Модульная форма Siegel

В математике , Siegel модульные формы являются основным типом автоморфной формы . Они обобщают обычные эллиптические модульные формы, которые тесно связаны с эллиптическими кривыми . Комплексные многообразия, построенные в теории модулярных форм Зигеля, являются модулярными многообразиями Зигеля , которые являются базовыми моделями того, каким должно быть пространство модулей для абелевых многообразий (с некоторой структурой дополнительного уровня ), и строятся как факторы верхнего полупространства Зигеля, а не чем верхняя полуплоскость по дискретным группам .

Модулярные формы Зигеля - это голоморфные функции на множестве симметричных матриц размера n × n с положительно определенной мнимой частью; формы должны удовлетворять условию автоморфности. Модульные формы Зигеля можно рассматривать как модульные формы с несколькими переменными , то есть как специальные функции нескольких комплексных переменных .

Модульные формы Зигеля были впервые исследованы Карлом Людвигом Зигелем ( 1939 ) с целью аналитического изучения квадратичных форм . В первую очередь они возникают в различных разделах теории чисел , таких как арифметическая геометрия и эллиптические когомологии . Модульные формы Зигеля также использовались в некоторых областях физики , таких как конформная теория поля и термодинамика черных дыр в теории струн .

Определение

Предварительные мероприятия

Позвольте и определить ${\ displaystyle g, N \ in \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {H}} _ {g} = \ left \ {\ tau \ in M_ {g \ times g} (\ mathbb {C}) \ {\ big |} \ \ tau ^ {\ mathrm {T}} = \ tau, {\ textrm {Im}} (\ tau) {\ text {положительно определенный}} \ right \},}

Сигел верхнее полупространство . Определим симплектическую группу уровня , обозначенную как ${\ displaystyle N}$ ${\ displaystyle \ Gamma _ {g} (N),}$

{\ Displaystyle \ Gamma _ {g} (N) = \ left \ {\ gamma \ in GL_ {2g} (\ mathbb {Z}) \ {\ big |} \ \ gamma ^ {\ mathrm {T}} { \ begin {pmatrix} 0 & I_ {g} \\ - I_ {g} & 0 \ end {pmatrix}} \ gamma = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {g} \\ - I_ {g} & 0 \ end {pmatrix}} , \ \ gamma \ Equiv I_ {2g} \ mod N \ right \},}

где - единичная матрица . Наконец, пусть ${\ displaystyle I_ {g}}$ ${\ displaystyle g \ times g}$

{\ displaystyle \ rho: {\ textrm {GL}} _ {g} (\ mathbb {C}) \ rightarrow {\ textrm {GL}} (V)}

- рациональное представление , где - конечномерное комплексное векторное пространство . ${\ displaystyle V}$

Данный

{\ displaystyle \ gamma = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C&D \ end {pmatrix}}}

и

{\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N),}

определить обозначения

{\ Displaystyle (е {\ большой |} \ гамма) (\ тау) = (\ ро (С \ тау + D)) ^ {- 1} е (\ гамма \ тау).}

Тогда голоморфная функция

{\ displaystyle f: {\ mathcal {H}} _ {g} \ rightarrow V}

является модульной формой Зигеля степени (иногда называемой родом), веса и уровня, если ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle (е {\ большой |} \ гамма) = е}

для всех . В этом случае мы дополнительно требуем, чтобы он был голоморфен «на бесконечности». Это предположение не является необходимым из-за принципа Кохера, описанного ниже. Обозначим пространство модулярных форм Зигеля веса , степени и уровня через ${\ displaystyle \ gamma \ in \ Gamma _ {g} (N)}$ ${\ displaystyle g = 1}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g> 1}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle N}$

{\ Displaystyle M _ {\ rho} (\ Gamma _ {g} (N)).}

Примеры

Некоторые методы построения модульных форм Зигеля включают:

Серия Эйзенштейна
Тэта-функции решеток (возможно, с плюригармоническим многочленом)
Подъемник Сайто – Курокавы на степень 2
Икеда лифт
Лифт Мияваки
Изделия модульных форм Siegel.

