Прямоугольная функция - Rectangular function

Прямоугольная функция

Прямоугольная функция (также известная как функции прямоугольника , Rect функция , функции Pi , функция затвора , единичный импульс , или нормированная функция Boxcar ) определяются как

${\ displaystyle \ operatorname {rect} (t) = \ Pi (t) = \ left \ {{\ begin {array} {rl} 0, & {\ text {if}} | t |> {\ frac {1 } {2}} \\ {\ frac {1} {2}}, & {\ text {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1, & {\ text {если }} | t | <{\ frac {1} {2}}. \ end {array}} \ right.}$

Альтернативные определения функции могут быть 0, 1 или undefined. ${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left (\ pm {\ frac {1} {2}} \ right)}$

Отношение к функции товарного вагона

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции товарного вагона :

${\ displaystyle \ operatorname {rect} \ left ({\ frac {tX} {Y}} \ right) = u (t- (XY / 2)) - u (t- (X + Y / 2)) = u (t-X + Y / 2) -u (tXY / 2)}$

где - функция Хевисайда ; функция центрируется и имеет продолжительность от до . ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle XY / 2}$${\ displaystyle X + Y / 2}$

Преобразование Фурье прямоугольной функции

В унитарных преобразованиях Фурье прямоугольной функции являются

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi ft} \, dt = {\ frac {\ sin (\ pi f) } {\ pi f}} = \ mathrm {sinc} {(\ pi f)}, \,}$

используя обычную частоту f , и

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ mathrm {rect} (t) \ cdot e ^ {- i \ omega t } \, dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ cdot {\ frac {\ mathrm {sin} \ left (\ omega / 2 \ right)} {\ omega / 2}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ mathrm {sinc} \ left (\ omega / 2 \ right), \,}$

График нормированной функции sinc (x) (т.е. sinc (πx)) с ее спектральными частотными компонентами.

с использованием угловой частоты ω, где - ненормированная форма функции sinc . ${\ Displaystyle \ mathrm {sinc}}$

Обратите внимание, что до тех пор, пока определение импульсной функции мотивируется только ее поведением во временной области, нет оснований полагать, что осциллирующая интерпретация (то есть функция преобразования Фурье) должна быть интуитивной или непосредственно понятной людям. . Однако некоторые аспекты теоретического результата можно понять интуитивно, поскольку конечность во временной области соответствует бесконечной частотной характеристике. (И наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать бесконечному отклику во временной области.)

Связь с треугольной функцией

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

${\ Displaystyle \ mathrm {tri} = \ mathrm {rect} * \ mathrm {rect}. \,}$

Использование в вероятности

Если рассматривать прямоугольную функцию как функцию плотности вероятности , это частный случай непрерывного равномерного распределения с . Характеристическая функция является ${\ displaystyle a = -1 / 2, b = 1/2}$

${\ displaystyle \ varphi (k) = {\ frac {\ sin (k / 2)} {k / 2}},}$

а его производящая момент функция равна

${\ Displaystyle М (к) = {\ гидроразрыва {\ зп (к / 2)} {к / 2}},}$

где - функция гиперболического синуса . ${\ Displaystyle \ зп (т)}$

Рациональное приближение

Импульсная функция также может быть выражена как предел рациональной функции :

${\ displaystyle \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}}}$

Демонстрация действительности

Сначала рассмотрим случай, когда . Обратите внимание, что термин всегда положительный для целого числа . Однако и, следовательно, приближается к нулю для больших . ${\ Displaystyle | т | <{\ гидроразрыва {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t <1}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$

Следует, что:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} { 0 + 1}} = 1, | t | <{\ frac {1} {2}}}$

Во-вторых, рассмотрим случай, когда . Обратите внимание, что термин всегда положительный для целого числа . Тем не менее, и, следовательно, вырастает очень большим для больших . ${\ displaystyle | t |> {\ frac {1} {2}}}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2t> 1}$${\ displaystyle (2t) ^ {2n}}$${\ displaystyle n}$

Следует, что:

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} { + \ infty +1}} = 0, | t |> {\ frac {1} {2}}}$

В-третьих, рассмотрим случай, когда . Мы можем просто подставить в наше уравнение: ${\ displaystyle | t | = {\ frac {1} {2}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t) ^ {2n} +1}} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {1 ^ {2n} +1}} = {\ frac {1} {1 + 1}} = {\ frac {1} {2}}}$

Мы видим, что он удовлетворяет определению импульсной функции.

${\ displaystyle \ поэтому \ mathrm {rect} (t) = \ Pi (t) = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty, n \ in \ mathbb {(} Z)} {\ frac {1} {(2t ) ^ {2n} +1}} = {\ begin {cases} 0 & {\ mbox {if}} | t |> {\ frac {1} {2}} \\ {\ frac {1} {2}} & {\ mbox {if}} | t | = {\ frac {1} {2}} \\ 1 & {\ mbox {if}} | t | <{\ frac {1} {2}}. \\\ конец {case}}}$

Смотрите также

• преобразование Фурье
• Квадратная волна
• Ступенчатая функция
• Фильтр-цилиндр

использованная литература