Паритет пут – колл - Put–call parity

В финансовой математике , соотношение оскорбительного вызова определяет связь между ценой на европейский опционе вызова и европейский опцион путы , как с одинаковой ценой исполнения и истечением срока действия , а именно , что портфель варианта длинного вызова и короткий опцион пут эквивалентны (и, следовательно, имеет такую ​​же стоимость) одиночный форвардный контракт с этой страйк-ценой и истечением срока. Это связано с тем, что если цена на момент истечения срока действия выше цены исполнения, колл будет исполнен, а если она ниже, будет исполнен пут, и, таким образом, в любом случае одна единица актива будет куплена по цене исполнения. точно так же, как в форвардном контракте.

Справедливость этого отношения требует выполнения определенных предположений; они указаны, и соотношение выводится ниже. На практике транзакционные издержки и затраты на финансирование (леверидж) означают, что эта взаимосвязь не будет точно сохраняться, но на ликвидных рынках взаимосвязь близка к точной.

Предположения

Четность пут-колл - это статическая репликация , поэтому требуется минимум предположений, а именно наличие форвардного контракта . В отсутствие торгуемых форвардных контрактов форвардный контракт может быть заменен (фактически сам воспроизводится) возможностью купить базовый актив и профинансировать его за счет заимствования на фиксированный срок (например, займа облигаций) или, наоборот, заимствования и продажи ( short) базовый актив и ссужайте полученные деньги на срок, в обоих случаях получая портфель самофинансирования .

Эти допущения не требуют каких-либо транзакций между начальной датой и истечением срока действия, и поэтому они значительно слабее, чем в модели Блэка – Шоулза , которая требует динамической репликации и непрерывных транзакций в базисе.

Репликация предполагает, что можно заключать сделки с производными финансовыми инструментами, что требует использования заемных средств (и капитальных затрат для его поддержки), а покупка и продажа влечет за собой транзакционные издержки , в частности спред между ценой покупки и продажи . Таким образом, отношения сохраняются только на идеальном рынке без трений с неограниченной ликвидностью. Тем не менее, реальные мировые рынки могут быть достаточно ликвидными, чтобы отношения были близки к точным, что наиболее важно для валютных рынков основных валют или основных фондовых индексов, в отсутствие рыночной турбулентности.

Заявление

Четность пут-колл можно выразить несколькими эквивалентными способами, наиболее кратко:

${\ Displaystyle CP = D (FK)}$

где - (текущая) стоимость колла, - (текущая) стоимость пут, - фактор дисконтирования , - форвардная цена актива, - это цена исполнения. Обратите внимание, что спотовая цена определяется как (спотовая цена - это текущая стоимость, форвардная цена - это будущая стоимость, коэффициент дисконтирования связывает их). Левая сторона соответствует портфелю, состоящему из длинной позиции колл и короткой позиции пут, а правая сторона соответствует форвардному контракту. Активы и слева представлены в текущей стоимости, а активы и представлены в будущих значениях (форвардная цена актива и цена исполнения, уплаченная по истечении срока действия), которые коэффициент дисконтирования преобразует в приведенную стоимость. ${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle D}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle D \ cdot F = S}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle D}$

Использование спотовой цены вместо форвардной цены : ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle F}$

${\ Displaystyle CP = SD \ cdot K}$

Перестановка терминов дает другое толкование:

${\ Displaystyle C + D \ cdot K = P + S}$

В этом случае левая сторона - это фидуциарный колл , который представляет собой длинный колл и достаточно денежных средств (или облигаций) для оплаты страйк-цены, если колл исполнен, в то время как правая сторона - это защитный пут , который является длинным. пут и актив, поэтому актив может быть продан по цене исполнения, если цена спот ниже страйка на момент истечения срока действия. Обе стороны имеют максимальную выплату ( S ( T ), K ) по истечении срока действия (то есть, по крайней мере, цену исполнения или стоимость актива, если она больше), что дает другой способ доказательства или интерпретации паритета пут-колл.