1 уровень, малая степень

Для степени 1 модульные формы Siegel 1 уровня аналогичны модульным формам уровня 1. Кольцо таких форм является кольцом многочленов C [ E ₄ , E ₆ ] в рядах Эйзенштейна (степени 1) E ₄ и E ₆ .

Для степени 2 (Игуса 1962 , 1967 ) показал, что кольцо модулярных форм Зигеля уровня 1 порождается рядами Эйзенштейна (степени 2) E ₄ и E ₆ и еще тремя формами с весами 10, 12 и 35. Идеал отношений между ними порождается квадратом формы веса 35 за вычетом одного полинома в других.

Для степени 3 Цуюмин (1986) описал кольцо модульных форм Зигеля уровня 1, дав набор из 34 образующих.

Для степени 4 были найдены модульные формы малых весов Зигеля 1 уровня. Не существует кусп-форм веса 2, 4 или 6. Пространство кусп-форм веса 8 одномерно и натянуто на форму Шоттки . Пространство куспид-форм веса 10 имеет размерность 1, пространство куспид-форм веса 12 имеет размерность 2, пространство куспид-форм веса 14 имеет размерность 3, а пространство куспид-форм веса 16 имеет размерность 7 ( Плохо & Yuen 2007 ) .

Для степени 5 пространство форм куспида имеет размерность 0 для веса 10, размерность 2 для веса 12. Пространство форм веса 12 имеет размерность 5.

Для степени 6 не существует кусп-форм весов 0, 2, 4, 6, 8. Пространство модулярных форм Зигеля веса 2 имеет размерность 0, а пространства весов 4 или 6 имеют размерность 1.

Уровень 1, небольшой вес

Для малых весов и уровня 1 Duke & Imamoḡlu (1998) дают следующие результаты (для любой положительной степени):

Вес 0: Пространство форм одномерное, охватывается единицей.
Вес 1: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Вес 2: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Вес 3: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Вес 4: Для любой степени пространство форм веса 4 является одномерным, натянутым на тэта-функцию решетки E ₈ (соответствующей степени). Единственная форма возврата - 0.
Вес 5: Единственная модульная форма Siegel - 0.
Вес 6: Пространство форм веса 6 имеет размерность 1, если степень не больше 8, и размерность 0, если степень не меньше 9. Единственная форма возврата - 0.
Вес 7: Пространство куспид-форм исчезает, если степень равна 4 или 7.
Вес 8: В роде 4 пространство куспид-форм одномерно, натянуто на форму Шоттки, а пространство форм двумерно. Если род 8, то куспидных форм нет.
Бугорков нет, если вес рода превышает удвоенный вес.

Таблица размеров пространств 1-го уровня модульных форм Siegel

В следующей таблице объединены результаты выше информация из бедных и Yuen (2006) и Chenevier и Ланны (2014) и Таибите (2014) .

Размеры пространств 1-го уровня куспид-форм Зигеля: модульные формы Зигеля
Масса	степень 0	степень 1	степень 2	степень 3	степень 4	степень 5	степень 6	степень 7	степень 8	степень 9	степень 10	степень 11	степень 12
0	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
2	1: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
4	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1
6	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 1	0: 0	0: 0	0: 0	0: 0
8	1: 1	0: 1	0: 1	0: 1	1: 2	0: 2	0: 2	0: 2	0: 2
10	1: 1	0: 1	1: 2	0: 2	1: 3	0: 3	1: 4	0: 4	1:	0:	0:
12	1: 1	1: 2	1: 3	1: 4	2: 6	2: 8	3: 11	3: 14	4: 18	2:20	2: 22	1: 23	1: 24
14	1: 1	0: 1	1: 2	1: 3	3: 6	3: 9	9: 18	9: 27
16	1: 1	1: 2	2: 4	3: 7	7: 14	13:27	33:60	83: 143
18	1: 1	1: 2	2: 4	4: 8	12:20	28: 48	117: 163
20	1: 1	1: 2	3: 5	6: 11	22: 33	76: 109	486: 595
22	1: 1	1: 2	4: 6	9:15	38:53	186: 239
24	1: 1	2: 3	5: 8	14: 22
26	1: 1	1: 2	5: 7	17: 24
28	1: 1	2: 3	7: 10	27: 37
30	1: 1	2: 3	8: 11	34: 45

