Сила двух - Power of two
Степень двойки - это число в форме 2 n, где n - целое число , то есть результат возведения в степень с числом два в качестве основания и целым числом n в качестве показателя степени .
В контексте, где рассматриваются только целые числа, n ограничивается неотрицательными значениями, поэтому мы умножаем 1, 2 и 2 на себя определенное количество раз.
Поскольку два является основанием двоичной системы счисления , степени двойки широко используются в информатике . В двоичном формате степень двойки всегда имеет вид 100 ... 000 или 0,00 ... 001, как и степень десяти в десятичной системе.
Компьютерная наука
Два в степени n , записываемые как 2 n , - это количество способов, которыми могут быть расположены биты в двоичном слове длины n . Слово, интерпретируемое как целое число без знака , может представлять значения от 0 ( 000 ... 000 2 ) до 2 n - 1 ( 111 ... 111 2 ) включительно. Соответствующие подписанные целые значения могут быть положительными, отрицательными и ноль; см. представление числа со знаком . В любом случае, на единицу меньше степени двойки часто бывает верхней границей целого числа в двоичных компьютерах. Как следствие, числа в этой форме часто появляются в компьютерных программах. Например, видеоигра, запущенная в 8-битной системе, может ограничить счет или количество предметов, которые игрок может держать, до 255 - результат использования байта длиной 8 бит для хранения числа, что дает максимальное значение 2 8 - 1 = 255 . Например, в оригинальной Legend of Zelda главный герой ограничивался ношением 255 рупий (валюта игры) в любой момент времени, а в видеоигре Pac-Man, как известно, есть экран убийства на уровне 256.
Степень двойки часто используется для измерения памяти компьютера. Байты в настоящее время считается восемь бит (ым октетом , что приводит к возможностям 256 значений (2 8 ). (Термин байтового один раз имел в виде (а в некоторых случаях, по- прежнему означает) а сбор бит , как правило , от 5 до 32 бит, а не только 8-битная единица.) Префикс килограмм в сочетании с байтом может быть и традиционно использовался для обозначения 1024 (2 10 ). Однако в целом термин килограмм использовался в Международная система единиц означает 1000 (10 3 ). Двоичные префиксы были стандартизированы, например, киби (Ki) означает 1024. Почти все регистры процессоров имеют размеры, которые являются степенями двойки, 32 или 64 являются очень распространенными.
Степень двойки также встречается в ряде других мест. Для многих дисков по крайней мере один из размера сектора, количества секторов на дорожку и количества дорожек на поверхность равен степени двойки. Размер логического блока почти всегда равен степени двойки.
Числа, не являющиеся степенями двойки, встречаются в ряде ситуаций, например, при разрешении видео, но они часто являются суммой или произведением двух или трех степеней двойки или степеней двойки минус один. Например, 640 = 32 × 20 и 480 = 32 × 15 . Другими словами, они имеют довольно регулярные битовые комбинации.
Простые числа Мерсенна и Ферма
Простое число , то есть один меньше , чем степень два, называется главным Мерсенны . Например, простое число 31 является простым числом Мерсенна, потому что оно на 1 меньше 32 (2 5 ). Точно так же простое число (например, 257 ), которое на единицу больше, чем положительная степень двойки, называется простым числом Ферма - показатель степени равен степени двойки. Фракция , которая имеет силу два , как его знаменатель называется двоично - рациональной . Числа, которые могут быть представлены как суммы последовательных положительных целых чисел, называются вежливыми числами ; это именно те числа, которые не являются степенями двойки.
Евклида элементы , Книга IX
Геометрическая прогрессия 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... (или, в двоичной системе счисления , 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, ...) важна в теории чисел . Книга IX, Предложение 36 Элементов доказывает, что если сумма первых n членов этой прогрессии является простым числом (и, следовательно, является простым числом Мерсенна, как упомянуто выше), то эта сумма, умноженная на n- й член, является совершенным числом . Например, сумма первых 5 членов ряда 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, что является простым числом. Сумма 31, умноженная на 16 (5-й член в ряду), дает 496, что является идеальным числом.
