Натуральное число - Natural number

Символ заглавной буквы N с двойным зачеркиванием , часто используемый для обозначения набора всех натуральных чисел (см. Глоссарий математических символов ).
Для подсчета можно использовать натуральные числа (одно яблоко, два яблока, три яблока, ...)

В математике , что натуральные числа являются теми числами , используемыми для подсчета (как в «есть шесть монет на стол») и упорядочении (как в «это третий по величине город в стране»). В общей математической терминологии слова, которые в просторечии используются для подсчета, являются « количественными числами », а слова, используемые для упорядочивания, - « порядковыми числами ». Натуральные числа могут иногда появляться как удобный набор кодов (ярлыков или «имен»), то есть как то, что лингвисты называют номинальными числами , отказываясь от многих или всех свойств числа в математическом смысле.

В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2 , натуральные числа начинаются с 0 , соответствующего неотрицательным целым числам 0, 1, 2, 3, ... , тогда как другие начинаются с 1 , что соответствует положительным целым числам 1, 2, 3, ... Тексты, исключающие ноль из натуральных чисел, иногда относятся к натуральным числам вместе с нулем как к целым числам , тогда как в других письменных источниках этот термин используется вместо целых чисел (включая отрицательные целые числа).

Натуральные числа являются базисом, на основе которого могут быть построены многие другие числовые наборы путем расширения: целые числа , включая (если еще не включены ) нейтральный элемент 0 и аддитивный обратный элемент ( - n ) для каждого ненулевого натурального числа n ; что рациональные числа , путем включения мультипликативного обратного ( ) для каждого ненулевого целого числа п (а также произведения этих инверсий целых чисел); что действительные числа пути включения с рациональными числами в пределах от (сходящихся) последовательности Коши рациональных чисел; что комплексные числа , путем включения с действительными числами неразрешенный квадратный корень минус единицы (а также суммы и изделия из них); и так далее. Эта цепочка расширений делает натуральные числа канонически встроенными (идентифицированными) в другие системы счисления.

Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел , изучаются в теории чисел . Проблемы подсчета и упорядочения, такие как разбиение и перечисление , изучаются в комбинаторике .

В общем языке, особенно в начальных школах образования, натуральные числа можно назвать число подсчета интуитивно исключить отрицательные числа и нуль, а также противопоставить дискретность из подсчета к непрерывности от измерения -a признак характеристики действительных чисел .

История

Древние корни

Кости Ishango (на выставке в Королевском бельгийском институте естественных наук ) , как полагают, были использованы 20000 лет назад для натурального числа арифметических действий .

Самый примитивный способ представления натурального числа - поставить отметку за каждый предмет. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора.

Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для обозначения чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с отличными иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака , датируемой приблизительно 1500 г. до н. Э. И ныне находящейся в Лувре в Париже, 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была система определения значений , основанная в основном на цифрах для 1 и 10 с использованием шестидесяти, так что символ для шестидесяти был таким же, как и символ для единицы - его значение определялось из контекста.

Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что  0 можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опустили такую ​​цифру, когда она была последним символом в числе. В ольмеков и цивилизации майя использовали 0 в качестве отдельного числа , как уже в BCE 1 - ого столетия , но это использование не распространился за пределы Мезоамерики . Использование цифры 0 в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты в 628 году нашей эры. Тем не менее, 0 использовался в качестве числа в средневековом вычислении (вычислении даты Пасхи), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 году нашей эры, без обозначения цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа для 0). Вместо этого nulla (или родительный падеж nullae ) от nullus , латинского слова, означающего «нет», использовался для обозначения значения 0.

Первое систематическое изучение чисел как абстракций обычно приписывают греческим философам Пифагору и Архимеду . Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, иногда даже не как к числу. Евклид , например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом, и не существует уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц равны 2). .

Независимые исследования численности также проводились примерно в то же время в Индии , Китае и Мезоамерике .

Современные определения

В Европе XIX века велись математические и философские дискуссии о точной природе натуральных чисел. Школа натурализма заявила, что натуральные числа являются прямым следствием человеческой психики. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников, как и Леопольд Кронекер , который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека».

В противовес натуралистам конструктивисты видели необходимость улучшить логическую строгость в основах математики . В 1860-х годах Герман Грассманн предложил рекурсивное определение натуральных чисел, тем самым заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Позже были построены два класса таких формальных определений; позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.

Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге . Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, в том числе к парадоксу Рассела . Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, а любой набор, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов.

Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом , уточнен Ричардом Дедекиндом и далее исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметикой Пеано . Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равнозначна нескольким слабым системам теории множеств. Одной из таких систем является ZFC, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с помощью аксиом Пеано, включают теорему Гудстейна .

При всех этих определениях удобно включать 0 (соответствующий пустому набору ) как натуральное число. Включение 0 стало обычным явлением среди теоретиков множеств и логиков . Другие математики также включают 0, а компьютерные языки часто начинают с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и элементы строк или массивов . С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом.

Обозначение

Математики используют N или для обозначения набора всех натуральных чисел. Существование такого множества установлено в теории множеств . В более старых текстах также иногда использовалась буква J в качестве символа этого набора.

Поскольку с токенами 0 и 1 обычно связаны различные свойства (например, нейтральные элементы для сложения и умножения соответственно), важно знать, какая версия натуральных чисел используется в рассматриваемом случае. Это можно сделать с помощью пояснения в прозе, явного написания набора или определения универсального идентификатора надстрочным или нижним индексом, например, следующим образом:

  • Натуральные без нуля:
  • Натуральные с нулем:

В качестве альтернативы, так как натуральные числа , естественно , образуют подмножество из целых чисел (часто обозначаемых ), они могут быть отнесены к положительному, либо неотрицательных целых чисел, соответственно. Чтобы однозначно определить, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0», а во втором - верхний индекс « * »:

Характеристики

Добавление

Учитывая набор натуральных чисел и функцию-преемник, отправляющую каждое натуральное число следующему, можно определить рекурсивное сложение натуральных чисел, установив a + 0 = a и a + S ( b ) = S ( a + b ) для всех а , б . Тогда (ℕ, +) - коммутативный моноид с единицей  0. Это свободный моноид с одной образующей. Этот коммутативный моноид удовлетворяет свойству сокращения , поэтому его можно вложить в группу . Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, - это целые числа .

Если 1 определяется как S (0) , то b + 1 = b + S (0) = S ( b + 0) = S ( b ) . То есть b + 1 - это просто преемник b .

Умножение

Аналогично, учитывая, что сложение было определено, оператор умножения может быть определен через a × 0 = 0 и a × S ( b ) = ( a × b ) + a . Это превращает (ℕ * , ×) в свободный коммутативный моноид с единицей 1; образующей для этого моноида является набор простых чисел .

Связь между сложением и умножением

Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) . Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа примером коммутативного полукольца . Полукольца - это алгебраическое обобщение натуральных чисел, где умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие добавок инверсий, что эквивалентно тому , что не закрыт при вычитании (то есть, вычитая одно из других естественных не всегда приводит к другому физическому), означает , что является не кольцом ; вместо этого это полукольцо (также известное как риг ).

Если натуральные числа взяты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как указано выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S ( a ) и a × 1 = a .

Заказ

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b , и предполагается стандартный порядок операций .

Общий порядок на множестве натуральных чисел определяется позволяя сЬ тогда и только тогда , когда существует другое натуральное число C , где + с = б . Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a , b и c - натуральные числа и ab , то a + cb + c и acbc .

Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди упорядоченных множеств выражается порядковым номером ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).

Разделение

В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b , и предполагается стандартный порядок операций .

Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком или евклидова деления доступна в качестве замены: для любых двух натуральных чисел a и b с b 0 существует натуральные числа q и r такие, что

Число q называется частным, а r - остатком от деления a на  b . Числа q и r однозначно определяются a и  b . Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам ( делимости ), алгоритмам (таким как алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.

Алгебраические свойства, которым удовлетворяют натуральные числа

Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, как определено выше, обладают несколькими алгебраическими свойствами:

  • Замыкание при сложении и умножении: для всех натуральных чисел a и b и a + b, и a × b являются натуральными числами.
  • Ассоциативность : для всех натуральных чисел a , b и c , a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a × ( b × c ) = ( a × b ) × c .
  • Коммутативность : для всех натуральных чисел a и b , a + b = b + a и a × b = b × a .
  • Существование элементов идентичности : для любого натурального числа a , a + 0 = a и a × 1 = a .
  • Дистрибутивность умножения над сложением для всех натуральных чисел a , b и c , a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) .
  • Никаких ненулевых делителей нуля : если a и b натуральные числа такие, что a × b = 0 , то a = 0 или b = 0 (или оба).

бесконечность

Множество натуральных чисел - бесконечное множество . По определению такая бесконечность называется счетной бесконечностью . Говорят, что все множества, которые можно поставить в взаимно однозначное отношение к натуральным числам, имеют такую ​​бесконечность. Это также выражается, говоря , что кардинальное число множества является алеф-ноль ( 0 ).

Обобщения

Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух способов использования счета и упорядочивания: кардинальные числа и порядковые числа .

