Азиатский вариант - Asian option

Азиатский вариант (или среднее значение опция) представляет собой особый тип опционного контракта . Для азиатских опционов выплата определяется средней базовой ценой за некоторый заранее установленный период времени. Это отличается от случая с обычным европейским опционом и американским опционом , где выплата по опционному контракту зависит от цены базового инструмента при исполнении; Таким образом, азиатские опционы являются одной из основных форм экзотических опционов . Есть два типа азиатских опционов: фиксированный страйк, где вместо базовой цены используется усредненная цена; и фиксированная цена, где вместо страйка используется усредненная цена.

Одним из преимуществ азиатских опционов является то, что они снижают риск рыночных манипуляций с базовым инструментом при наступлении срока погашения. Еще одно преимущество азиатских опционов заключается в относительной стоимости азиатских опционов по сравнению с европейскими или американскими опционами. Благодаря функции усреднения азиатские опционы снижают присущую опциону волатильность; поэтому азиатские варианты обычно дешевле европейских или американских. Это может быть преимуществом для корпораций, подпадающих под действие пересмотренного Положения № 123 Совета по стандартам финансового учета , которое требует, чтобы корпорации оплачивали опционы на акции для сотрудников.

Этимология

В 1980-х Марк Стэндиш работал в лондонском Bankers Trust, занимаясь производными инструментами с фиксированным доходом и частной арбитражной торговлей. Дэвид Спотон работал системным аналитиком на финансовых рынках в Bankers Trust с 1984 года, когда Банк Англии впервые выдал банкам лицензии на продажу валютных опционов на лондонском рынке. В 1987 году Стэндиш и Спотон находились в Токио по делам, когда «они разработали первую коммерчески используемую формулу ценообразования для опционов, привязанных к средней цене на сырую нефть». Они назвали этот экзотический вариант азиатским вариантом, потому что находились в Азии.

Перестановки азиатского варианта

Существует множество разновидностей азиатского варианта; самые основные перечислены ниже:

• Фиксированный удар (также известный как средняя скорость) Азиатский вызов выплата

${\ Displaystyle С (Т) = {\ текст {макс}} \ влево (А (0, Т) -К, 0 \ вправо),}$

где A обозначает среднюю цену за период [0, T], а K - цена исполнения. Эквивалентный опцион пут определяется как

${\ Displaystyle P (T) = {\ text {max}} \ left (KA (0, T), 0 \ right).}$

• Плавающая удар (или плавающая ставка) вариант Азиатского вызова имеет выигрыш

${\ displaystyle C (T) = {\ text {max}} \ left (S (T) -kA (0, T), 0 \ right),}$

где S (T) - цена на момент погашения, а k - весовой коэффициент, обычно 1, поэтому в описаниях часто опускается. Эквивалентная выплата по опциону пут определяется выражением

${\ Displaystyle P (T) = {\ text {max}} \ left (kA (0, T) -S (T), 0 \ right).}$

Типы усреднения

Среднее значение можно получить разными способами. Обычно это означает среднее арифметическое . В непрерывном случае это получается следующим образом: ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A (0, T) = {\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} S (t) dt.}$

Для случая дискретного мониторинга (с мониторингом в моменты времени и ) у нас есть среднее значение, равное ${\ displaystyle 0 = t_ {0}, t_ {1}, t_ {2}, \ dots, t_ {n} = T}$${\ Displaystyle т_ {я} = я \ cdot {\ гидроразрыва {Т} {п}}}$

${\ displaystyle A (0, T) = {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} S (t_ {i}).}$

Также существуют азиатские варианты со средним геометрическим ; в непрерывном случае это дается выражением

${\ Displaystyle A (0, T) = \ exp \ left ({\ frac {1} {T}} \ int _ {0} ^ {T} \ ln (S (t)) dt \ right).}$

Стоимость азиатских опционов

Обсуждение проблемы ценообразования азиатских опционов с помощью методов Монте-Карло дается в статье Кемна и Ворст.

В подходе к ценообразованию опционов, основанному на интеграле по путям, проблема среднего геометрического может быть решена с помощью эффективного классического потенциала Фейнмана и Кляйнерта .

Роджерс и Ши решают проблему ценообразования с помощью подхода PDE.

Модель дисперсионной гаммы может быть эффективно реализована при ценообразовании на опционы в азиатском стиле. Затем использование представления ряда Бондессона для генерации процесса гамма-дисперсии может повысить вычислительную производительность азиатского ценообразователя опционов.

В рамках моделей Леви проблема ценообразования для геометрических азиатских опционов все еще может быть решена. Что касается арифметического азиатского варианта в моделях Леви, можно полагаться на численные методы или аналитические оценки.