Книга IX, Предложение 35, доказывает, что в геометрическом ряду, если первый член вычитается из второго и последнего члена в последовательности, тогда как избыток второго относится к первому, так и избыток последнего относится ко всем этим перед этим. (Это повторение нашей формулы для геометрического ряда сверху.) Применяя это к геометрической прогрессии 31, 62, 124, 248, 496 (которая получается из 1, 2, 4, 8, 16 путем умножения всех членов на 31) , мы видим, что 62 минус 31 равно 31, поскольку 496 минус 31 равно сумме 31, 62, 124, 248. Таким образом, числа 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248 складываются. до 496 и далее все числа, которые делят 496. Ибо предположим, что p делит 496, а его нет среди этих чисел. Предположим, что p q равно 16 × 31 , или 31 равно q, как p равно 16. Теперь p не может делить 16, или это будет среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Следовательно, 31 не может делить q . А поскольку 31 не делит q, а q измеряет 496, основная теорема арифметики подразумевает, что q должно делить 16 и находиться среди чисел 1, 2, 4, 8 или 16. Пусть q равно 4, тогда p должно быть 124, что невозможно, поскольку по предположению p не входит в число 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 или 248.
Таблица значений
(последовательность A000079 в OEIS )
п | 2 п | п | 2 п | п | 2 п | п | 2 п | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 16 | 65 536 | 32 | 4 294 967 296 | 48 | 281 474 976 710 656 | |||
1 | 2 | 17 | 131 072 | 33 | 8,589,934,592 | 49 | 562 949 953 421 312 | |||
2 | 4 | 18 | 262 144 | 34 | 17 179 869 184 | 50 | 1 125 899 906 842 624 | |||
3 | 8 | 19 | 524 288 | 35 год | 34 359 738 368 | 51 | 2 251 799 813 685 248 | |||
4 | 16 | 20 | 1 048 576 | 36 | 68 719 476 736 | 52 | 4 503 599 627 370 496 | |||
5 | 32 | 21 год | 2,097,152 | 37 | 137 438 953 472 | 53 | 9 007 199 254 740 992 | |||
6 | 64 | 22 | 4 194 304 | 38 | 274 877 906 944 | 54 | 18 014 398 509 481 984 | |||
7 | 128 | 23 | 8 388 608 | 39 | 549 755 813 888 | 55 | 36 028 797 018 963 968 | |||
8 | 256 | 24 | 16 777 216 | 40 | 1 099 511 627 776 | 56 | 72 057 594 037 927 936 | |||
9 | 512 | 25 | 33 554 432 | 41 год | 2,199,023,255,552 | 57 | 144 115 188 075 855 872 | |||
10 | 1,024 | 26 | 67 108 864 | 42 | 4 398 046 511 104 | 58 | 288 230 376 151 711 744 | |||
11 | 2 048 | 27 | 134 217 728 | 43 год | 8 796 093 022 208 | 59 | 576 460 752 303 423 488 | |||
12 | 4096 | 28 | 268 435 456 | 44 | 17 592 186 044 416 | 60 | 1,152,921,504,606,846,976 | |||
13 | 8192 | 29 | 536 870 912 | 45 | 35 184 372 088 832 | 61 | 2 305 843 009 213 693 952 | |||
14 | 16 384 | 30 | 1 073 741 824 | 46 | 70 368 744 177 664 | 62 | 4 611 686 018 427 387 904 | |||
15 | 32 768 | 31 год | 2 147 483 648 | 47 | 140 737 488 355 328 | 63 | 9 223 372 036 854 775 808 |
Начиная с 2 последняя цифра является периодической с периодом 4, с циклом 2–4–8–6–, а начиная с 4 последние две цифры являются периодическими с периодом 20. Эти закономерности обычно верны для любой степени в отношении любая база . Шаблон продолжается там, где каждый шаблон имеет начальную точку 2 k , а период является мультипликативным порядком 2 по модулю 5 k , что составляет φ (5 k ) = 4 × 5 k -1 (см. Мультипликативная группа целых чисел по модулю n ).
