Некоммутативная топология - Noncommutative topology

В математике , некоммутативная топология представляет собой термин , используемый для связи между топологическими и C * -алгебраическими понятиями. Этот термин имеет свои истоки в теореме Гельфанда-Наймарка , что предполагает двойственность в категории в локально компактных хаусдорфовых пространств и категории коммутативной C * -алгебр. Некоммутативная топология связана с аналитической некоммутативной геометрией .

Примеры

Предпосылка некоммутативной топологии состоит в том, что некоммутативную C * -алгебру можно рассматривать как алгебру комплекснозначных непрерывных функций на «некоммутативном пространстве», которое не существует классически. Некоторые топологические свойства могут быть сформулированы как свойства C * -алгебр без ссылки на коммутативность или лежащее в основе пространство, и поэтому имеют немедленное обобщение. Среди них:

Отдельным элементам коммутативной C * -алгебры соответствуют непрерывные функции. Таким образом, определенные типы функций могут соответствовать определенным свойствам C * -алгебры. Например, самосопряженные элементы коммутативной C * -алгебры соответствуют действительнозначным непрерывным функциям. Кроме того , прогнозы (т.е. Самосопряженных идемпотенты ) соответствует индикаторным функциям из замкнутых множеств .

Категориальные конструкции приводят к некоторым примерам. Например, копроизведение пространств является дизъюнктным объединением и, таким образом, соответствует прямой сумме алгебр , которая является произведением C * -алгебр. Точно так же топология произведения соответствует копроизведению C * -алгебр, тензорному произведению алгебр . В более специализированном контексте компактификации топологий соответствуют унитизации алгебр. Таким образом, одноточечная компактификация соответствует минимальной унитизации C * -алгебр, компактификация Стоуна – Чеха соответствует алгебре множителей , а множества короны соответствуют алгебрам короны .

Существуют определенные примеры свойств, в которых возможны множественные обобщения, и неясно, какое из них предпочтительнее. Например, меры вероятности могут соответствовать состояниям или состояниям трассы. Поскольку в коммутативном случае все состояния являются пустыми следовыми состояниями, неясно, необходимо ли условие следа, чтобы быть полезным обобщением.

K-теория

Одним из основных примеров этой идеи является обобщение топологической K-теории на некоммутативные C * -алгебры в форме операторной K-теории .

Дальнейшим развитием этого направления является двухвариантная версия K-теории, называемая KK-теорией , которая имеет композиционный продукт

из которых кольцевая структура в обычной K-теории является частным случаем. Продукт дает структуру категории для KK. Это было связано с соответствиями из алгебраических многообразий .

Рекомендации



Значок заглушки

Эта статья о топологии незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .