Взаимный полином - Reciprocal polynomial

В алгебре , учитывая многочлен

${\ displaystyle p (x) = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x ^ {n},}$

с коэффициентами из произвольного поля , его обратный многочлен или отраженный многочлен , обозначаемый p ^∗ или p ^R , является многочленом

${\ displaystyle p ^ {*} (x) = a_ {n} + a_ {n-1} x + \ cdots + a_ {0} x ^ {n} = x ^ {n} p (x ^ {- 1} ).}$

То есть коэффициенты при p ^∗ являются коэффициентами при p в обратном порядке. Они естественным образом возникают в линейной алгебре , как характеристического полинома от обратной матрицы .

В частном случае, когда поле представляет собой комплексные числа , когда

${\ displaystyle p (z) = a_ {0} + a_ {1} z + a_ {2} z ^ {2} + \ cdots + a_ {n} z ^ {n},}$

сопряженное возвратный многочлен , обозначаемый р ^† , определяется,

${\ displaystyle p ^ {\ dagger} (z) = {\ overline {a_ {n}}} + {\ overline {a_ {n-1}}} z + \ cdots + {\ overline {a_ {0}}} z ^ {n} = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}},}$

где обозначает комплексное сопряжение с , а также называется возвратным многочленом , когда не может возникнуть никакой путаницы. ${\ displaystyle {\ overline {a_ {i}}}}$${\ displaystyle a_ {i}}$

Многочлен p называется самовзаимным или палиндромным, если p ( x ) = p ^∗ ( x ) . Коэффициенты самовзаимного многочлена удовлетворяют условию a _i = a _{n - i} для всех i . В сопряженном обратном случае коэффициенты должны быть действительными, чтобы удовлетворять условию.

Характеристики

Взаимные многочлены имеют несколько связей со своими исходными многочленами, в том числе:

1. deg p = deg p ^∗
2. p ( x ) = x ⁿ p ^∗ ( x ⁻¹ )
3. α является корнем многочлена p тогда и только тогда, когда α ⁻¹ является корнем p ^∗ .
4. Если р ( х ) ≠ х , то р является неприводимым тогда и только тогда , когда р ^* неприводимо.
5. р является примитивным тогда и только тогдакогда р ^* примитивно.

Могут быть получены другие свойства обратных многочленов, например:

• Самовзаимный многочлен нечетной степени делится на част x + 1, следовательно, не является неприводимым, если его степень> 1.

Палиндромные и антипалиндромные многочлены

Самовзаимный многочлен также называется палиндромом, потому что его коэффициенты, когда многочлен записывается в порядке возрастания или убывания степеней, образуют палиндром . То есть, если

${\ Displaystyle P (x) = \ sum _ {я = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}$

есть многочлен степени п , то Р является палиндромическим , если _я = а _{п - я} для я = 0, 1, ..., п . Некоторые авторы используют термины палиндромические и взаимные взаимозаменяемыми.

Аналогично, многочлен P степени n называется антипалиндромным, если a _i = - a _{n - i} для i = 0, 1, ..., n . То есть многочлен P является antipalindromic , если Р ( х ) = - Р ^* ( х ) .

Примеры

Из свойств биномиальных коэффициентов следует, что многочлены P ( x ) = ( x + 1) ⁿ палиндромны для всех натуральных чисел n , а многочлены Q ( x ) = ( x - 1) ⁿ палиндромны, когда n даже и antipalindromic , когда п является нечетным .

Другие примеры палиндромных многочленов включают циклотомические многочлены и многочлены Эйлера .