Степень 1024
(последовательность A140300 в OEIS )
Первые несколько степеней 2 10 немного больше, чем те же самые степени 1000 (10 3 ):
2 0 | знак равно | 1 | = 1000 0 | (Отклонение 0%) |
2 10 | знак равно | 1 024 | ≈ 1000 1 | (Отклонение 2,4%) |
2 20 | знак равно | 1 048 576 | ≈ 1000 2 | (Отклонение 4,9%) |
2 30 | знак равно | 1 073 741 824 | ≈ 1000 3 | (Отклонение 7,4%) |
2 40 | знак равно | 1 099 511 627 776 | ≈ 1000 4 | (Отклонение 10,0%) |
2 50 | знак равно | 1 125 899 906 842 624 | ≈ 1000 5 | (Отклонение 12,6%) |
2 60 | знак равно | 1 152 921 504 606 846 976 | ≈ 1000 6 | (Отклонение 15,3%) |
2 70 | знак равно | 1 180 591 620 717 411 303 424 | ≈ 1000 7 | (Отклонение 18,1%) |
2 80 | знак равно | 1 208 925 819 614 629 174 706 176 | ≈ 1000 8 | (Отклонение 20,9%) |
2 90 | знак равно | 1 237 940 039 285 380 274 899 124 224 | ≈ 1000 9 | (Отклонение 23,8%) |
2 100 | знак равно | 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 | ≈ 1000 10 | (Отклонение 26,8%) |
2 110 | знак равно | 1 298 074 214 633 706 907 132 624 082 305024 | ≈ 1000 11 | (Отклонение 29,8%) |
2 120 | знак равно | 1 329 227 995 784 915 872 903 807 060 280 344 576 | ≈ 1000 12 | (Отклонение 32,9%) |
2 130 | знак равно | 1 361 129 467 683 753 853 853 498 429 727 072 845 824 | ≈ 1000 13 | (Отклонение 36,1%) |
2 140 | знак равно | 1 393 796 574 908 163 946 345 982 392040 522 594 123 776 | ≈ 1000 14 | (Отклонение 39,4%) |
2 150 | знак равно | 1 427 247 692 705 959 881 058 285 969 449 495 136 382 746 624 | ≈ 1000 15 | (Отклонение 42,7%) |
Степени двойки, экспоненты которых равны степени двойки
Поскольку данные ( в частности , целые числа) и адрес данных хранятся с использованием тех же аппаратных средств, а также данные сохраняются в одном или несколько октетах ( 2 3 ), двойной экспонент из двух является общим. Например,
п | 2 п | 2 2 n (последовательность A001146 в OEIS ) |
---|---|---|
0 | 1 | 2 |
1 | 2 | 4 |
2 | 4 | 16 |
3 | 8 | 256 |
4 | 16 | 65 536 |
5 | 32 | 4 294 967 296 |
6 | 64 | 18, |
7 | 128 | 340, |
8 | 256 | 115, |
9 | 512 | 13, |
10 | 1,024 | 179, |
11 | 2 048 | 32, |
12 | 4096 | 1, |
13 | 8192 | 1, |
14 | 16 384 | 1, |
15 | 32 768 | 1, |
16 | 65 536 | 2, |
17 | 131 072 | 4, |
18 | 262 144 | 16, |
Некоторые из этих чисел представляют собой количество значений, которые можно представить с помощью обычных компьютерных типов данных . Например, 32-битное слово, состоящее из 4 байтов, может представлять 2 32 различных значения, которые можно рассматривать либо как простые битовые шаблоны, либо чаще интерпретировать как числа без знака от 0 до 2 32 - 1 , или как диапазон чисел со знаком от −2 31 до 2 31 - 1 . Также см. Тетрацию и нижние гипероперации . Дополнительные сведения о представлении чисел со знаком см. В дополнении до двух .
В связи с нимберами эти числа часто называют 2-степенями Ферма .
Числа образуют последовательность иррациональности : для каждой последовательности из положительных целых чисел , то ряд
сходится к иррациональному числу . Несмотря на быстрый рост этой последовательности, это самая медленно растущая последовательность иррациональности из известных.
Избранные полномочия двух
- 2 8 = 256
- Количество значений, представленных 8 битами в байте , более конкретно называемое октетом . (Термин « байт» часто определяется как совокупность битов, а не как строгое определение 8-битной величины, как это демонстрирует термин килобайт .)
- 2 10 = 1024
- Двоичное приближение кило- или множителя 1000, которое вызывает изменение префикса. Например: 1024 байта = 1 килобайт (или кибибайт ).
- Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
- 2 12 = 4096
- Размер аппаратной страницы процессора, совместимого с Intel x86 .
- 2 15 = 32 768
- Количество неотрицательных значений для подписанного 16-разрядного целого числа.
- 2 16 = 65 536
- Количество различных значений, представленных одним словом на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 .
- Максимальный диапазон коротких целочисленных переменных в языках программирования C # и Java . Максимальный диапазон переменной Word или Smallint в языке программирования Pascal .
