Четвертое взаимодействие - Quartic interaction

В квантовой теории поля , квартик взаимодействие представляет собой тип самовоздействия в скалярном поле . Другие типы взаимодействий четвертой степени можно найти в теме четырехфермионных взаимодействий . Классическое свободное скалярное поле удовлетворяет уравнению Клейна – Гордона . Если обозначено скалярное поле , взаимодействие четвертой степени представляется добавлением потенциального члена к плотности лагранжиана . Константа является безразмерным в 4-мерном пространстве - времени . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle ({\ lambda} / {4!}) \ varphi ^ {4}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

В этой статье используется метрическая подпись для пространства Минковского . ${\ Displaystyle (+, -, -, -)}$

Лагранжиан действительного скалярного поля

Плотность лагранжиана для реального скалярного поля с взаимодействием четвертой степени равна

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} [\ partial ^ {\ mu} \ varphi \ partial _ {\ mu} \ varphi -m ^ {2} \ varphi ^ {2}] - {\ frac {\ lambda} {4!}} \ varphi ^ {4}.}.}$

Этот лагранжиан имеет отображение глобальной симметрии Z ₂ . ${\ displaystyle \ varphi \ to - \ varphi}$

Лагранжиан комплексного скалярного поля

Лагранжиан для комплексного скалярного поля можно мотивировать следующим образом. Для двух скалярных полей и лагранжиан имеет вид ${\ displaystyle \ varphi _ {1}}$${\ displaystyle \ varphi _ {2}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}) = {\ frac {1} {2}} [\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {1} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {1} -m ^ {2} \ varphi _ {1} ^ {2}] + {\ frac {1} {2}} [\ partial _ {\ mu} \ varphi _ {2} \ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {2} -m ^ {2} \ varphi _ {2} ^ {2}] - {\ frac {1} {4}} \ lambda (\ varphi _ {1} ^ {2} + \ varphi _ {2} ^ {2}) ^ {2},}$

который можно записать более кратко, введя комплексное скалярное поле, определяемое как ${\ displaystyle \ phi}$

${\ Displaystyle \ Phi \ Equiv {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ varphi _ {1} + я \ varphi _ {2}),}$

${\ displaystyle \ phi ^ {*} \ Equiv {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} (\ varphi _ {1} -i \ varphi _ {2}).}$

Выраженный в терминах этого скалярного поля, вышеупомянутый лагранжиан принимает вид

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (\ phi) = \ partial ^ {\ mu} \ phi ^ {*} \ partial _ {\ mu} \ phi -m ^ {2} \ phi ^ {*} \ phi - \ lambda (\ phi ^ {*} \ phi) ^ {2},}$

что, таким образом, эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2) , что можно увидеть, разложив комплексное поле на действительную и мнимую части. ${\ displaystyle \ varphi _ {1}, \ varphi _ {2}}$${\ displaystyle \ phi}$

С действительными скалярными полями у нас может быть модель с глобальной SO (N) -симметрией, задаваемой лагранжианом ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ varphi ^ {4}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi _ {1}, ..., \ varphi _ {N}) = {\ frac {1} {2}} [\ partial ^ {\ mu} \ varphi _ {a} \ partial _ {\ mu} \ varphi _ {a} -m ^ {2} \ varphi _ {a} \ varphi _ {a}] - {\ frac {1} {4}} \ lambda ( \ varphi _ {a} \ varphi _ {a}) ^ {2}, \ quad a = 1, ..., N.}$

Разложение комплексного поля на действительную и мнимую части показывает, что оно эквивалентно модели реальных скалярных полей SO (2).

Во всех вышеперечисленных моделях константа связи должна быть положительной, поскольку в противном случае потенциал был бы неограниченным снизу и не было бы стабильного вакуума. Кроме того, описанный ниже интеграл по путям Фейнмана был бы некорректным. В четырех измерениях теории имеют полюс Ландау . Это означает, что без обрезания в масштабе высоких энергий перенормировка сделала бы теорию тривиальной . ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ phi ^ {4}}$

Интегральное квантование Фейнмана

Расширение диаграммы Фейнмана может быть получено также из формулировки интеграла по путям Фейнмана . Время заказал вакуумную средние значения многочленов ф, известные как п -частичной функции Грина, построены путем интегрирования по всем возможным полям, нормированный значение вакуумного ожидания без каких - либо внешних полей,

${\ Displaystyle \ langle \ Omega | {\ mathcal {T}} \ {{\ phi} (x_ {1}) \ cdots {\ phi} (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle = {\ frac {\ int {\ mathcal {D}} \ phi \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2 } \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {\ lambda \ over 4!} \ phi ^ {4 } \ right)}} {\ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ partial _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {\ lambda \ over 4!} \ phi ^ {4} \ right)}}}.}.}$

