Теория сита - Sieve theory
Теория сита - это набор общих методов теории чисел , предназначенных для подсчета или, что более реалистично, для оценки размера просеянных наборов целых чисел. Прототипом пример просеянного множества множество простых чисел до некоторого установленного предела X . Соответственно, прототипическим примером сита является сито Эратосфена или более общее сито Лежандра . Прямая атака на простые числа с использованием этих методов вскоре наталкивается на явно непреодолимые препятствия на пути накопления ошибочных членов. В одном из основных направлений теории чисел двадцатого века были найдены способы избежать некоторых трудностей лобовой атаки с наивным представлением о том, каким должно быть просеивание.
Один из успешных подходов - аппроксимировать определенный просеянный набор чисел (например, набор простых чисел ) другим, более простым набором (например, набором почти простых чисел), который обычно несколько больше исходного набора и его легче анализировать. Более сложные сита также не работают напрямую с наборами как таковыми , а вместо этого подсчитывают их в соответствии с тщательно подобранными весовыми функциями этих наборов (варианты придания некоторым элементам этих наборов большего веса, чем другим). Более того, в некоторых современных приложениях сита используются не для оценки размера просеянного набора, а для создания функции, которая является большой на множестве и в основном маленькой вне ее, но при этом ее легче анализировать, чем характеристическую функцию набора.
Виды рассева
Современные сита включают Брун сито , на сито Сельберга , на сито Турана , на большое решето , и большее сито . Одна из первоначальных целей теории решета состояла в том, чтобы попытаться доказать гипотезы теории чисел, такие как гипотеза о двойных простых числах . Хотя первоначальные общие цели теории сита все еще в значительной степени не достигнуты, были достигнуты некоторые частичные успехи, особенно в сочетании с другими теоретическими инструментами. Основные моменты включают:
- Теорема Бруна , которая показывает, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится (тогда как сумма обратных чисел самих простых чисел расходится);
- Теорема Чена , которая показывает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 является простым или полупервичным числом (произведением двух простых чисел); тесно связанная теорема Чэнь Цзинжун утверждает, что каждое достаточно большое четное число является суммой простого и другого числа, которое является либо простым, либо полупервичным. Их можно считать почти несоответствующими гипотезе о простых числах-близнецах и гипотезе Гольдбаха соответственно.
- Основная лемма сит теории , которая утверждает , что если один просеивает набор N чисел, то можно точно оценить число элементов , оставшихся в сите после итераций при условии , что достаточно малые (фракции , таких как 1/10 весьма типичны Вот). Эта лемма обычно слишком слабая, чтобы отсеивать простые числа (что обычно требует чего-то вроде итераций), но ее может быть достаточно для получения результатов, касающихся почти простых чисел .
- Теорема Фридлендера – Иванека , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел вида .
- Чжан «ы теорема ( Zhang 2014 ), который показывает , что существует бесконечное множество пар простых чисел в пределах ограниченного расстояния . Теорема Мейнарда – Тао ( Maynard 2015 ) обобщает теорему Чжана на произвольно длинные последовательности простых чисел.
Приемы теории сита
Методы теории сита могут быть довольно мощными, но они, похоже, ограничены препятствием, известным как проблема четности , которая, грубо говоря, утверждает, что методы теории сита испытывают чрезвычайные трудности с различением чисел с нечетным числом простых множителей и чисел с четное число простых множителей. Эта проблема четности до сих пор не очень хорошо изучена.
По сравнению с другими методами теории чисел, теория решет сравнительно элементарна в том смысле, что она не обязательно требует сложных концепций либо из алгебраической теории чисел, либо из аналитической теории чисел . Тем не менее, более продвинутые сита все еще могут быть очень сложными и тонкими (особенно в сочетании с другими глубокими методами теории чисел), и целые учебники были посвящены этому единственному подполю теории чисел; классическая ссылка ( Halberstam & Richert 1974 ), а более современный текст - ( Iwaniec & Friedlander 2010 ).
Методы сита, обсуждаемые в этой статье, не имеют непосредственного отношения к методам сита целочисленной факторизации, таким как квадратное сито и сито общего числового поля . Эти методы факторизации используют идею сита Эратосфена, чтобы эффективно определить, какие элементы списка чисел могут быть полностью разложены на маленькие простые числа.
Рекомендации
- Кожокару, Алина Кармен ; Мурти, М. Рам (2006), Введение в методы сита и их приложения , London Mathematical Society Student Texts, 66 , Cambridge University Press , ISBN 0-521-84816-4 , MR 2200366
- Мотохаши, Йоичи (1983), Лекции по ситовым методам и теории простых чисел , Институт фундаментальных исследований Тата, Лекции по математике и физике, 72 , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-12281-8 , MR 0735437
- Гривз, Джордж (2001), Сита в теории чисел , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 43 , Берлин: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-04658-6 , ISBN 3-540-41647-1 , MR 1836967
- Харман, Глин (2007). Прайм-детекторные сита . Монографии Лондонского математического общества. 33 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12437-7 . Руководство по ремонту 2331072 . Zbl 1220.11118 .
- Хальберштам, Хейни ; Ричерт, Ханс-Эгон (1974). Ситовые методы . Монографии Лондонского математического общества. 4 . Лондон-Нью-Йорк: Academic Press . ISBN 0-12-318250-6 . Руководство по ремонту 0424730 .
- Иванец, Хенрик ; Фридлендер, Джон (2010), Opera de cribro , Публикации коллоквиума Американского математического общества, 57 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-4970-5 , Руководство по ремонту 2647984
- Хули, Кристофер (1976), Приложения методов сита к теории чисел , Кембриджские трактаты по математике, 70 , Кембридж-Нью-Йорк-Мельбурн: Cambridge University Press , ISBN 0-521-20915-3 , Руководство по ремонту 0404173
- Мейнард, Джеймс (2015). «Небольшие промежутки между простыми числами». Анналы математики . 181 (1): 383–413. arXiv : 1311.4600 . DOI : 10.4007 / annals.2015.181.1.7 . Руководство по ремонту 3272929 .
- Тененбаум, Джеральд (1995), Введение в аналитическую и вероятностную теорию чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, 46 , Перевод второго французского издания (1995) CB Thomas, Cambridge University Press , стр. 56–79, ISBN 0-521-41261-7 , MR 1342300
- Чжан, Итанг (2014). «Ограниченные промежутки между простыми числами». Анналы математики . 179 (3): 1121–1174. DOI : 10.4007 / annals.2014.179.3.7 . Руководство по ремонту 3171761 .
внешние ссылки
- Бредихин, Б.М. (2001) [1994], "Метод сита" , Энциклопедия математики , EMS Press