- Количество бинарных отношений в наборе из 4 элементов.
- 2 20 = 1 048 576
- Двоичное приближение мега- или 1 000 000 множителей, вызывающее изменение префикса. Например: 1 048 576 байт = 1 мегабайт (или мибибайт ).
- Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
- 2 24 = 16 777 216
- Количество уникальных цветов, которые могут отображаться в истинном цвете , который используется обычными компьютерными мониторами .
- Это число является результатом использования трехканальной системы RGB с 8 битами на каждый канал или 24 битами всего.
- Размер наибольшего беззнакового целого числа или адреса в компьютерах с 24-битными регистрами или шинами данных.
- 2 29 = 536 870 912
- Наибольшая степень двойки с различными цифрами в базе десять.
- 2 30 = 1 073 741 824
- Двоичное приближение к гига- или 1 000 000 000 множителю, которое вызывает изменение префикса. Например, 1 073 741 824 байта = 1 гигабайт (или гибибайт ).
- Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
- 2 31 = 2 147 483 648
- Количество неотрицательных значений для подписанного 32-разрядного целого числа. Поскольку с 1 января 1970 года время Unix измеряется в секундах, оно закончится в 2147483647 секундах или 03:14:07 UTC во вторник, 19 января 2038 года, на 32-разрядных компьютерах под управлением Unix, проблема, известная как проблема 2038 года .
- 2 32 = 4 294 967 296
- Количество различных значений, представленных одним словом на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 16-битном процессоре, таком как исходные процессоры x86 .
- Диапазон
int
переменной в языках программирования Java и C # . - Диапазон значений переменной
Cardinal
илиInteger
в языке программирования Паскаль . - Минимальный диапазон длинных целочисленных переменных в языках программирования C и C ++ .
- Общее количество IP-адресов в IPv4 . Хотя это, на первый взгляд, большое число, исчерпание IPv4-адресов неизбежно.
- Количество бинарных операций с доменом равно любому набору из 4 элементов, например, GF (4).
- 2 40 = 1 099 511 627 776
- Двоичное приближение тера- , или 1 000 000 000 000 множителей, вызывающее изменение префикса. Например, 1 099 511 627 776 байт = 1 терабайт (или тебибайт ).
- Это число не имеет особого значения для компьютеров, но важно для людей, потому что мы используем степень десяти.
- 2 50 = 1 125 899 906 842 624
- Двоичное приближение пета- , или множителя 1 000 000 000 000 000. 1,125 899 906 842 624 байта = 1 петабайт (или пебибайт ).
- 2 53 = 9 007 199 254 740 992
- Число, до которого все целочисленные значения могут быть точно представлены в формате IEEE с плавающей запятой двойной точности .
- 2 56 = 72 057 594 037 927 936
- Количество различных возможных ключей в устаревшем 56-битном симметричном шифре DES .
- 2 60 = 1,152,921,504,606,846,976
- Двоичное приближение exa- , или множитель 1,000,000,000,000,000,000. 1,152,921,504,606,846,976 байт = 1 эксабайт (или эксбибайт ).
- 2 63 = 9 223 372 036 854 775 808
- Количество неотрицательных значений для подписано 64-разрядное целое число.
- 2 64 = 18 446 744 073 709 551 616
- Количество различных значений, представленных одним словом на 64-битном процессоре. Или количество значений, представленных в двойном слове на 32-битном процессоре. Или количество значений, представленных в квадрослове на 16-разрядном процессоре, таком как исходные процессоры x86 .
- Диапазон длинной переменной в языках программирования Java и C # .
- Диапазон переменной Int64 или QWord в языке программирования Pascal .
- Общее количество IPv6-адресов, обычно предоставляемых одной локальной сети или подсети.
- На единицу больше, чем количество зерен риса на шахматной доске, согласно старой истории , где первая клетка содержит одно рисовое зерно, а каждая последующая клетка вдвое больше, чем предыдущая. По этой причине число 2 64 - 1 известно как «шахматное число».
- 2 64 - 1 - это также количество ходов, необходимых для завершения легендарной 64-дисковой версии Ханойской башни .
- 2 68 = 295 147 905 179 352 825 856
- Первая степень двойки, содержащая все десятичные цифры. (последовательность A137214 в OEIS )
- 2 70 = 1,180,591,620,717,411,303,424
- Двоичное приближение дзетта- , или множитель 1,000,000,000,000,000,000,000. 1,180,591,620,717,411,303,424 байта = 1 зеттабайт (или зебибайт ).