Все эти функции Грина могут быть получены путем разложения экспоненты по J ( x ) φ ( x ) в производящую функцию

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {i \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} \ partial ^ {\ mu} \ phi \ частичный _ {\ mu} \ phi - {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} - {\ lambda \ over 4!} \ phi ^ {4} + J \ phi \ right)} = Z [0] \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n!}} \ Langle \ Omega | {\ mathcal {T}} \ {{\ phi} (x_ {1} ) \ cdots {\ phi} (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle.}$

Вращения Фитиль может быть применен , чтобы сделать время мнимым. Изменение подписи на (++++) дает интеграл статистической механики φ ⁴ по 4-мерному евклидову пространству ,

${\ Displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e ^ {- \ int d ^ {4} x \ left ({1 \ over 2} (\ nabla \ phi) ^ {2} + {m ^ {2} \ over 2} \ phi ^ {2} + {\ lambda \ over 4!} \ phi ^ {4} + J \ phi \ right)}.}$

Обычно это применяется к рассеянию частиц с фиксированными импульсами, и в этом случае полезно преобразование Фурье , дающее вместо

${\ displaystyle {\ tilde {Z}} [{\ tilde {J}}] = \ int {\ mathcal {D}} {\ tilde {\ phi}} e ^ {- \ int d ^ {4} p \ left ({1 \ over 2} (p ^ {2} + m ^ {2}) {\ tilde {\ phi}} ^ {2} - {\ tilde {J}} {\ tilde {\ phi}} + {\ lambda \ over 4!} {\ int {d ^ {4} p_ {1} \ over (2 \ pi) ^ {4}} {d ^ {4} p_ {2} \ over (2 \ pi) ^ {4}} {d ^ {4} p_ {3} \ over (2 \ pi) ^ {4}} \ delta (p-p_ {1} -p_ {2} -p_ {3}) {\ tilde {\ phi}} (p) {\ tilde {\ phi}} (p_ {1}) {\ tilde {\ phi}} (p_ {2}) {\ tilde {\ phi}} (p_ {3}) }\Правильно)}.}$

где - дельта-функция Дирака . ${\ Displaystyle \ дельта (х)}$

Стандартный прием для вычисления этого функционального интеграла - записать его как произведение экспоненциальных множителей, схематично:

${\ displaystyle {\ tilde {Z}} [{\ tilde {J}}] = \ int {\ mathcal {D}} {\ tilde {\ phi}} \ prod _ {p} \ left [e ^ {- (p ^ {2} + m ^ {2}) {\ tilde {\ phi}} ^ {2} / 2} e ^ {- \ lambda / 4! \ int {d ^ {4} p_ {1} \ над (2 \ pi) ^ {4}} {d ^ {4} p_ {2} \ over (2 \ pi) ^ {4}} {d ^ {4} p_ {3} \ over (2 \ pi) ^ {4}} \ delta (p-p_ {1} -p_ {2} -p_ {3}) {\ tilde {\ phi}} (p) {\ tilde {\ phi}} (p_ {1}) {\ tilde {\ phi}} (p_ {2}) {\ tilde {\ phi}} (p_ {3})} e ^ {{\ tilde {J}} {\ tilde {\ phi}}} \ right ].}$

Вторые два экспоненциальных множителя можно разложить в виде степенных рядов, и комбинаторику этого разложения можно представить графически. Интеграл с λ = 0 можно рассматривать как произведение бесконечного числа элементарных гауссовских интегралов, а результат можно выразить как сумму диаграмм Фейнмана , вычисленных с использованием следующих правил Фейнмана:

• Каждое поле в n- точечной евклидовой функции Грина представлено внешней линией (полуребром) на графике и связано с импульсом p .${\ Displaystyle {\ тильда {\ phi}} (р)}$
• Каждая вершина представлена ​​множителем -λ .
• При заданном порядке λ ^k все диаграммы с n внешними линиями и k вершинами построены так, что импульсы, текущие в каждую вершину, равны нулю. Каждая внутренняя линия представлена ​​множителем 1 / ( q ² + m ² ), где q - импульс, протекающий через эту линию.
• Любые неограниченные импульсы интегрируются по всем значениям.
• Результат делится на коэффициент симметрии, который представляет собой количество способов перегруппировки линий и вершин графа без изменения его связности.
• Не включайте графики, содержащие «вакуумные пузыри», связанные подграфы без внешних линий.

Последнее правило учитывает эффект деления на . Правила Фейнмана для пространства Минковского аналогичны, за исключением того, что каждая вершина представлена ​​как , а каждая внутренняя линия представлена ​​множителем i / ( q ² - m ² + i ε ), где ε- член представляет небольшое вращение Вика, необходимое для сделать гауссовский интеграл в пространстве Минковского сходящимся. ${\ displaystyle {\ tilde {Z}} [0]}$${\ displaystyle -i \ lambda}$ 

Перенормировка

Интегралы по неограниченным импульсам, называемые «петлевыми интегралами», в графах Фейнмана обычно расходятся. Обычно это выполняется с помощью перенормировки , которая представляет собой процедуру добавления расходящихся контрчленов к лагранжиану таким образом, чтобы диаграммы, построенные из исходного лагранжиана и контрчленов, были конечными. При этом необходимо ввести масштаб перенормировки, от которого зависят константа связи и масса. Именно эта зависимость приводит к полюсу Ландау, упомянутому ранее, и требует, чтобы обрезание сохранялось конечным. В качестве альтернативы, если обрезание может стремиться к бесконечности, полюса Ландау можно избежать, только если перенормированная связь стремится к нулю, что делает теорию тривиальной .

Спонтанное нарушение симметрии

Интересная особенность может возникнуть, если m ² станет отрицательным, но при этом λ останется положительным. В этом случае вакуум состоит из двух состояний с самой низкой энергией, каждое из которых спонтанно нарушает глобальную симметрию Z ₂ исходной теории. Это приводит к появлению интересных коллективных состояний типа доменных стенок . В теории O (2) вакуум будет лежать на окружности, и выбор одного из них спонтанно нарушит симметрию O (2). Непрерывная нарушенная симметрия приводит к бозону Голдстоуна . Этот тип спонтанного нарушения симметрии является важным компонентом механизма Хиггса .

Самопроизвольное нарушение дискретных симметрий

Простейшая релятивистская система, в которой мы можем наблюдать спонтанное нарушение симметрии, - это система с одним скалярным полем с лагранжианом ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi) = {\ frac {1} {2}} (\ partial \ varphi) ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ mu ^ { 2} \ varphi ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ lambda \ varphi ^ {4} \ Equiv {\ frac {1} {2}} (\ partial \ varphi) ^ {2} - V (\ varphi),}$

где и ${\ displaystyle \ mu ^ {2}> 0}$

${\ Displaystyle V (\ varphi) \ Equiv - {\ frac {1} {2}} \ mu ^ {2} \ varphi ^ {2} + {\ frac {1} {4}} \ lambda \ varphi ^ { 4}.}$

Минимизация потенциала по отношению к приводит к ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle V '(\ varphi _ {0}) = 0 \ Longleftrightarrow \ varphi _ {0} ^ {2} \ Equiv v ^ {2} = {\ frac {\ mu ^ {2}} {\ lambda} }.}$

Теперь мы расширяем поле вокруг этого минимального письма

${\ Displaystyle \ varphi (х) = v + \ sigma (x),}$

и подставляя в лагранжиан, получаем

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} (\ varphi) = \ underbrace {- {\ frac {\ mu ^ {4}} {4 \ lambda}}} _ {\ text {неважная константа}} + \ underbrace { {\ frac {1} {2}} [(\ partial \ sigma) ^ {2} - ({\ sqrt {2}} \ mu) ^ {2} \ sigma ^ {2}]} _ {\ text { массивное скалярное поле}} + \ underbrace {(- \ lambda v \ sigma ^ {3} - {\ frac {\ lambda} {4}} \ sigma ^ {4})} _ {\ text {самовзаимодействия}} .}$

где мы замечаем, что скаляр теперь имеет положительный массовый член. ${\ displaystyle \ sigma}$

Мышление с точки зрения ожидаемых значений вакуума позволяет нам понять, что происходит с симметрией, когда она спонтанно нарушается. Исходный лагранжиан был инвариантен относительно симметрии . С ${\ displaystyle Z_ {2}}$${\ displaystyle \ varphi \ rightarrow - \ varphi}$

${\ displaystyle \ langle \ Omega | \ varphi | \ Omega \ rangle = \ pm {\ sqrt {\ frac {6 \ mu ^ {2}} {\ lambda}}}}$

оба минимума, должно быть два разных вакуума: с ${\ displaystyle | \ Omega _ {\ pm} \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle \ Omega _ {\ pm} | \ varphi | \ Omega _ {\ pm} \ rangle = \ pm {\ sqrt {\ frac {6 \ mu ^ {2}} {\ lambda}}}. }$

