Действие Намбу – Гото - Nambu–Goto action

Действие Намбу – Гото является простейшим инвариантным действием в теории бозонных струн , а также используется в других теориях, которые исследуют струноподобные объекты (например, космические струны ). Это отправная точка анализа поведения струны нулевой толщины (бесконечно тонкой) с использованием принципов лагранжевой механики . Так же , как действие для свободной точечной частицы пропорционально ее собственное время - то есть , «длина» его мировой линии - действия релятивистской струны пропорционально площадь листа которой строка следы , как он проходит через пространство.

Он назван в честь японских физиков Ёитиро Намбу и Тецуо Гото .

Задний план

Релятивистская лагранжева механика

Основной принцип лагранжевой механики, принцип стационарного действия , состоит в том, что объект, подверженный внешним воздействиям, «выберет» путь, который делает определенную величину, действие , экстремумом. Действие - это функциональная математическая взаимосвязь, которая проходит весь путь и дает одно число. Физический путь , то , что на самом деле следует объект, это путь , по которому действие «стационарное» (или экстремальные): любое малое изменение пути от физической не существенно изменить действие. (Часто это эквивалентно тому, что физический путь - это тот, для которого действие минимально.) Действия обычно записываются с использованием лагранжианов, формул, которые зависят от состояния объекта в определенной точке пространства и / или времени. В нерелятивистской механике, например, лагранжиан точечной частицы является разностью между кинетической и потенциальной энергией: . Тогда действие, часто записываемое , является интегралом этой величины от времени начала до времени окончания: ${\ displaystyle L = KU}$ ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle S = \ int _ {t_ {i}} ^ {t_ {f}} L \, dt.}

(Обычно при использовании лагранжианов мы предполагаем, что знаем начальную и конечную позиции частицы, и нас интересует путь, по которому частица перемещается между этими положениями.)

Такой подход к механике имеет то преимущество, что он легко расширяется и обобщается. Например, мы можем написать лагранжиан для релятивистской частицы, который будет действителен, даже если частица движется со скоростью, близкой к скорости света. Чтобы сохранить лоренц-инвариантность , действие должно зависеть только от величин, которые одинаковы для всех (лоренцевых) наблюдателей, то есть действие должно быть скаляром Лоренца . Самая простая такая величина - собственное время , время, измеряемое часами, которые несет частица. Согласно специальной теории относительности, все наблюдатели Лоренца, наблюдающие за движением частицы, будут вычислять одно и то же значение для величины

{\ displaystyle -ds ^ {2} = - (c \, dt) ^ {2} + dx ^ {2} + dy ^ {2} + dz ^ {2}, \}

и тогда является бесконечно малым собственным временем. Для точечной частицы, не подверженной внешним силам ( т. Е. Частицы , движущейся по инерции), релятивистское действие равно ${\ displaystyle ds / c}$

{\ Displaystyle S = -mc \ int ds.}

Мировые листы

Точно так же, как нульмерная точка очерчивает мировую линию на диаграмме пространства-времени, одномерная струна представлена мировым листом . Все мировые листы являются двумерными поверхностями, поэтому нам нужны два параметра, чтобы указать точку на мировом листе. Теоретики струн используют символы и для этих параметров. Оказывается, теории струн включают пространства более высоких измерений, чем привычный нам трехмерный мир; Теория бозонных струн требует 25 пространственных измерений и одной оси времени. Если - количество пространственных измерений, мы можем представить точку вектором ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle d}$

{\ displaystyle x = (x ^ {0}, x ^ {1}, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {d}).}

Мы описываем строку с помощью функций, которые отображают позицию в пространстве параметров ( , ) в точку в пространстве-времени. Для каждого значения и эти функции определяют уникальный вектор пространства-времени: ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ displaystyle \ sigma}$

{\ Displaystyle Икс (\ тау, \ сигма) = (Икс ^ {0} (\ тау, \ сигма), Х ^ {1} (\ тау, \ сигма), Х ^ {2} (\ тау, \ сигма ), \ ldots, X ^ {d} (\ tau, \ sigma)).}

Функции определяют форму, которую принимает мировой лист. Различные наблюдатели Лоренца будут расходиться во мнениях относительно координат, которые они присваивают определенным точкам на мировом листе, но все они должны согласиться с общей надлежащей площадью, которую имеет мировой лист. Действие Намбу – Гото выбрано пропорционально этой общей надлежащей площади. ${\ Displaystyle Х ^ {\ му} (\ тау, \ сигма)}$

