Теория сита - Sieve theory

Теория сита - это набор общих методов теории чисел , предназначенных для подсчета или, что более реалистично, для оценки размера просеянных наборов целых чисел. Прототипом пример просеянного множества множество простых чисел до некоторого установленного предела X . Соответственно, прототипическим примером сита является сито Эратосфена или более общее сито Лежандра . Прямая атака на простые числа с использованием этих методов вскоре наталкивается на явно непреодолимые препятствия на пути накопления ошибочных членов. В одном из основных направлений теории чисел двадцатого века были найдены способы избежать некоторых трудностей лобовой атаки с наивным представлением о том, каким должно быть просеивание.

Один из успешных подходов - аппроксимировать определенный просеянный набор чисел (например, набор простых чисел ) другим, более простым набором (например, набором почти простых чисел), который обычно несколько больше исходного набора и его легче анализировать. Более сложные сита также не работают напрямую с наборами как таковыми , а вместо этого подсчитывают их в соответствии с тщательно подобранными весовыми функциями этих наборов (варианты придания некоторым элементам этих наборов большего веса, чем другим). Более того, в некоторых современных приложениях сита используются не для оценки размера просеянного набора, а для создания функции, которая является большой на множестве и в основном маленькой вне ее, но при этом ее легче анализировать, чем характеристическую функцию набора.

Виды рассева

Современные сита включают Брун сито , на сито Сельберга , на сито Турана , на большое решето , и большее сито . Одна из первоначальных целей теории решета состояла в том, чтобы попытаться доказать гипотезы теории чисел, такие как гипотеза о двойных простых числах . Хотя первоначальные общие цели теории сита все еще в значительной степени не достигнуты, были достигнуты некоторые частичные успехи, особенно в сочетании с другими теоретическими инструментами. Основные моменты включают:

  1. Теорема Бруна , которая показывает, что сумма обратных величин простых чисел-близнецов сходится (тогда как сумма обратных чисел самих простых чисел расходится);
  2. Теорема Чена , которая показывает, что существует бесконечно много простых чисел p таких, что p + 2 является простым или полупервичным числом (произведением двух простых чисел); тесно связанная теорема Чэнь Цзинжун утверждает, что каждое достаточно большое четное число является суммой простого и другого числа, которое является либо простым, либо полупервичным. Их можно считать почти несоответствующими гипотезе о простых числах-близнецах и гипотезе Гольдбаха соответственно.
  3. Основная лемма сит теории , которая утверждает , что если один просеивает набор N чисел, то можно точно оценить число элементов , оставшихся в сите после итераций при условии , что достаточно малые (фракции , таких как 1/10 весьма типичны Вот). Эта лемма обычно слишком слабая, чтобы отсеивать простые числа (что обычно требует чего-то вроде итераций), но ее может быть достаточно для получения результатов, касающихся почти простых чисел .
  4. Теорема Фридлендера – Иванека , которая утверждает, что существует бесконечно много простых чисел вида .
  5. Чжан «ы теорема ( Zhang 2014 ), который показывает , что существует бесконечное множество пар простых чисел в пределах ограниченного расстояния . Теорема Мейнарда – Тао ( Maynard 2015 ) обобщает теорему Чжана на произвольно длинные последовательности простых чисел.

Приемы теории сита

Методы теории сита могут быть довольно мощными, но они, похоже, ограничены препятствием, известным как проблема четности , которая, грубо говоря, утверждает, что методы теории сита испытывают чрезвычайные трудности с различением чисел с нечетным числом простых множителей и чисел с четное число простых множителей. Эта проблема четности до сих пор не очень хорошо изучена.

По сравнению с другими методами теории чисел, теория решет сравнительно элементарна в том смысле, что она не обязательно требует сложных концепций либо из алгебраической теории чисел, либо из аналитической теории чисел . Тем не менее, более продвинутые сита все еще могут быть очень сложными и тонкими (особенно в сочетании с другими глубокими методами теории чисел), и целые учебники были посвящены этому единственному подполю теории чисел; классическая ссылка ( Halberstam & Richert 1974 ), а более современный текст - ( Iwaniec & Friedlander 2010 ).

Методы сита, обсуждаемые в этой статье, не имеют непосредственного отношения к методам сита целочисленной факторизации, таким как квадратное сито и сито общего числового поля . Эти методы факторизации используют идею сита Эратосфена, чтобы эффективно определить, какие элементы списка чисел могут быть полностью разложены на маленькие простые числа.

Рекомендации

внешние ссылки