Теорема Штарка – Хегнера - Stark–Heegner theorem

В теории чисел , то теорема Бейкер-Хегнер-Старк утверждает , какие именно квадратичные поля мнимого числа допускают уникальные факторизации в их кольце целых чисел . Он решает частный случай проблемы числа классов Гаусса по определению числа мнимых квадратичных полей, которые имеют заданный фиксированный номер класса .

Пусть Q обозначает множество рациональных чисел , а d - неквадратное целое число . Тогда Q ( √ d ) представляет собой конечное расширение из Q степени 2, называется квадратичным расширением. Число классов из Q ( √ г ) есть число классов эквивалентности из идеалов кольца целых чисел Q ( √ г ), где два идеала I и J эквивалентны тогда и только тогда , когда существует основные идеалы ( ) и ( б ) таким образом, что ( ) Я = ( б ) J . Таким образом, кольцо целых чисел Q ( √ d ) является областью главных идеалов (и, следовательно, единственной областью факторизации ) тогда и только тогда, когда число классов Q ( √ d ) равно 1. Теорема Бейкера – Хегнера – Штарка можно тогда сформулировать следующим образом:

Если d <0, то номер класса Q ( √ d ) равен 1 тогда и только тогда, когда

Они известны как числа Хегнера .

Этот список также записывается, заменяя −1 на −4 и −2 на −8 (что не меняет поле), как:

где D интерпретируется как дискриминант ( числового поля или эллиптической кривой с комплексным умножением ). Это более стандартно, поскольку D в этом случае являются фундаментальными дискриминантами .

История

Этот результат был впервые высказан Гауссом в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). По сути, это было доказано Куртом Хегнером в 1952 году, но в доказательстве Хегнера были некоторые незначительные пробелы, и теорема не была принята до тех пор, пока Гарольд Старк не дал полное доказательство в 1967 году, которое имело много общего с работой Хегнера, но достаточно много различий, чтобы Старк рассматривал доказательства. Быть другим. Хегнер «умер прежде, чем кто-либо действительно понял, что он сделал». Старк формально заполнил пробел в доказательстве Хегнера в 1969 году (в других современных работах были представлены различные аналогичные доказательства с помощью модульных функций, но Старк сосредоточился на явном заполнении пробела Хегнера).

Алан Бейкер дал совершенно другое доказательство немного раньше (1966 г.), чем работа Старка (или, точнее, Бейкер сократил результат до конечного количества вычислений, причем работа Старка в его диссертации 1963/4 г. уже обеспечивала это вычисление) и получил медаль Филдса. за его методы. Позднее Старк указал, что доказательство Бейкера, в котором используются линейные формы от трех логарифмов, можно свести только к двум логарифмам, тогда как результат был известен еще с 1949 года Гельфондом и Линником.

В статье Старка 1969 года ( Stark 1969a ) также цитируется текст 1895 года Генриха Мартина Вебера и отмечается, что, если бы Вебер «только сделал наблюдение, что сводимость [определенного уравнения] привела бы к диофантовому уравнению , проблема первого класса была бы были решены 60 лет назад ». Брайан Берч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модульных функций перестала интересовать на полвека: «К сожалению, в 1952 году не осталось никого, кто достаточно разбирался в алгебре Вебера, чтобы оценить достижения Хегнера».

Дойринг, Сигель и Чоула в первые годы после Старка дали несколько вариативные доказательства с помощью модульных функций . Другие версии в этом жанре также появлялись с годами. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна (хотя опять же с использованием модульных функций). И снова в 1999 году Имин Чен дал другое доказательство варианта с помощью модульных функций (следуя схеме Сигеля).

Работа Гросса и Загьера (1986) ( Gross & Zagier 1986 ) в сочетании с работой Голдфельда (1976) также дает альтернативное доказательство.

Реальный случай

С другой стороны, неизвестно, существует ли бесконечно много d > 0, для которых Q ( √ d ) имеет класс номер 1. Результаты вычислений показывают, что существует много таких полей. Number Fields с классом номер один содержит список некоторых из них.

Примечания

использованная литература