Позвольте быть метрикой на -мерном пространстве-времени. Потом, ${\ displaystyle \ eta _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle (d + 1)}$

{\ displaystyle g_ {ab} = \ eta _ {\ mu \ nu} {\ frac {\ partial X ^ {\ mu}} {\ partial y ^ {a}}} {\ frac {\ partial X ^ {\ ню}} {\ partial y ^ {b}}} \}

- индуцированная метрика на мировом листе, где и . ${\ displaystyle a, b = 0,1}$ ${\ Displaystyle у ^ {0} = \ тау, у ^ {1} = \ сигма}$

Для области мирового листа справедливо следующее: ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {d} {\ mathcal {A}} = \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {-g}}}

где и ${\ Displaystyle \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma = \ mathrm {d} \ sigma \, \ mathrm {d} \ tau}$ ${\ displaystyle g = \ mathrm {det} \ left (g_ {ab} \ right) \}$

Используя обозначения, которые:

{\ displaystyle {\ dot {X}} = {\ frac {\ partial X} {\ partial \ tau}}}

а также

{\ Displaystyle X '= {\ гидроразрыва {\ partial X} {\ partial \ sigma}},}

метрику можно переписать : ${\ displaystyle g_ {ab}}$

{\ displaystyle g_ {ab} = \ left ({\ begin {array} {cc} {\ dot {X}} ^ {2} & {\ dot {X}} \ cdot X '\\ X' \ cdot { \ dot {X}} & X '^ {2} \ end {array}} \ right) \}

{\ displaystyle g = {\ dot {X}} ^ {2} X '^ {2} - ({\ dot {X}} \ cdot X') ^ {2}}

действие Намбу – Гото определяется как

{\ Displaystyle {\ mathcal {S}} \}

{\ displaystyle = - {\ гидроразрыва {T_ {0}} {c}} \ int d {\ mathcal {A}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {-g}}}

{\ displaystyle = - {\ frac {T_ {0}} {c}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {({\ dot {X}} \ cdot X ') ^ { 2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X ') ^ {2}}}, \}

где . Коэффициенты перед интегралом дают действию правильные единицы, энергию, умноженную на время. натяжение струны и скорость света. Обычно теоретики струн работают в «естественных единицах», где установлено значение 1 (вместе с постоянной Планка и постоянной Ньютона ). Кроме того, отчасти по историческим причинам вместо . С этими изменениями действие Намбу – Гото становится ${\ Displaystyle X \ cdot Y: = \ eta _ {\ mu \ nu} X ^ {\ mu} Y ^ {\ nu}}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle c}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ alpha '}$ ${\ displaystyle T_ {0}}$

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {({\ dot {X }} \ cdot X ') ^ {2} - ({\ dot {X}}) ^ {2} (X') ^ {2}}}.}.}

Эти две формы, конечно, полностью эквивалентны: выбор одной из них - вопрос условности и удобства.

Еще две эквивалентные формы:

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {2 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma {\ sqrt {{\ dot {X}) } ^ {2} - {X '} ^ {2}}},}

а также

{\ displaystyle {\ mathcal {S}} = - {\ frac {1} {4 \ pi \ alpha '}} \ int \ mathrm {d} ^ {2} \ Sigma ({\ dot {X}} ^ { 2} - {X '} ^ {2}).}

Обычно действие Намбу – Гото еще не имеет формы, подходящей для изучения квантовой физики струн. Для этого его нужно модифицировать аналогично действию точечной частицы. Это классически равно минус массе, умноженной на инвариантную длину в пространстве-времени, но должно быть заменено квадратичным выражением с тем же классическим значением. Для струн аналоговая поправка обеспечивается действием Полякова , которое классически эквивалентно действию Намбу – Гото, но дает «правильную» квантовую теорию. Однако можно построить квантовую теорию на основе действия Намбу – Гото в калибровке светового конуса .

Смотрите также

Мембрана Дирака

дальнейшее чтение

Ортин, Томас, Гравитация и струны , Кембриджские монографии, издательство Кембриджского университета (2004). ISBN 978-0-521-03546-0 .

Languages

In other projects