Европейские азиатские опционы колл и пут с геометрическим усреднением

Мы можем получить решение в замкнутой форме для геометрического азиатского варианта; при использовании вместе с управляющими переменными в моделировании Монте-Карло формула полезна для получения справедливой стоимости для арифметического азиатского варианта.

Определите среднее геометрическое в непрерывном времени как:${\ displaystyle G_ {T}}$

где основа следует стандартному геометрическому броуновскому движению . Отсюда легко вычислить, что:${\ Displaystyle S (т)}$

$${\ displaystyle G_ {T} = S_ {0} e ^ {{1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T} e ^ { {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t}}}$$

Чтобы вывести стохастический интеграл, который был изначально , обратите внимание, что:${\ textstyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} W_ {t} dt}$

$${\ displaystyle d [(Tt) W_ {t}] = (Tt) dW_ {t} -W_ {t} dt}$$

Это может быть подтверждено леммой Ито . Интегрируя это выражение и используя тот факт , мы находим, что интегралы эквивалентны - это будет полезно позже при выводе. При использовании мартингейл-ценообразования стоимость европейско-азиатского колл с геометрическим усреднением определяется по формуле :${\ displaystyle W_ {0} = 0}$${\ displaystyle C_ {G}}$

$${\ displaystyle C_ {G} = e ^ {- rT} \ mathbb {E} \ left [(G_ {T} -K) _ {+} \ right] = {e ^ {- rT} \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {\ ell} ^ {\ infty} \ left (G_ {T} -K \ right) e ^ {- x ^ {2} / 2} dx}$$

Чтобы найти , мы должны найти такие, что:${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle x}$

$${\ displaystyle G_ {T} \ geq K \ подразумевает S_ {0} e ^ {{1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T } e ^ {{\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t}} \ geq K}$$

После некоторой алгебры мы обнаруживаем, что:

$${\ displaystyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} \ geq \ log {K \ over {S_ {0}}} - {1 \ over { 2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right) T}$$

На данный момент стохастический интеграл является камнем преткновения для поиска решения этой проблемы. Однако легко проверить, что интеграл нормально распределяется как:

$${\ displaystyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} \ sim {\ mathcal {N}} \ left (0, \ sigma ^ {2} { T \ over {3}} \ right)}$$

Это равносильно тому, чтобы сказать, что с . Следовательно, мы имеем следующее:${\ textstyle {\ sigma \ over {T}} \ int _ {0} ^ {T} (Tt) dW_ {t} = \ sigma {\ sqrt {T \ over {3}}} x}$${\ textstyle x \ sim {\ mathcal {N}} (0,1)}$

$${\ displaystyle x \ geq {\ log {K \ over {S_ {0}}} - {1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma ^ {2} \ right ) T \ over {\ sigma {\ sqrt {T / 3}}}} \ Equiv \ ell}$$

Теперь можно рассчитать стоимость европейского азиатского колла с геометрическим усреднением! На этом этапе полезно определить:

$${\ displaystyle b = {1 \ over {2}} \ left (r- {1 \ over {2}} \ sigma _ {G} ^ {2} \ right), \; \ sigma _ {G} = { \ sigma \ over {\ sqrt {3}}}, \; d_ {1} = {\ log {S_ {0} \ over {K}} + \ left (b + {1 \ over {2}} \ sigma _ {G} ^ {2} \ right) T \ over {\ sigma _ {G} {\ sqrt {T}}}}, \; d_ {2} = d_ {1} - \ sigma _ {G} {\ sqrt {T}}}$$

Пройдя тот же процесс, что и в модели Блэка-Шоулза , мы можем обнаружить, что:

$${\ displaystyle C_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} \ Phi (d_ {1}) - Ke ^ {- rT} \ Phi (d_ {2})}$$

Фактически, пройдя те же аргументы в пользу европейского азиатского пут с геометрическим усреднением , мы обнаружим, что:${\ textstyle P_ {G}}$

$${\ Displaystyle P_ {G} = Ke ^ {- rT} \ Phi (-d_ {2}) - S_ {0} e ^ {(br) T} \ Phi (-d_ {1})}$$

Это означает, что существует вариант паритета пут-колл для европейско-азиатских опционов с геометрическим усреднением:

$${\ displaystyle C_ {G} -P_ {G} = S_ {0} e ^ {(br) T} -Ke ^ {- rT}}$$

Варианты азиатского варианта

Есть несколько вариантов, которые продаются на внебиржевом рынке. Например, BNP Paribas представил вариант, называемый условным азиатским опционом, где средняя базовая цена основана на наблюдениях за ценами, превышающими заранее установленный порог. Условная азиатская пут-опцион имеет выплату

