Зеркальная симметрия (теория струн) - Mirror symmetry (string theory)

В алгебраической геометрии и теоретической физике , зеркальная симметрия является соотношением между геометрическими объектами , называемыми Калаби-Яу . Этот термин относится к ситуации , когда два Калаби-Яу выглядят очень разные геометрический , но, тем не менее эквивалентны при использовании в качестве дополнительных измерений в теории струн .

Первые случаи зеркальной симметрии были открыты физиками. Математики заинтересовались этой связью примерно в 1990 году, когда Филип Канделас , Ксения де ла Осса , Пол Грин и Линда Паркс показали, что ее можно использовать в качестве инструмента в перечислительной геометрии , области математики, связанной с подсчетом количества решений геометрических вопросов. . Канделас и его сотрудники показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета рациональных кривых на многообразии Калаби – Яу, тем самым решив давнюю проблему. Хотя первоначальный подход к зеркальной симметрии был основан на физических идеях, которые не были поняты математически точно, некоторые из его математических предсказаний с тех пор были строго доказаны .

Сегодня зеркальная симметрия - одна из основных тем исследований чистой математики , и математики работают над математическим пониманием этой взаимосвязи на основе интуиции физиков. Зеркальная симметрия также является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн, и она использовалась для понимания аспектов квантовой теории поля , формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Основные подходы к зеркальной симметрии включают гомологической зеркальной симметрии программы Максим Концевич и SYZ гипотезу о Строминджер , Шин-Тун Яу , и Эрик Zaslow .

Обзор

Струны и компактификация

Основными объектами теории струн являются открытые и замкнутые струны .

В физике, теория струн представляет собой теоретическую основу , в которой точечные частицы в физике элементарных частиц заменены одномерных объектов , называемых строками . Эти струны выглядят как небольшие отрезки или петли обычной струны. Теория струн описывает, как струны распространяются в пространстве и взаимодействуют друг с другом. На масштабах расстояний, превышающих масштаб струны, струна будет выглядеть как обычная частица, с ее массой , зарядом и другими свойствами, определяемыми колебательным состоянием струны. Расщепление и рекомбинация струн соответствуют испусканию и поглощению частиц, вызывая взаимодействия между частицами.

Есть заметные различия между миром, описываемым теорией струн, и повседневным миром. В повседневной жизни есть три знакомых измерения пространства (вверх / вниз, влево / вправо и вперед / назад), и есть одно измерение времени (позже / раньше). Таким образом, на языке современной физики говорят, что пространство -время четырехмерно. Одна из особенностей теории струн состоит в том, что для ее математической непротиворечивости требуются дополнительные измерения пространства-времени. В теории суперструн , версии теории, которая включает в себя теоретическую идею, называемую суперсимметрией , есть шесть дополнительных измерений пространства-времени в дополнение к четырем, знакомым из повседневного опыта.

Одна из целей текущих исследований в области теории струн - разработать модели, в которых струны представляют частицы, наблюдаемые в экспериментах по физике высоких энергий. Чтобы такая модель согласовывалась с наблюдениями, ее пространство-время должно быть четырехмерным на соответствующих шкалах расстояний, поэтому нужно искать способы ограничить дополнительные измерения меньшими масштабами. В большинстве реалистичных моделей физики, основанных на теории струн, это достигается с помощью процесса, называемого компактификацией , в котором предполагается, что дополнительные измерения «замыкаются», образуя круги. В пределе, когда эти свернутые вверх измерения становятся очень маленькими, получается теория, в которой пространство-время фактически имеет меньшее количество измерений. Стандартная аналогия для этого - рассмотреть многомерный объект, например, садовый шланг. Если смотреть на шланг с достаточного расстояния, кажется, что он имеет только одно измерение - длину. Однако по мере приближения к шлангу обнаруживается, что он содержит второе измерение - его окружность. Таким образом, муравей, ползающий по поверхности шланга, будет двигаться в двух измерениях.

Многообразия Калаби – Яу.

Сечение квинтического многообразия Калаби – Яу.

