Слабая сходимость (гильбертово пространство) - Weak convergence (Hilbert space)

В математике , слабая сходимость в гильбертовом пространстве является конвергенцией из последовательности точек в слабой топологии .

Определение

Последовательность точек в гильбертовом пространстве Н называется слабо сходятся к точке х в Н , если ${\ displaystyle (x_ {n})}$

${\ displaystyle \ langle x_ {n}, y \ rangle \ to \ langle x, y \ rangle}$

для всех у в Н . Здесь понимается скалярное произведение в гильбертовом пространстве. Обозначение ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ displaystyle x_ {n} \ rightharpoonup x}$

иногда используется для обозначения такого рода сходимости.

Характеристики

• Если последовательность сходится сильно (т. Е. Сходится по норме), то она также сходится слабо.
• Поскольку любое замкнутое и ограниченное множество слабо относительно компактно (его замыкание в слабой топологии компактно), любая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве H содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Обратите внимание, что замкнутые и ограниченные множества, вообще говоря, не являются слабо компактными в гильбертовых пространствах (рассмотрим множество, состоящее из ортонормированного базиса в бесконечномерном гильбертовом пространстве, которое является замкнутым и ограниченным, но не слабо компактным, поскольку оно не содержит 0). Однако ограниченные и слабо замкнутые множества слабо компактны, поэтому каждое выпуклое ограниченное замкнутое множество слабо компактно.${\ displaystyle x_ {n}}$
• Вследствие принципа равномерной ограниченности любая слабо сходящаяся последовательность ограничена.
• Норма (последовательно) слабо полунепрерывна снизу : если слабо сходится к x , то${\ displaystyle x_ {n}}$

${\ displaystyle \ Vert x \ Vert \ leq \ liminf _ {n \ to \ infty} \ Vert x_ {n} \ Vert,}$

и это неравенство строгое, если сходимость не сильная. Например, бесконечные ортонормированные последовательности слабо сходятся к нулю, как показано ниже.

• Если слабо а , то сильно:${\ displaystyle x_ {n} \ to x}$${\ Displaystyle \ lVert x_ {n} \ rVert \ to \ lVert x \ rVert}$${\ displaystyle x_ {n} \ to x}$

${\ displaystyle \ langle x-x_ {n}, x-x_ {n} \ rangle = \ langle x, x \ rangle + \ langle x_ {n}, x_ {n} \ rangle - \ langle x_ {n}, x \ rangle - \ langle x, x_ {n} \ rangle \ rightarrow 0.}$

• Если гильбертово пространство конечномерно, т. Е. Евклидово пространство , то слабая и сильная сходимость эквивалентны.

Пример

Первые 3 функции в последовательности включены . Так как слабо сходится к .${\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin (nx)}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ Displaystyle п \ rightarrow \ infty}$ ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle f = 0}$

Гильбертово пространство - это пространство интегрируемых с квадратом функций на интервале, снабженном скалярным произведением, определяемым формулой ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} f (x) \ cdot g (x) \, dx,}$

(см. пространство L ^p ). Последовательность функций, определяемая ${\ displaystyle f_ {1}, f_ {2}, \ ldots}$

${\ displaystyle f_ {n} (x) = \ sin (nx)}$

слабо сходится к нулевой функции по , так как интеграл ${\ Displaystyle L ^ {2} [0,2 \ pi]}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ sin (nx) \ cdot g (x) \, dx.}$

стремится к нулю для любой интегрируемой с квадратом функции на, когда стремится к бесконечности, что соответствует лемме Римана – Лебега , т. е. ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle \ langle f_ {n}, g \ rangle \ to \ langle 0, g \ rangle = 0.}$

Несмотря на то, что число нулей увеличивается по мере приближения к бесконечности, оно, конечно, не равно нулевой функции ни для одной из них . Обратите внимание, что не сходится к 0 в нормах или . Это несходство - одна из причин, почему этот тип конвергенции считается «слабым». ${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f_ {n}}$${\ displaystyle L _ {\ infty}}$${\ displaystyle L_ {2}}$

Слабая сходимость ортонормированных последовательностей

Рассмотрим последовательность, которая была построена как ортонормированная, т. Е. ${\ displaystyle e_ {n}}$

${\ displaystyle \ langle e_ {n}, e_ {m} \ rangle = \ delta _ {mn}}$

где равно единице, если m = n, и нулю в противном случае. Мы утверждаем, что если последовательность бесконечна, то она слабо сходится к нулю. Простое доказательство состоит в следующем. Для x ∈ H имеем ${\ displaystyle \ delta _ {mn}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n} | \ langle e_ {n}, x \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$( Неравенство Бесселя )

где равенство выполняется, когда { e _n } является базисом гильбертова пространства. Следовательно

${\ displaystyle | \ langle e_ {n}, x \ rangle | ^ {2} \ rightarrow 0}$ (поскольку указанный выше ряд сходится, соответствующая ему последовательность должна стремиться к нулю)

т.е.

${\ displaystyle \ langle e_ {n}, х \ rangle \ rightarrow 0.}$

Теорема Банаха – Сакса.

Теорема Банаха – Сакса утверждает, что каждая ограниченная последовательность содержит подпоследовательность и точку x такие, что ${\ displaystyle x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {n_ {k}}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {N}} \ sum _ {k = 1} ^ {N} x_ {n_ {k}}}$

сильно сходится к x при стремлении N к бесконечности.

Обобщения

Определение слабой сходимости распространяется на банаховы пространства . Говорят, что последовательность точек в банаховом пространстве B слабо сходится к точке x в B, если ${\ displaystyle (x_ {n})}$

${\ Displaystyle f (x_ {n}) \ к f (x)}$

для любого ограниченного линейного функционала, определенного на , т. е. для любого в сопряженном пространстве . Если - пространство Lp на , и тогда любое такое имеет вид ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle B '}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle р <\ infty}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ Omega} х \, у \, д \ му}$

Для некоторых , где и является мерой на . ${\ Displaystyle у \ в \, L ^ {q} (B)}$${\ displaystyle {\ frac {1} {p}} + {\ frac {1} {q}} = 1}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ Omega}$

В том случае , когда есть гильбертово пространство, то, по теореме Рисса , ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle е (\ cdot) = \ langle \ cdot, y \ rangle}$

для некоторого in , так что получается определение слабой сходимости в гильбертовом пространстве. ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle B}$