${\ displaystyle \ max \ left (К - {\ гидроразрыва {\ int _ {0} ^ {T} S (t) I _ {\ {S (t)> b \}} dt} {\ int _ {0}) ^ {T} I _ {\ {S (t)> b \}} dt}}, 0 \ right),}$

где - порог, а - индикаторная функция, которая равна, если истинна, и равна нулю в противном случае. Такой опцион предлагает более дешевую альтернативу, чем классический азиатский опцион пут, поскольку ограничение диапазона наблюдений снижает волатильность средней цены. Обычно он продается за деньги и служит до пяти лет. Ценообразование условного азиатского опциона обсуждают Фен и Фолькмер. ${\ displaystyle b> 0}$${\ displaystyle I_ {A}}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle A}$

использованная литература

1. ^ Кемна & Ворст 1990 , стр. 1077
2. ^ FASB (2004). Выплата на основе акций (Отчет). Совет по стандартам финансового учета.
3. ^ Уильям Фаллун; Дэвид Тернер, ред. (1999). «Эволюция рынка». Управление ценовым риском на энергию . Лондон: Книги о рисках.
4. ^ Уилмотт, Пол (2006). «25» . Пол Уилмотт о количественных финансах . Джон Вили и сыновья. п. 427. ISBN. 9780470060773.
5. ↑ Палмер, Брайан (14 июля 2010 г.), Почему мы называем финансовые инструменты «экзотическими»? Потому что некоторые из них из Японии. , Шифер
6. ^ Глин А. Холтон (2013). «Азиатский вариант (средний вариант)» . Энциклопедия рисков. Архивировано из оригинала на 2013-12-06 . Проверено 10 августа 2013 . Азиатский опцион (также называемый средним опционом) - это опцион, выплата которого связана со средней стоимостью базового актива в определенный набор дат в течение срока действия опциона. "" [В ситуациях, когда базовый опцион торгуется вяло или существует возможность манипулирования его ценой, азиатский вариант предлагает некоторую защиту. Управлять средней стоимостью базового актива в течение длительного периода времени труднее, чем управлять им только по истечении срока действия опциона.
7. ^ Кемна, АГЗ; Vorst, ACF (1990), Метод ценообразования для опционов на основе средней стоимости активов
8. ^ Кляйнерт , Х. (2009), Интегралы по траекториям в квантовой механике, статистике, физике полимеров и финансовых рынках , заархивировано из оригинала 24 апреля 2009 г. , извлечено 10 января 2010 г.
9. ^ Фейнман Р.П. , Кляйнерт Х. (1986), «Эффективные классические статистические суммы» (PDF) , Physical Review A , 34 (6): 5080–5084, Bibcode : 1986PhRvA..34.5080F , doi : 10.1103 / PhysRevA.34.5080 , PMID  9897894
10. ^ Devreese JPA; Lemmens D .; Tempere J. (2010), «Интегральный подход к азиатским вариантам в модели Блэка-Шоулза», Physica A , 389 (4): 780–788, arXiv : 0906.4456 , Bibcode : 2010PhyA..389..780D , doi : 10.1016 /j.physa.2009.10.020 , S2CID 122748812  
11. ^ Роджерс, LCG; Ши, Z. (1995), "Значение опции азиатской" (PDF) , Журнал прикладной вероятности , 32 (4): 1077-1088, DOI : 10,2307 / 3215221 , JSTOR  3215221 , архивируются от оригинала (PDF) на 2009-03-20 , проверено 2008-11-28
12. ^ Маттиас Сандер. Представление Бондессоном вариационной гамма-модели и ценообразования опционов Монте-Карло. Люндс Текниска Хёгскола 2008
13. ^ ^{a b} Фусаи, Джанлука .; Меуччи, Аттилио (2008), «Ценообразование с дискретным мониторингом азиатских опционов в рамках процессов Леви» (PDF) , J. Bank. Финансы , 32 (10): 2076-2088, DOI : 10.1016 / j.jbankfin.2007.12.027
14. ^ Лемменс, Дамиан; Лян, Лин Чжи; Темпере, Жак; Де Схеппер, Энн (2010), «Ценовые границы для дискретных арифметических азиатских опций в рамках моделей Леви», Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193–5207, Bibcode : 2010PhyA..389.5193L , doi : 10.1016 /j.physa.2010.07.026
15. ^ Feng, R .; Volkmer, HW (2015), «Условные азиатские опционы», Международный журнал теоретических и прикладных финансов , 18 (6): 1550040, arXiv : 1505.06946 , doi : 10.1142 / S0219024915500405 , S2CID  3245552