- 2 80 = 1,208,925,819,614,629,174,706,176
- Двоичное приближение йотта- или множителя 1,000,000,000,000,000,000,000,000. 1,208,925,819,614,629,174,706,176 байт = 1 йоттабайт (или йобибайт ).
- 2 86 = 77 371 252 455 336 267 181 195 264
- Предполагается, что число 2 86 является наибольшей степенью двойки, не содержащей десятичного нуля.
- 2 96 = 79 228 162 514 264 337 593 543 950 336
- Общее количество адресов IPv6, обычно передаваемых в локальный Интернет-реестр . В нотации CIDR интернет-провайдерам дается / 32 , что означает, что для адресов доступно 128-32 = 96 бит (в отличие от обозначения сети). Таким образом, 2 96 адресов.
- 2 128 = 340 282 366 920 938 463 463 374 607 431 768 211 456
- Общее количество IP-адресов, доступных в IPv6 . Также количество различных универсально уникальных идентификаторов (UUID) .
- 2 168 = 374 144 419 156 711 147 060 143 317 175 368 453 031 918 731 001 856
- Наибольшая известная степень двойки, не содержащая всех десятичных цифр (цифра 2 в этом случае отсутствует). (последовательность A137214 в OEIS )
- 2 192 = 6,277,101,735,386,680,763,835,789,423,207,666,416,102,355,444,464,034,512,896
- Общее количество различных возможных ключей в 192-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
- 2 256 = 115,792,089,237,316,195,423,570,985,008,687,907,853,269,984,665,640,564,039,457,584,007,913,129,639,936
- Общее количество различных возможных ключей в 256-битном пространстве ключей AES (симметричный шифр).
- 2 333 = 17,498,005,798,264,095,394,980,017,816,940,970,922,825,355,447,145,699,491,406,164,851,279,623,993,595,007,385,788,105,416,184,430,592
- Наименьшая степень 2 больше, чем гугол (10 100 ).
- 2 1024 = 179,769,313,486,231,590,772,931, ..., 304,835,356,329,624,224,137,216
- Максимальное число, которое может поместиться в формате с плавающей запятой двойной точности IEEE , и, следовательно, максимальное число, которое может быть представлено многими программами, например Microsoft Excel .
- 2 82,589,933 = 148,894,445,742,041, ..., 210,325,217,902,592
- На одно больше, чем самое большое известное простое число по состоянию на декабрь 2018 года. Оно состоит более чем из 24 миллионов цифр.
Другие свойства
Сумма всех n -выбранных биномиальных коэффициентов равна 2 n . Рассмотрим набор всех n- значных двоичных целых чисел. Его мощность составляет 2 л . Это также суммы мощностей определенных подмножеств: подмножество целых чисел без единиц (состоящее из одного числа, записанного как n 0), подмножество с одной единицей, подмножество с двумя единицами и т. Д. До подмножество с n единицами (состоящее из числа, записанного как n 1). Каждое из них, в свою очередь, равно биномиальному коэффициенту, индексированному n, и количеству учитываемых единиц (например, есть двоичные числа 10-select-3 с десятью цифрами, которые включают ровно три единицы).
В настоящее время единственные известные почти идеальные числа - это степени двойки .
Число вершин в качестве п - мерного гиперкуба является 2 п . Точно так же количество ( n - 1) -граний n- мерного кросс-многогранника также равно 2 n, и формула для количества x- граней, которые имеет n -мерный кросс-многогранник, имеет вид
Сумма обратных степеней двойки является 1 . Сумма обратных квадратов степеней двойки составляет 1/3.
Наименьшая естественная степень двойки, десятичное представление которой начинается с 7, равна
Каждую степень двойки (исключая 1) можно записать как сумму четырех квадратных чисел 24 способами . Степени двойки - это натуральные числа больше 1, которые можно записать как сумму четырех квадратных чисел наименьшим количеством способов.
Смотрите также
- 2048 (видеоигра)
- Двоичное число
- Геометрическая прогрессия
- Последовательность Гулда
- Песня Inchworm
- Целочисленный двоичный логарифм
- Octave (электроника)
- Мощность 10
- Сила трех
- Последовательность без суммирования