Более подробно это исходное уравнение можно сформулировать так:

${\ Displaystyle C (t) -P (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T)}$

где

${\ displaystyle C (t)}$ стоимость звонка во время , ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle P (t)}$ - стоимость пут с той же датой истечения срока,

${\ Displaystyle S (т)}$ это место цены базового актива,

${\ displaystyle K}$ цена исполнения, и

${\ Displaystyle В (т, Т)}$ представляет собой приведенную стоимость бескупонной облигации со сроком погашения до 1 доллара США. Это коэффициент приведенной стоимости для K. ${\ displaystyle T.}$

Обратите внимание , что правая часть уравнения является также ценой покупки форвардного контракта на акции с ценой доставки K . Таким образом, один из способов прочтения уравнения состоит в том, что портфель, состоящий из длинной позиции колл и короткой позиции пут, равносилен длинной позиции форварда. В частности, если базовый актив не торгуется, но на нем есть форварды, мы можем заменить правое выражение ценой форварда.

Если облигации процентной ставки , , считается постоянным , то ${\ displaystyle r}$

${\ Displaystyle В (т, Т) = е ^ {- г (Тт)}}$

Примечание: относится к силе процента , которая приблизительно равна эффективной годовой ставке для небольших процентных ставок. Однако следует позаботиться о приближении, особенно с большими ставками и большими периодами времени. Чтобы найти точное значение, используйте , где - эффективная годовая процентная ставка. ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle г = \ пер (1 + я)}$${\ displaystyle i}$

При оценке европейских опционов на акции с известными дивидендами, которые будут выплачены в течение срока действия опциона, формула принимает следующий вид:

${\ Displaystyle C (t) -P (t) + D (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T)}$

где D (t) представляет собой общую стоимость дивидендов от одной акции, которая должна быть выплачена в течение оставшегося срока действия опционов, дисконтированная до приведенной стоимости . Мы можем переписать уравнение как:

${\ Displaystyle C (t) -P (t) = S (t) -K \ cdot B (t, T) \ -D (t)}$

и обратите внимание, что правая часть - это цена форвардного контракта на акции с ценой поставки K , как и раньше.

Вывод

Мы предположим, что опционы пут и колл относятся к торгуемым акциям, но базовым может быть любой другой торгуемый актив. Возможность покупать и продавать базовый актив имеет решающее значение для приведенного ниже аргумента «без арбитража».

Во-первых, обратите внимание, что в предположении отсутствия арбитражных возможностей (цены без арбитража ) два портфеля, которые всегда имеют одинаковую выплату в момент T, должны иметь одинаковую стоимость в любой предыдущий момент. Чтобы доказать это, предположим, что в некоторый момент времени t до T один портфель был дешевле другого. Затем можно было бы купить (открыть длинную позицию) более дешевый портфель и продать (открыть короткую позицию) более дорогой. В момент времени T наш общий портфель при любом значении цены акции будет иметь нулевую стоимость (все активы и обязательства погашены). Таким образом, прибыль, которую мы получили в момент t, является безрисковой прибылью, но это нарушает наше предположение об отсутствии арбитража.

Мы выведем отношение паритета пут-колл, создав два портфеля с одинаковыми выплатами ( статическая репликация ) и применив вышеупомянутый принцип ( рациональное ценообразование ).

Рассмотрим опцион колл и опцион пут с одинаковым страйком K для истечения в одну и ту же дату T на акции S , по которым не выплачиваются дивиденды. Мы предполагаем существование связи , который платит 1 доллар в момент погашения T . Цена облигации может быть случайной (как акции), но должна равняться 1 при наступлении срока погашения.

Пусть цена S равна S (t) в момент времени t. Теперь собрать портфель, купив опцион колл C и продажи опциона пут P той же зрелости T и ударьте K . Выигрыш для этого портфеля S (Т) - К . Теперь соберите второй портфель, купив одну акцию и взяв в долг K облигаций. Обратите внимание на выигрыш последнего портфеля также S (T) - K в момент времени Т , так как наша доля купила для S (T) будет стоить S (T) и заимствованных облигации будет стоить K .

По нашему предварительному наблюдению, согласно которому одинаковые выплаты подразумевают, что оба портфеля должны иметь одинаковую цену в общее время , существует следующая взаимосвязь между стоимостью различных инструментов: ${\ displaystyle t}$

${\ Displaystyle С (т) -Р (т) = S (т) -К \ CDOT В (т, Т) \,}$

Таким образом, при отсутствии возможностей арбитража вышеупомянутое соотношение, известное как паритет пут-колл , сохраняется, и для любых трех цен колл, пут, облигация и акции можно вычислить подразумеваемую цену четвертого.

