В теории чисел , А число Хегнера (как называют по Conway и Guy) представляет собой бесквадратен положительное целое число d таким образом, что воображаемое квадратичное поле имеет класс номер 1. Эквивалентно, его кольцо целых чисел имеет уникальное разложение .
Определение таких чисел - частный случай проблемы числа классов , и они лежат в основе нескольких поразительных результатов в теории чисел.
Согласно теореме (Бейкера– ) Штарка – Хегнера существует ровно девять чисел Хегнера:
1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 и 163. (последовательность
A003173 в
OEIS )
Этот результат был предположен Гауссом и доказан с учетом незначительных недостатков Куртом Хегнером в 1952 году. Алан Бейкер и Гарольд Старк независимо доказали результат в 1966 году, и Старк далее указал, что пробел в доказательстве Хегнера был незначительным.
Полином Эйлера, производящий простые числа
Полином Эйлера, производящий простые числа
который дает (различные) простые числа для
n = 0, ..., 39, связано с числом Хегнера 163 = 4 · 41 - 1.
Рабинович доказал, что
дает простые числа тогда и только тогда, когда
дискриминант этой квадратичной функции отрицателен для числа Хегнера.
(Обратите внимание , что дает , так максимальна.)
1, 2 и 3 не имеют требуемой формы, поэтому действующие числа Хегнера равны 7, 11, 19, 43, 67, 163, что дает простые производящие функции формы Эйлера для 2, 3, 5, 11, 17, 41; эти последние цифры называются счастливые числа Эйлера по Ф. Ле Lionnais .
Почти целые числа и постоянная Рамануджана
Константа Рамануджана - это трансцендентное число
, которое является
почти целым числом в том смысле , что оно очень близко к целому :
Это число было открыто в 1859 году математиком Чарльзом Эрмитом . В апрельской статье 1975 года в журнале Scientific American обозреватель «Mathematical Games» Мартин Гарднер выдвинул ложное заявление о том, что число на самом деле является целым числом и что его предсказал гений индийской математики Шриниваса Рамануджан - отсюда и название.
Это совпадение объясняется комплексным умножением и д -разложением от J-инварианта .
Деталь
Вкратце, это целое число для
d число Хегнера, а
через q -расширение.
Если квадратичный иррационально, то
J -инвариантное является целым алгебраическим степени , то число классов из и минимального (нормированного интеграл) полиномиальная она удовлетворяет называются 'Гильберт класс многочленом. Таким образом, если мнимое квадратичное расширение имеет класс номер 1 (так что d - число Хегнера), j -инвариант является целым числом.
Д -разложения из J , с ее ряд Фурье разложение записывается в виде ряда Лорана с точки зрения , начинается , как:
Коэффициенты асимптотически растут как
и коэффициенты Младшие растут медленнее , чем , так что для , J очень хорошо аппроксимировать его первых двух слагаемых. Установка урожайности
Теперь
так,
Или,
где линейный член ошибки равен,
объясняя, почему это целое число примерно в пределах вышеуказанного.
Формулы Пи
Братья Чудновские обнаружили в 1987 году, что
доказательство которого использует тот факт, что
Подобные формулы см. В серии Рамануджана – Сато .
Другие числа Хегнера
Для четырех наибольших чисел Хегнера получаются следующие приближения.
В качестве альтернативы,
где причина квадратов связана с определенным рядом Эйзенштейна . Для чисел Хегнера нельзя получить почти целое число; даже не примечателен. Целочисленные j -инварианты сильно факторизуемы, что следует из вида
и множитель как,
Эти трансцендентные числа , помимо того, что они близко аппроксимируются целыми числами (которые являются просто алгебраическими числами степени 1), могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 3,
В корнях этих кубиков могут быть точно определяются дробями в дедекиндовым функции ETA п ( т ), модульная функцию с участием 24 - й корнем, и который объясняет 24 в приближении. Они также могут быть близко аппроксимированы алгебраическими числами степени 4,
Если обозначает выражение в скобках (например ), оно удовлетворяет соответственно
уравнениям четвертой степени
Обратите внимание на повторное появление целых чисел, а также на тот факт, что
которые с соответствующей дробной степенью являются в точности
j -инвариантами.
Аналогично для алгебраических чисел степени 6
где x s задаются соответствующим корнем шестнадцатеричных уравнений ,
с повторным появлением j -инвариантов. Эти секстики не только алгебраичны, они также разрешимы в радикалах, поскольку они разлагаются на две кубики над расширением (с первым разложением на две квадратики ). Эти алгебраические приближения могут быть точно выражены в терминах частных Дедекинда. В качестве примера пусть тогда
где коэффициенты эта - алгебраические числа, указанные выше.
Номера класса 2
Три числа 88, 148, 232, для которых мнимое квадратичное поле имеет номер класса 2, не считаются числами Хегнера, но обладают некоторыми аналогичными свойствами в терминах почти целых чисел . Например,
а также
Последовательные простые числа
Учитывая нечетное простое число p , если вычислить для (этого достаточно, потому что ), можно получить последовательные композиции, за которыми следуют последовательные простые числа, тогда и только тогда, когда p является числом Хегнера.
Для получения дополнительной информации см. Ричард Моллин "Квадратичные многочлены, порождающие последовательные различные простые числа и группы классов комплексных квадратичных полей" .
Примечания и ссылки
внешние ссылки