и 1. Это физически соответствует эксперименту типа «да-нет». В этом случае математическое ожидание - это вероятность того, что эксперимент приведет к «1», и его можно вычислить как
-
( 3 )
В квантовой теории оператор также может иметь недискретный спектр, например оператор положения в квантовой механике. Этот оператор имеет полностью непрерывный спектр , с собственными значениями и собственными векторами в зависимости от непрерывного параметра, . В частности, оператор действует на пространственный вектор как . В этом случае вектор можно записать как комплексную функцию на спектре (обычно действительной прямой). Формально это достигается путем проецирования вектора состояния на собственные значения оператора, как в дискретном случае . Бывает, что собственные векторы оператора положения образуют полный базис векторного пространства состояний и, следовательно, подчиняются замыкающему соотношению :
Вышеупомянутое можно использовать для получения общего интегрального выражения для ожидаемого значения ( 4 ), вставив тождества в векторное выражение ожидаемого значения, а затем расширив базис позиции:
Если отношение ортонормированности базисных векторов положения сводит двойной интеграл к единственному интегралу. Последняя линия использует модуль комплексной значной функции для замены с , который является общим замещение в квантово-механических интегралов.
Тогда математическое ожидание может быть указано, где x не ограничено, как формула
-
( 4 )
Аналогичная формула верна для оператора импульса в системах с непрерывным спектром.
Все приведенные выше формулы действительны только для чистых состояний . Заметное в термодинамике и квантовой оптике , а также смешанные состояния имеют важное значение; они описываются положительным оператором класса следа , статистическим оператором или матрицей плотности . Тогда математическое ожидание может быть получено как
-
( 5 )
Общая формулировка
В общем, квантовые состояния описываются положительными нормализованными линейными функционалами на множестве наблюдаемых, которые математически часто считаются C * -алгеброй . Тогда математическое ожидание наблюдаемого выражается следующим образом:
-
( 6 )
Если алгебра наблюдаемых действует неприводимо в гильбертовом пространстве и является нормальным функционалом , то есть непрерывна в сверхслабой топологии , то ее можно записать как
с положительным оператором следового класса следа 1. Это дает формулу ( 5 ) выше. В случае чистого состояния , является проекцией на единичный вектор . Тогда , что дает формулу ( 1 ) выше.
считается самосопряженным оператором. В общем случае его спектр не будет ни полностью дискретным, ни полностью непрерывным. Тем не менее, можно написать в спектральном разложении ,
В нерелятивистских теориях конечного числа частиц (квантовой механике в строгом смысле слова) рассматриваемые состояния обычно являются нормальными. Однако в других областях квантовой теории также используются ненормальные состояния: они появляются, например. в виде состояний KMS в квантовой статистической механике бесконечно протяженных сред и в виде заряженных состояний в квантовой теории поля . В этих случаях математическое ожидание определяется только по более общей формуле ( 6 ).
Пример в конфигурационном пространстве
В качестве примера рассмотрим квантово-механическую частицу в одном пространственном измерении в представлении конфигурационного пространства . Здесь гильбертово пространство - это пространство функций, суммируемых с квадратом на вещественной прямой. Векторы представлены функциями , называемыми волновыми функциями . Скалярное произведение равно . Волновые функции имеют прямую интерпретацию как распределение вероятностей:
В качестве наблюдаемого рассмотрим оператор положения , который действует на волновые функции посредством
Ожидаемое значение или среднее значение измерений, выполненных на очень большом количестве идентичных независимых систем, будет выражаться следующим образом:
Среднее значение существует только в том случае, если интеграл сходится, что не является случаем для всех векторов . Это связано с тем, что оператор позиции не ограничен и должен выбираться из области его определения .
В общем, ожидание любого наблюдаемого можно вычислить, заменив его соответствующим оператором. Например, для вычисления среднего импульса, один использует оператор импульса в конфигурационном пространстве , . Явно его математическое ожидание равно
Не все операторы в целом предоставляют измеримые значения. Оператор, имеющий чисто реальное математическое ожидание, называется наблюдаемой, и его значение можно напрямую измерить в эксперименте.
Смотрите также
Примечания
использованная литература
дальнейшее чтение
Значение математического ожидания, в частности, представленное в разделе « Формализм в квантовой механике », рассматривается в большинстве элементарных учебников по квантовой механике.
Для обсуждения концептуальных аспектов см .:
- Ишем, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press. ISBN 978-1-86094-001-9.