Мощная p -группа -Powerful p-group

В математике , в области теории групп , особенно при изучении p -групп и про- p -групп , концепция мощных p -групп играет важную роль. Они были введены в ( Lubotzky & Mann 1987 ), где дан ряд приложений, включая результаты по множителям Шура . Мощные р -группа используется при изучении автоморфизмов из р -группы ( Хухро 1998 ), решения проблемы Бернсайд ( Vaughan-Lee 1993 ), классификация конечных р -групп через CoClass догадки ( Leedham-Green & Маккей 2002 ), и при условии , отличный способ понимания аналитических про- р -групп ( Dixon и др. 1991 ).

Формальное определение

Конечная p -группа называется мощной, если коммутаторная подгруппа содержится в подгруппе для нечетного или если содержится в подгруппе для . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle [G, G]}$${\ Displaystyle G ^ {p} = \ langle g ^ {p} | g \ in G \ rangle}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle [G, G]}$${\ displaystyle G ^ {4}}$${\ displaystyle p = 2}$

Свойства мощных p -групп

Мощные p -группы обладают многими свойствами, аналогичными абелевым группам , и, таким образом, обеспечивают хорошую основу для изучения p -групп. Каждую конечную p -группу можно выразить как сечение мощной p -группы.

Мощные р -группа также полезна при изучении про- р групп , поскольку она обеспечивает простой способ для характеристики р -адических аналитических групп (группы , которые являются многообразием над р -адических числами): Конечнопорожденной про- р группой является р -адический аналитический тогда и только тогда, когда он содержит мощную открытую нормальную подгруппу : это частный случай глубокого результата Мишеля Лазара (1965).

Некоторые свойства, подобные абелевым p -группам, следующие: если это мощная p -группа, то: ${\ displaystyle G}$

• Подгруппа Фраттини из обладает свойством${\ Displaystyle \ Phi (G)}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ Phi (G) = G ^ {p}.}$
• ${\ Displaystyle G ^ {p ^ {k}} = \ {g ^ {p ^ {k}} | g \ in G \}}$для всех То есть, группа , порожденная по - й степеней именно набор из й степеней.${\ Displaystyle к \ geq 1.}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$
• Если тогда для всех${\ Displaystyle G = \ langle g_ {1}, \ ldots, g_ {d} \ rangle}$${\ displaystyle G ^ {p ^ {k}} = \ langle g_ {1} ^ {p ^ {k}}, \ ldots, g_ {d} ^ {p ^ {k}} \ rangle}$${\ Displaystyle к \ geq 1.}$
• Й записи в нижней центральной серии из обладает свойством для всех${\ displaystyle k}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ гамма _ {к} (G) \ leq G ^ {p ^ {k-1}}}$${\ Displaystyle к \ geq 1.}$
• Каждая фактор-группа мощной p -группы является мощной.
• Prüfer ранг из равен минимальному числу образующих${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G.}$

Вот некоторые менее абелевы свойства: если это мощная p -группа, то: ${\ displaystyle G}$

• ${\ displaystyle G ^ {p ^ {k}}}$ мощный.
• Подгруппы из не обязательно сильны.${\ displaystyle G}$

Рекомендации

• Лазар, Мишель (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ. Математика. IHES 26 (1965), 389-603.
• Диксон, JD; дю Сотуа, МПФ ; Mann, A .; Сигал, Д. (1991), Аналитические про-p-группы , Cambridge University Press , ISBN 0-521-39580-1, Руководство по ремонту  1152800
• Хухро, EI (1998), p-автоморфизмы конечных p-групп , Cambridge University Press , DOI : 10.1017 / CBO9780511526008 , ISBN 0-521-59717-X, Руководство по ремонту  1615819
• Лидхэм-Грин, CR ; Маккей, Сьюзан (2002), Структура групп с простым степенным порядком , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, 27 , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853548-5, MR  1918951
• Любоцкий Александр ; Манн, Avinoam (1987), "Мощные р-группа И. конечных групп", Ж. Алгебра , 105 (2): 484-505, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (87) 90211-0 , МР  0873681
• Воан-Ли, Майкл (1993), Ограниченная проблема Бернсайда (2-е изд.), Oxford University Press , ISBN 0-19-853786-7, Руководство по ремонту  1364414