KK -теория - KK-theory

В математике , К. К. -теория является общим обобщением обоих K-гомологии и K-теории как аддитивный бивариантным функтор на разъемном С * -алгебрами . Это понятие было введено российским математиком Геннадием Каспаровым в 1980 году.

Он находился под влиянием концепции Атьи из модулей Фредгольма для теоремы об индексе Атьи-Зингера и классификация расширений в C * -алгебр по Лоуренс Г. Браун , Р. Г. Дуглас и Питер Артур Fillmore в 1977 г. В свою очередь, он имеет имела большой успех в операторном алгебраическом формализме в отношении теории индекса и классификации ядерных C * -алгебр , поскольку он был ключом к решению многих проблем операторной K-теории, таких как, например, простое вычисление K - группы. Более того, это было существенным в развитии гипотезы Баума – Конна и играет решающую роль в некоммутативной топологии .

За KK- теорией последовала серия аналогичных бифункторных конструкций, таких как E -теория и бивариантная периодическая циклическая теория , большинство из которых имеет больше теоретико-категориальных особенностей или относится к другому классу алгебр, а не к отделимому C * - алгебры или объединение групповых действий .

Определение

Следующее определение очень близко к тому, что было первоначально дано Каспаровым. Это форма, в которой большинство KK-элементов возникает в приложениях.

Пусть A и B - сепарабельные C * -алгебры, где B также считается σ-унитальной. Множество циклов - это множество троек ( H , ρ, F ), где H - счетно порожденный градуированный гильбертовый модуль над B , ρ - * -представление A на H в виде четных ограниченных операторов, коммутирующих с B , и F является ограниченным оператором в Н степени 1 который снова коммутирует с B . От них требуется выполнение условия, что

${\ Displaystyle [F, \ rho (a)], (F ^ {2} -1) \ rho (a), (FF ^ {*}) \ rho (a)}$

для a в A - все B -компактные операторы. Цикл называется вырожденным, если все три выражения равны 0 для всех a .

Два цикла называются гомологичными или гомотопными, если существует цикл между A и IB , где IB обозначает C * -алгебру непрерывных функций из [0,1] в B , такую, что существует четный унитарный оператор из 0-конец гомотопии к первому циклу и унитарный оператор от 1-конца гомотопии ко второму циклу.

КК-группа КК (А, В) между А и В , затем определяется как набор циклов по модулю Гомотопический. Она становится абелевой группой при операции прямого суммирования бимодулей в качестве сложения и класса вырожденных модулей в качестве ее нейтрального элемента.

Существуют различные, но эквивалентные определения KK-теории, в частности, определение, данное Иоахимом Кунцем, которое исключает бимодуль и «фредгольмовский» оператор F из рисунка и полностью делает акцент на гомоморфизме ρ. Точнее, его можно определить как множество гомотопических классов

${\ Displaystyle KK (A, B) = [qA, K (H) \ otimes B]}$,

из * гомоморфизмов из засекречивания алгебры Qa квази -гомоморфизмов в С * -алгеброй компактных операторов бесконечномерного сепарабельного гильбертова пространства тензорны с B . Здесь qA определяется как ядро ​​отображения C * -алгебраического свободного произведения A * A множества A с самим собой на A, определяемое тождеством обоих факторов.

Свойства

Когда один принимает C * -алгебра С комплексных чисел в качестве первого аргумента KK , как в KK ( C , B ) эта добавка группа естественно изоморфна K ₀ -группа К ₀ ( B ) второго аргумента B . В точке Cuntz зрения, K ₀ -класс B не что иное, как гомотопический класс * гомоморфизмов из комплексных чисел стабилизации B . Точно так же , когда человек принимает алгебра С ₀ ( Р ) из непрерывных функций на вещественной прямой распадающейся на бесконечности в качестве первого аргумента, полученной группы KK ( C ₀ ( R ), B ) естественным образом изоморфна с K ₁ ( B ).

Важным свойством КК -теории является так называемое произведение Каспарова , или композиционное произведение,

${\ Displaystyle КК (А, В) \ раз КК (В, С) \ к КК (А, С)}$,

которая является билинейной относительно аддитивных групповых структур. В частности, каждый элемент KK ( A , B ) дает гомоморфизм K _* ( A ) → K _* ( B ) и другой гомоморфизм K * ( B ) → K * ( A ).

Произведение может быть определено намного легче в картине Кунца, учитывая, что существуют естественные отображения из QA в A и из B в K ( H ) ⊗ B, которые индуцируют KK -эквивалентности.

Композиционное произведение дает новую категорию , объекты которой задаются сепарабельными C * -алгебрами, а морфизмы между ними задаются элементами соответствующих KK-групп. Более того, любой * -гомоморфизм A в B индуцирует элемент из KK ( A , B ), и это соответствие дает функтор из исходной категории сепарабельных C * -алгебр в . Приблизительно внутренние автоморфизмы алгебр становятся тождественными морфизмами в . ${\ displaystyle {\ mathsf {KK}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {KK}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {KK}}}$

Этот функтор универсален среди точных , гомотопически инвариантных и стабильных аддитивных функторов на категории сепарабельных C * -алгебр. Любая такая теория удовлетворяет периодичности Ботта в надлежащем смысле, поскольку удовлетворяет . ${\ displaystyle {\ mathsf {C ^ {*} \! - \! alg}} \ to {\ mathsf {KK}}}$${\ displaystyle {\ mathsf {KK}}}$

Далее продукт Каспарова можно обобщить до следующего вида:

${\ displaystyle KK (A, B \ otimes E) \ times KK (B \ otimes D, C) \ to KK (A \ otimes D, C \ otimes E).}$

В качестве частных случаев он содержит не только K-теоретическое чашечное произведение , но также K-теоретическое концевое , крестовое и наклонное произведения, а также произведение расширений.

Ноты

Ссылки

внешние ссылки

• KK-теория в nLab
• Электронная теория в nLab