  • Натуральное число может использоваться для выражения размера конечного множества; точнее, кардинальное число - это мера размера множества, которая подходит даже для бесконечных множеств. Эта концепция «размера» основана на отображении между наборами, так что два набора имеют одинаковый размер , если между ними существует взаимное соответствие . Множество натуральных чисел самого, и любой биективным образом его, как говорят, счетные и иметь кардинальности алеф-нуль ( 0 ).
  • Натуральные числа также используются как лингвистические порядковые числа : «первое», «второе», «третье» и т. Д. Таким образом, они могут быть отнесены к элементам полностью упорядоченного конечного множества, а также к элементам любого хорошо упорядоченного счетно бесконечного множества. Это назначение можно обобщить на общие порядки, мощность которых превышает счетность, чтобы получить порядковые числа. Порядковый номер может также использоваться для описания понятия «размер» для хорошо упорядоченного набора в смысле, отличном от количества элементов: если существует изоморфизм порядка (больше, чем биекция!) Между двумя хорошо упорядоченными наборами, они иметь такой же порядковый номер. Первое порядковое число, не являющееся натуральным числом, выражается как ω ; это также порядковый номер самого набора натуральных чисел.

Мере порядковое число мощности 0 (то есть, начальное порядковое из 0 ) является ω , но многие вполне упорядоченных множеств с кардинальным числом 0 имеют порядковый номер больше , чем со .

Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и кардинальными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом - количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в большей конечной или бесконечной последовательности .

Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть аксиомам Пеано первого порядка), была разработана Сколемом в 1933 году. Сверхъестественные числа - это несчетная модель, которая может быть построена из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции .

Жорж Риб имел обыкновение провокационно утверждать, что наивные целые числа не заполняют . Другие обобщения обсуждаются в статье о числах.

Формальные определения

Аксиомы Пеано

Многие свойства натуральных чисел можно вывести из пяти аксиом Пеано :

  1. 0 - натуральное число.
  2. У каждого натурального числа есть последователь, который также является натуральным числом.
  3. 0 не является наследником какого-либо натурального числа.
  4. Если правопреемник равен правопреемнику , то равен .
  5. Аксиома индукции : Если утверждение верно 0, и если истина этого утверждения для ряда предполагает его истинность для преемника этого числа, то утверждение верно для любого натурального числа.

Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. В некоторых формах аксиом Пеано 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является . Заменяя аксиому 5 схемой аксиом, мы получаем (более слабую) теорию первого порядка, называемую арифметикой Пеано .

Конструкции на основе теории множеств

Ординалы фон Неймана

В области математики, называемой теорией множеств , конкретная конструкция Джона фон Неймана определяет натуральные числа следующим образом:

  • Установите 0 = {} , пустой набор ,
  • Определим S ( a ) = a ∪ { a } для каждого множества a . S ( a ) является преемником a , а S называется функцией-преемником .
  • По аксиоме бесконечности существует множество, содержащее 0 и замкнутое относительно функции-преемника. Такие множества называются индуктивными . Пересечение всех таких индуктивных множеств определяется как множество натуральных чисел. Можно проверить, что множество натуральных чисел удовлетворяет аксиомам Пеано .
  • Отсюда следует, что каждое натуральное число равно множеству всех натуральных чисел, меньших его:
  • 0 = {} ,
  • 1 = 0 ∪ {0} = {0} = {{}} ,
  • 2 = 1 ∪ {1} = {0, 1} = {{}, {{}}} ,
  • 3 = 2 ∪ {2} = {0, 1, 2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}} ,
  • n = n −1 ∪ { n −1} = {0, 1, ..., n −1} = {{}, {{}}, ..., {{}, {{}}, .. .}} и т. д.

При таком определении, натуральное число п является конкретный набор с п элементов, а пм тогда и только тогда , когда п является подмножеством из м . Стандартное определение, которое теперь называется определением ординалов фон Неймана, гласит : «Каждый ординал - это упорядоченный набор всех меньших ординалов».

Кроме того , с этим определением, различные возможные интерпретации обозначений , как п ( п -наборов против отображений п Into ) совпадают.

Даже если кто-то не принимает аксиому бесконечности и, следовательно, не может принять, что набор всех натуральных чисел существует, все же возможно определить любое из этих множеств.

Цермело порядковые

Хотя стандартная конструкция полезна, это не единственно возможная конструкция. Конструкция Эрнста Цермело выглядит следующим образом:

  • Установите 0 = {}
  • Определим S ( a ) = { a } ,
  • Отсюда следует, что
  • 0 = {} ,
  • 1 = {0} = {{}} ,
  • 2 = {1} = {{{}}} ,
  • n = { n −1} = {{{...}}} и т. д.
Тогда каждое натуральное число равно множеству, содержащему только предшествующее ему натуральное число. Это определение ординалов Цермело . В отличие от конструкции фон Неймана, порядковые числа Цермело не учитывают бесконечные порядковые числа.

Смотрите также

Системы счисления
Сложный
Настоящий
Рациональный
Целое число
Естественный
Ноль : 0
Один : 1
простые числа
Составные числа
Отрицательные целые числа
Дробная часть
Конечная десятичная дробь
Диадический (конечный двоичный)
Повторяющаяся десятичная дробь
Иррационально
Алгебраический
Трансцендентный
Мнимый

Примечания

использованная литература

Библиография

внешняя ссылка