Компактификацию можно использовать для построения моделей, в которых пространство-время эффективно четырехмерно. Однако не каждый способ уплотнения дополнительных измерений дает модель с правильными свойствами для описания природы. В жизнеспособной модели физики элементарных частиц компактные дополнительные измерения должны иметь форму многообразия Калаби – Яу . Многообразие Калаби – Яу - это особое пространство, которое обычно считается шестимерным в приложениях к теории струн. Он назван в честь математиков Эудженио Калаби и Шинг-Тунг Яу .

После того, как многообразия Калаби-Яу вошли в физику как способ компактификации дополнительных измерений, многие физики начали изучать эти многообразия. В конце 1980-х Ланс Диксон , Вольфганг Лерш, Кумрун Вафа и Ник Уорнер заметили, что при такой компактификации теории струн невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого две разные версии теории струн, называемые теорией струн типа IIA и типа IIB, могут быть компактифицированы на совершенно разных многообразиях Калаби – Яу, что дает начало одной и той же физике. В этой ситуации многообразия называются зеркальными многообразиями, а взаимосвязь между двумя физическими теориями называется зеркальной симметрией.

Отношения зеркальной симметрии - это частный пример того, что физики называют физической двойственностью . В общем, термин « физическая двойственность» относится к ситуации, когда две, казалось бы, разные физические теории оказываются эквивалентными нетривиальным образом. Если одну теорию можно преобразовать так, чтобы она выглядела точно так же, как другая теория, эти две называются двойственными в соответствии с этим преобразованием. Иными словами, две теории представляют собой математически разные описания одних и тех же явлений. Такие двойственности играют важную роль в современной физике, особенно в теории струн.

Независимо от того, обеспечивают ли компактификации Калаби – Яу теории струн правильное описание природы, существование зеркальной дуальности между различными теориями струн имеет важные математические последствия. Многообразия Калаби – Яу, используемые в теории струн, представляют интерес для чистой математики , а зеркальная симметрия позволяет математикам решать задачи перечислительной алгебраической геометрии - раздела математики, связанного с подсчетом числа решений геометрических вопросов. Классическая проблема перечислительной геометрии - перечислить рациональные кривые на многообразии Калаби – Яу, таком как проиллюстрированное выше. Применяя зеркальную симметрию, математики превратили эту проблему в эквивалентную задачу для зеркала Калаби – Яу, которую оказалось легче решить.

В физике зеркальная симметрия оправдана по физическим причинам. Однако математики обычно требуют строгих доказательств , не требующих обращения к физической интуиции. С математической точки зрения версия зеркальной симметрии, описанная выше, все еще является лишь предположением, но есть еще одна версия зеркальной симметрии в контексте топологической теории струн , упрощенная версия теории струн, представленная Эдвардом Виттеном , которая была строго доказано математиками. В контексте топологической теории струн зеркальная симметрия утверждает, что две теории, называемые A-моделью и B-моделью , эквивалентны в том смысле, что между ними существует двойственность. Сегодня зеркальная симметрия является активной областью математических исследований, и математики работают над более полным математическим пониманием зеркальной симметрии на основе интуиции физиков.

История

Идея зеркальной симметрии восходит к середине 1980-х годов, когда было замечено, что струна, распространяющаяся по кругу радиуса , физически эквивалентна струне, распространяющейся по кругу радиуса в соответствующих единицах . Это явление теперь известно как Т-дуальность и, как считается, тесно связано с зеркальной симметрией. В статье 1985 года Филип Канделас , Гэри Горовиц , Эндрю Строминджер и Эдвард Виттен показали, что, компактифицируя теорию струн на многообразии Калаби – Яу, можно получить теорию, примерно аналогичную стандартной модели физики элементарных частиц, которая также последовательно включает идею называется суперсимметрией. Вслед за этим многие физики начали изучать компактификации Калаби – Яу, надеясь построить реалистичные модели физики элементарных частиц, основанные на теории струн. Кумрун Вафа и другие заметили, что при такой физической модели невозможно однозначно восстановить соответствующее многообразие Калаби – Яу. Вместо этого есть два многообразия Калаби – Яу, которые порождают одну и ту же физику. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle 1 / R}$

Изучая взаимосвязь между многообразиями Калаби – Яу и некоторыми конформными теориями поля, называемыми моделями Гепнера, Брайан Грин и Ронен Плессер нашли нетривиальные примеры зеркальной взаимосвязи. Дальнейшее свидетельство этой взаимосвязи было получено в работах Филипа Канделаса, Моники Линкер и Рольфа Шиммригка, которые обследовали большое количество многообразий Калаби – Яу с помощью компьютера и обнаружили, что они образованы парами зеркал.

