Гипотеза Баума – Конна - Baum–Connes conjecture

В математике , в частности , в операторе K-теории , то гипотеза Баум-Конно предполагает связь между K-теорией из восстановленного C * -алгебра из группы и K-гомологии в классификаторе пространстве от собственных действий этой группы. Гипотеза устанавливает соответствие между различными областями математики, причем K-гомологии классифицирующего пространства связаны с геометрией, теорией дифференциальных операторов и теорией гомотопий , в то время как K-теория приведенной C * -алгебры группы представляет собой чисто аналитический объект.

Если это предположение верно, то его следствием будут некоторые старые известные гипотезы. Например, часть сюръективности влечет гипотезу Кадисона – Капланского для дискретных групп без кручения , а инъективность тесно связана с гипотезой Новикова .

Гипотеза также тесно связана с теорией индекса , так как сборка карта является своим родом показателя, и он играет важную роль в Конн " некоммутативной геометрия программе. ${\ displaystyle \ mu}$

Истоки гипотезы восходят к теории Фредгольма , теореме об индексе Атьи – Зингера и взаимодействию геометрии с операторной K-теорией, как это выражено в работах Брауна, Дугласа и Филлмора, среди многих других мотивирующих вопросов.

Формулировка

Пусть Γ - вторая счетная локально компактная группа (например, счетная дискретная группа ). Можно определить морфизм

${\ displaystyle \ mu: RK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}) \ to K _ {*} (C_ {r} ^ {*} (\ Gamma)),}$

называется ассемблерным отображением , от эквивариантных K-гомологий с -компактными носителями классифицирующего пространства собственных действий до K-теории приведенной C * -алгебры группы Γ. Индекс нижнего индекса _* может быть 0 или 1. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle {\ underline {E \ Gamma}}}$

Пол Баум и Ален Конн выдвинули следующую гипотезу (1982) об этом морфизме:

Гипотеза Баума-Конна. Карта сборки - это изоморфизм .${\ displaystyle \ mu}$

Поскольку левая часть имеет тенденцию быть более доступной, чем правая, поскольку нет никаких общих структурных теорем -алгебры, обычно рассматривают гипотезу как «объяснение» правой части. ${\ displaystyle C ^ {*}}$

Первоначальная формулировка гипотезы была несколько иной, поскольку в 1982 г. понятие эквивариантных K-гомологий еще не было распространено.

В случае , является дискретным и кручением, левая часть сводится к неэквивариантному K-гомологии с компактными носителями обычного классифицирующего пространства из . ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle B \ Gamma}$${\ displaystyle \ Gamma}$

Существует также более общая форма гипотезы, известная как гипотеза Баума – Конна с коэффициентами, где обе стороны имеют коэффициенты в форме -алгебры, на которой действуют -автоморфизмы. На языке KK написано, что карта сборки ${\ displaystyle C ^ {*}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ Gamma}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

${\ displaystyle \ mu _ {A, \ Gamma}: RKK _ {*} ^ {\ Gamma} ({\ underline {E \ Gamma}}, A) \ to K _ {*} (A \ rtimes _ {\ lambda} \ Gamma),}$

является изоморфизмом, содержащим случай без коэффициентов как случай ${\ displaystyle A = \ mathbb {C}.}$

Однако контрпримеры к гипотезе с коэффициентами были найдены в 2002 году Найджелом Хигсоном , Винсентом Лаффоргом и Жоржем Скандалисом . Однако гипотеза с коэффициентами остается активной областью исследований, поскольку она, в отличие от классической гипотезы, часто рассматривается как утверждение, касающееся определенных групп или класса групп.

Примеры

Позвольте быть целыми числами . Тогда левая часть является K-гомологии из которых является круг. Алгебра целых чисел является преобразованием коммутативного Гельфанда-Наймарка, которая сводится к преобразованию Фурье в этом случае, изоморфной алгебру непрерывных функций на окружности. Итак, правая часть - это топологическая K-теория круга. Затем можно показать, что отображение сборки является KK-теоретической двойственностью Пуанкаре, как определено Геннадием Каспаровым , что является изоморфизмом. ${\ displaystyle \ Gamma}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle B \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle C ^ {*}}$

Полученные результаты

Гипотеза без коэффициентов все еще остается открытой, хотя с 1982 года этой области уделяется большое внимание.

Гипотеза доказана для следующих классов групп:

• Дискретные подгруппы в и .${\ Displaystyle SO (п, 1)}$${\ Displaystyle СУ (п, 1)}$
• Группы со свойством Haagerup , иногда называемые aT-управляемыми группами . Это группы, которые допускают изометрическое действие на аффинном гильбертовом пространстве, которое является собственным в том смысле, что для всех и всех последовательностей элементов группы с . Примерами aT-менабельных групп являются аменабельные группы , группы Кокстера, группы , действующие должным образом на деревьях , и группы, действующие должным образом на односвязных кубических комплексах.${\ displaystyle H}$${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} g_ {n} \ xi \ к \ infty}$${\ displaystyle \ xi \ in H}$${\ displaystyle g_ {n}}$${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} g_ {n} \ к \ infty}$${\ displaystyle CAT (0)}$
• Группы, допускающие конечное представление только с одним отношением.
• Дискретные кокомпактные подгруппы вещественных групп Ли вещественного ранга 1.
• Кокомпактные решетки в или . С первых дней существования гипотезы это была давняя проблема - выявить единственную Т-группу с бесконечными свойствами, которая ей удовлетворяет. Однако такая группа была дана В. Лаффоргом в 1998 г., когда он показал, что кокомпактные решетки обладают свойством быстрого распада и, таким образом, удовлетворяют гипотезе.${\ Displaystyle SL (3, \ mathbb {R}), SL (3, \ mathbb {C})}$${\ Displaystyle SL (3, \ mathbb {Q} _ {p})}$${\ Displaystyle SL (3, \ mathbb {R})}$
• Гиперболические группы Громова и их подгруппы.
• Среди недискретных групп гипотеза была показана в 2003 г. Дж. Чабером, С. Эхтерхоффом и Р. Нестом для обширного класса всех почти связных групп (т. Е. Групп, имеющих кокомпактную компоненту связности) и всех групп -рациональных групп. точки линейной алгебраической группы над локальным полем нулевой характеристики (например ). Для важного подкласса реальных редуктивных групп гипотеза уже была показана в 1987 году Энтони Вассерманом .${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle к = \ mathbb {Q} _ {p}}$

Инъективность известна для гораздо более широкого класса групп благодаря двойственному по Дираку методу Дирака. Это восходит к идеям Майкла Атьи и в общих чертах развито Геннадием Каспаровым в 1987 году. Инъективность известна по следующим классам:

• Дискретные подгруппы связных групп Ли или виртуально связные группы Ли.
• Дискретные подгруппы p-адических групп .
• Болические группы (некоторое обобщение гиперболических групп).
• Группы, допускающие аменабельное действие на некотором компактном пространстве.

Простейшим примером группы, для которой неизвестно, удовлетворяет ли она гипотезе, является . ${\ Displaystyle SL_ {3} (\ mathbb {Z})}$

Ссылки

• Мислин, Гвидо и Валетт, Ален (2003), Правильные групповые действия и гипотеза Баума – Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 0-8176-0408-1.
• Валетт, Ален (2002), Введение в гипотезу Баума-Конна , Базель: Биркхойзер, ISBN 978-3-7643-6706-0.

внешняя ссылка

• О гипотезе Баума-Конна Дмитрия Мацнева.