Поскольку симметрия принимает , она должна принимать также. Два возможных вакуума для теории эквивалентны, но нужно выбрать один. Хотя кажется, что в новом лагранжиане симметрия исчезла, она все еще существует, но теперь действует так. Это общая черта спонтанно нарушенных симметрий: вакуум нарушает их, но на самом деле они не нарушаются в лагранжиане, а просто скрыты. , и часто реализуется только нелинейным образом. ${\ displaystyle Z_ {2}}$${\ displaystyle \ varphi \ rightarrow - \ varphi}$${\ displaystyle | \ Omega _ {+} \ rangle \ leftrightarrow | \ Omega _ {-} \ rangle}$${\ displaystyle Z_ {2}}$${\ displaystyle \ sigma \ rightarrow - \ sigma -2v.}$

Точные решения

Существует набор точных классических решений уравнения движения теории, записанных в виде

${\ displaystyle \ partial ^ {2} \ varphi + \ mu _ {0} ^ {2} \ varphi + \ lambda \ varphi ^ {3} = 0}$

что можно записать для безмассового случая как ${\ displaystyle \ mu _ {0} = 0}$

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ pm \ mu \ left ({\ frac {2} {\ lambda}} \ right) ^ {1 \ over 4} {\ rm {sn}} (p \ cdot x + \ тета, -1),}$

с эллиптической функции Якоби и двух постоянных интегрирования, при условии , что следующее дисперсионное соотношение имеет место ${\ displaystyle \, {\ rm {sn \!}}}$${\ displaystyle \, \ mu, \ theta}$

${\ displaystyle p ^ {2} = \ mu ^ {2} \ left ({\ frac {\ lambda} {2}} \ right) ^ {1 \ over 2}.}$

Интересно то, что мы начали с безмассового уравнения, но точное решение описывает волну с дисперсионным соотношением, соответствующим массивному решению. Когда массовый член не равен нулю, получается

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ pm {\ sqrt {\ frac {2 \ mu ^ {4}} {\ mu _ {0} ^ {2} + {\ sqrt {\ mu _ {0} ^ {) 4} +2 \ lambda \ mu ^ {4}}}}}} {\ rm {sn}} \ left (p \ cdot x + \ theta, {\ sqrt {\ frac {- \ mu _ {0} ^ { 2} + {\ sqrt {\ mu _ {0} ^ {4} +2 \ lambda \ mu ^ {4}}}} {- \ mu _ {0} ^ {2} - {\ sqrt {\ mu _ {0} ^ {4} +2 \ lambda \ mu ^ {4}}}}}} \ right)}$

теперь дисперсионное соотношение

${\ displaystyle p ^ {2} = \ mu _ {0} ^ {2} + {\ frac {\ lambda \ mu ^ {4}} {\ mu _ {0} ^ {2} + {\ sqrt {\ mu _ {0} ^ {4} +2 \ lambda \ mu ^ {4}}}}}.}$

Наконец, для случая нарушения симметрии имеем

${\ displaystyle \ varphi (x) = \ pm v \ cdot {\ rm {dn}} (p \ cdot x + \ theta, i),}$

быть и следующая дисперсия имеет место соотношение ${\ displaystyle v = {\ sqrt {\ frac {2 \ mu _ {0} ^ {2}} {3 \ lambda}}}}$

${\ displaystyle p ^ {2} = {\ frac {\ lambda v ^ {2}} {2}}.}$

Эти волновые решения интересны тем, что, несмотря на то, что мы начали с уравнения с неправильным знаком массы, уравнение дисперсии имеет верное значение. Кроме того, функция Якоби не имеет действительных нулей, поэтому поле никогда не равно нулю, а движется вокруг заданного постоянного значения, которое изначально выбрано для описания спонтанного нарушения симметрии. ${\ displaystyle \, {\ rm {dn}} \!}$

Доказательство единственности может быть предоставлено, если мы заметим, что решение можно искать в форме будучи . Тогда уравнение в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением, которое определяет эллиптическую функцию Якоби с удовлетворением собственному соотношению дисперсии. ${\ Displaystyle \ varphi = \ varphi (\ xi)}$${\ Displaystyle \ xi = p \ cdot x}$${\ displaystyle p}$

Смотрите также

• Теория скалярного поля
• Квантовая тривиальность
• Полюс Ландау
• Перенормировка
• Механизм Хиггса
• Бозон Голдстоуна
• Потенциал Коулмана – Вайнберга

использованная литература

дальнейшее чтение

• 'т Хоофт, Г. , "Концептуальные основы квантовой теории поля" ( онлайн-версия ).
• Базганди, Мустафа (август 2019 г.). "Симметрии Ли и решения подобия уравнения фи-четыре". Индийский математический журнал . 61 (2): 187–197.