Характеристики

• Если a является корнем полинома, который является палиндромным или антипалиндромным, то 1/атакже является корнем и имеет такую ​​же кратность .
• Верно и обратное: если многочлен таков, что если a является корнем, то1/а также является корнем той же кратности, тогда многочлен либо палиндромный, либо антипалиндромный.
• Для любого многочлена q многочлен q + q ^∗ палиндромен, а многочлен q - q ^∗ антипалиндромен.
• Отсюда следует, что любой многочлен q можно записать как сумму палиндромного и антипалиндромного многочлена, поскольку q = ( q + q ^∗ ) / 2 + ( q - q ^∗ ) / 2 .
• Произведение двух палиндромных или антипалиндромных многочленов является палиндромным.
• Произведение палиндромного полинома и антипалиндромного полинома является антипалиндромным.
• Палиндромный многочлен нечетной степени делится на x + 1 (он имеет –1 в качестве корня), и его частное по x + 1 также является палиндромным.
• Антипалиндромный многочлен делится на x - 1 (он имеет 1 в качестве корня), а его частное по x - 1 является палиндромным.
• Антипалиндромный многочлен четной степени делится на x ² - 1 (у него есть корни −1 и 1), а его частное по x ² - 1 является палиндромным.
• Если p ( x ) - палиндромный многочлен четной степени 2 d , то существует многочлен q степени d такой, что p ( x ) = x ^d q ( x +1/Икс) (Дюран, 1961).
• Если p ( x ) - монический антипалиндромный многочлен четной степени 2 d над полем k с нечетной характеристикой , то его можно однозначно записать как p ( x ) = x ^d ( Q ( x ) - Q (1/Икс)) , где Q - унитарный многочлен степени d без постоянного члена.
• Если антипалиндромный многочлен P имеет четную степень 2 n , то его «средний» коэффициент (степени n ) равен 0, поскольку a _n = - a _{2 n  -  n} .

Реальные коэффициенты

Многочлен с действительными коэффициентами, все комплексные корни которого лежат на единичной окружности комплексной плоскости (то есть все корни имеют модуль 1), является либо палиндромным, либо антипалиндромным.

Сопряженные обратные многочлены

Многочлен является сопряженным обратным, если и самообратимым, если для масштабного коэффициента ω на единичной окружности . ${\ Displaystyle р (х) \ эквив р ^ {\ кинжал} (х)}$${\ Displaystyle р (х) = \ омега р ^ {\ кинжал} (х)}$

Если p ( z ) - минимальный многочлен от z ₀ с | z ₀ | = 1, z ₀ ≠ 1 и p ( z ) имеет действительные коэффициенты, то p ( z ) взаимно взаимно. Это следует потому, что

${\ displaystyle z_ {0} ^ {n} {\ overline {p (1 / {\ bar {z_ {0}}})}} = z_ {0} ^ {n} {\ overline {p (z_ {0 })}} = z_ {0} ^ {n} {\ bar {0}} = 0.}$

Таким образом, z ₀ является корнем многочлена степени n . Но минимальный многочлен единственен, поэтому ${\ displaystyle z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}}}$

${\ displaystyle cp (z) = z ^ {n} {\ overline {p ({\ bar {z}} ^ {- 1})}}}$

для некоторой константы с , т . Суммируйте от i = 0 до n и обратите внимание, что 1 не является корнем p . Мы заключаем, что c = 1 . ${\ displaystyle ca_ {i} = {\ overline {a_ {ni}}} = a_ {ni}}$

Как следствие, круговые многочлены Φ _n взаимно обратны при n > 1 . Это используется в специальном сите числового поля, чтобы числа вида x ¹¹ ± 1, x ¹³ ± 1, x ¹⁵ ± 1 и x ²¹ ± 1 можно было разложить на множители с использованием алгебраических факторов с использованием многочленов степени 5, 6, 4 и 6 соответственно - обратите внимание, что φ ( функция Эйлера ) показателей составляет 10, 12, 8 и 12.

Применение в теории кодирования

Обратный многочлен находит применение в теории кодов с исправлением циклических ошибок . Предположим, что x ⁿ - 1 можно разложить на произведение двух многочленов, скажем, x ⁿ - 1 = g ( x ) p ( x ) . При г ( х ) генерирует циклический код C , то обратный полином р ^* генерирует C ^⊥ , то ортогональное дополнение из C . Кроме того , С является самоортогональным (то есть, C ⊆ C ^⊥ ) , если и только если р ^* делит г ( х ) .

Смотрите также

• Теорема Кона

Примечания

использованная литература

• Плесс, Вера (1990), Введение в теорию кодов с исправлением ошибок (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley-Interscience, ISBN 0-471-61884-5
• Роман, Стивен (1995), Теория поля , Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94408-7
• Эмиль Дюран (1961) Solutions numériques des équations algrébriques I, Masson et Cie: XV - полиномы не имеют коэффициентов симметричных или антисимметричных, с. 140-141.

внешние ссылки

• «Основная теорема для палиндромных многочленов» . MathPages.com .
• Взаимный полином (в MathWorld )