В случае дивидендов модифицированная формула может быть получена аналогично приведенному выше, но с модификацией, согласно которой один портфель состоит из длинной позиции колл, короткой позиции пут и облигаций D (T) , каждая из которых выплачивает 1 доллар в конце срока погашения. T (облигации будут стоить D (t) в момент t ); другой портфель такой же , как и раньше - давно одна акция, короткие K облигации , что каждая плата 1 доллар при T . Разница в том, что в момент T акция не только стоит S (T), но и выплачивает D (T) в виде дивидендов.

История

Формы пут-колла появились на практике еще в средневековье и были официально описаны рядом авторов в начале 20 века.

Майкл Нолл в книге «Древние корни современных финансовых инноваций: ранняя история регулирующего арбитража» описывает важную роль, которую паритет пут-колла сыграл в формировании справедливости погашения , определяющей характеристики современной ипотеки, в средневековой Англии.

В 19 веке финансист Рассел Сейдж использовал паритет пут-колл для создания синтетических займов с более высокими процентными ставками, чем обычно допускали законы о ростовщичестве того времени.

Нельсон, трейдер опционного арбитража из Нью-Йорка, опубликовал в 1904 году книгу «Азбука опционов и арбитража», в которой подробно описывается паритет пут-колл. Его книга была заново открыта Эспеном Гаардером Хаугом в начале 2000-х, и многие ссылки из книги Нельсона даны в книге Хауга «Производные модели на моделях».

Генри Дойч описывает паритет пут-колл в 1910 году в своей книге «Арбитраж в слитках, монетах, векселях, акциях, акциях и опционах, 2-е издание». Лондон: Энгем Уилсон, но менее подробно, чем Нельсон (1904).

Профессор математики Винзенц Бронзин также вывел паритет пут-колл в 1908 году и использовал его как часть своего аргумента в пользу арбитража для разработки серии математических моделей опционов с рядом различных распределений. Работы профессора Бронзина совсем недавно были заново открыты профессором Вольфгангом Хафнером и профессором Хайнцем Циммерманном. Оригинальная работа Бронзина - это книга, написанная на немецком языке, а теперь переведенная и опубликованная на английском языке в виде отредактированной работы Хафнера и Циммерманна («Модели ценообразования опционов Винзенца Бронзина», Springer Verlag ).

Его первое описание в современной академической литературе было сделано Гансом Р. Штоллем в Journal of Finance .

Подразумеваемое

Четность пут – колл подразумевает:

• Эквивалентность колл и пут : паритет подразумевает, что колл и пут могут использоваться взаимозаменяемо в любом дельта-нейтральном портфеле. Если - дельта колла, то покупка колла и продажа акций аналогичны продаже пут и продаже акций. Эквивалентность коллов и путов очень важна при торговле опционами. ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$${\ displaystyle 1-d}$
• Паритет подразумеваемой волатильности : при отсутствии дивидендов или других затрат на перенос (например, когда акцию сложно заимствовать или продать без покрытия) подразумеваемая волатильность колл и пут должна быть идентична.

Смотрите также

• Паритет спот-будущее
• Винзенц Бронзин

использованная литература

внешние ссылки

• Паритет пут-колл
  • Паритет пут-колл , учебник Салмана Кхана (преподаватель)
  • Паритет пут-колл европейских опционов , putcallparity.net
  • Паритет пут-колл и возможность арбитража , investopedia.com
  • Древние корни современных финансовых инноваций: ранняя история регулирующего арбитража , история паритета пут-колл Майкла Нолла
• Другие арбитражные отношения
  • Арбитражные отношения для опционов , профессор Тайер Уоткинс
  • Рациональные правила и граничные условия для ценообразования опционов ( PDFDi ), профессор Дон М. Чанс
  • Безарбитражные границы для опционов , профессор Роберт Новый-Маркс
• Инструменты
  • Опционные арбитражные отношения , профессор Кэмпбелл Р. Харви