Принцип Кохера

Теорема, известная как принцип Кохера, утверждает, что если - модулярная форма Зигеля веса , уровня 1 и степени , то ограничена на подмножествах формы ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ rho}$ ${\ displaystyle g> 1}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {g}}$

{\ displaystyle \ left \ {\ tau \ in {\ mathcal {H}} _ {g} \ | {\ textrm {Im}} (\ tau)> \ epsilon I_ {g} \ right \},}

где . Следствием этой теоремы является тот факт, что модулярные формы Зигеля степени имеют разложения Фурье и, таким образом, голоморфны на бесконечности. ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle g> 1}$

Приложения к физике

В системе суперсимметричных черных дыр D1D5P в теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры, является модульной формой Зигеля. В общем, модульные формы Зигеля были описаны как потенциально способные описывать черные дыры или другие гравитационные системы.

Модульные формы Зигеля также используются в качестве производящих функций для семейств CFT2 с увеличивающимся центральным зарядом в конформной теории поля , особенно в гипотетическом соответствии AdS / CFT .

Рекомендации

^ Это было доказано Максом Кохером , Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I , Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Соответствующий принцип для модульных форм Гильберта был, по-видимому, известен ранее, после работы Фрица Гоцки, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher , Math. Анна. 100 (1928), стр. 411-37
^ ^а ^б Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры». Журнал физики высоких энергий . 2017 (4). arXiv : 1611.04588 . DOI : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057 .
^ Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодульные формы Зигеля и разреженность в AdS3 / CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11). arXiv : 1805.09336 . DOI : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037 .

Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
Duke, W .; Имамоглу, Ö. (1998), "Модульные формы Зигеля малой массы", Матем. Анна. , 310 (1): 73-82, DOI : 10.1007 / s002080050137 , МР 1600030
Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 254. Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-68649-8 , ISBN 978-3-540-11661-5 , Руководство по ремонту 0871067
van der Geer, Gerard (2008), «Модульные формы Siegel и их приложения», Модульные формы 1-2-3, 181–245 , Universitext, Берлин: Springer, стр. 181–245, arXiv : math / 0605346 , DOI : 10.1007 / 978-3-540-74119-0_3 , ISBN 978-3-540-74117-6 , Руководство по ремонту 2409679
Igusa, Jun-ichi (1962), "О модулярных формах Зигеля второго рода", Amer. J. Math. , 84 (1): 175-200, DOI : 10,2307 / 2372812 , JSTOR 2372812 , МР 0141643
Клинген, Хельмут (2003), Вводные лекции по модульным формам Зигеля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
Сигель, Карл Людвиг (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Math. Анна. , 116 : 617-657, DOI : 10.1007 / bf01597381 , МР 0001251
Тайби, Оливье (2014), Измерения пространств автоморфных форм уровня один для расщепленных классических групп с использованием формулы следа , arXiv : 1406.4247 , Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
Цуюминэ, Шигеаки (1986), «О модульных формах Зигеля степени три», Amer. J. Math. , 108 (4): 755-862, DOI : 10,2307 / 2374517 , JSTOR 2374517 , МР 0853217

[1] Это было доказано Максом Кохером , Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I , Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Соответствующий принцип для модульных форм Гильберта был, по-видимому, известен ранее, после работы Фрица Гоцки, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher , Math. Анна. 100 (1928), стр. 411-37

[entropy-2] а ^б Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры». Журнал физики высоких энергий . 2017 (4). arXiv : 1611.04588 . DOI : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057 .

[3] Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодульные формы Зигеля и разреженность в AdS3 / CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11). arXiv : 1805.09336 . DOI : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037 .

Languages

In other projects

Модульная форма Siegel - Siegel modular form

Содержание

Определение

Предварительные мероприятия