Математики заинтересовались зеркальной симметрией примерно в 1990 году, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для решения задач перечислительной геометрии, которые не решались десятилетиями или более. Эти результаты были представлены математикам на конференции в Исследовательском институте математических наук (ИИГС) в Беркли, Калифорния, в мае 1991 года. Во время этой конференции было замечено, что одно из чисел, вычисленных Канделасом для подсчета рациональных кривых, не согласуется с число, полученное норвежскими математиками Гейром Эллингсрудом и Стейном Арильдом Стрёмме с использованием якобы более строгих методов. Многие математики на конференции полагали, что работа Канделаса содержала ошибку, поскольку она не была основана на строгих математических аргументах. Однако, изучив свое решение, Эллингсруд и Стрёмме обнаружили ошибку в своем компьютерном коде и, исправив код, получили ответ, совпадающий с ответом, полученным Канделасом и его сотрудниками.

В 1990 году Эдвард Виттен представил топологическую теорию струн, упрощенную версию теории струн, а физики показали, что существует версия зеркальной симметрии для топологической теории струн. Это утверждение о топологической теории струн обычно используется в математической литературе как определение зеркальной симметрии. В своем выступлении на Международном конгрессе математиков в 1994 году математик Максим Концевич представил новую математическую гипотезу, основанную на физической идее зеркальной симметрии в топологической теории струн. Известный как гомологической зеркальной симметрии , эта гипотеза формализует зеркальной симметрии как эквивалентности двух математических структур: производной категории из когерентных пучков на многообразии Калаби-Яу и категории Фукая своего зеркала.

Также примерно в 1995 г. Концевич проанализировал результаты Канделаса, который дал общую формулу для задачи о подсчете рациональных кривых на квинтике трехмерного многообразия , и переформулировал эти результаты как точную математическую гипотезу. В 1996 году Александр Гивенталь опубликовал статью, в которой утверждал, что это предположение Концевича доказано. Изначально многим математикам было трудно понять эту статью, поэтому возникли сомнения в ее правильности. Впоследствии Бонг Лянь, Кефенг Лю и Шинг-Тунг Яу опубликовали независимое доказательство в серии статей. Несмотря на разногласия по поводу того, кто опубликовал первое доказательство, теперь все эти статьи рассматриваются как математическое доказательство результатов, первоначально полученных физиками с использованием зеркальной симметрии. В 2000 году Кентаро Хори и Кумрун Вафа дали еще одно физическое доказательство зеркальной симметрии, основанное на T-дуальности.

Работа над зеркальной симметрией продолжается и сегодня в связи с серьезными разработками в контексте струн на поверхностях с границами. Кроме того, зеркальная симметрия была связана со многими активными областями математических исследований, такими как соответствие Маккея , топологическая квантовая теория поля и теория условий устойчивости . В то же время продолжают вызывать беспокойство основные вопросы. Например, математикам до сих пор не хватает понимания того, как построить примеры зеркальных пар Калаби – Яу, хотя в понимании этого вопроса был достигнут прогресс.

Приложения

Перечислительная геометрия

Три черных круга на плоскости и восемь дополнительных пересекающихся кругов, касающихся этих трех.

Круги Аполлония : восемь цветных кругов касаются трех черных кругов.

Многие важные математические приложения зеркальной симметрии относятся к области математики, называемой перечислительной геометрией. В перечислительной геометрии каждый заинтересован в подсчете количества решений геометрических вопросов, обычно с использованием методов алгебраической геометрии . Одна из самых ранних задач перечислительной геометрии была поставлена около 200 г. до н.э. древнегреческим математиком Аполлонием , который спросил, сколько кругов на плоскости касается трех данных окружностей. В общем, решение проблемы Аполлония состоит в том, что таких кругов восемь.

Клебша- кубический

Перечислительные задачи в математике часто касаются класса геометрических объектов, называемых алгебраическими многообразиями, которые определяются обращением в нуль многочленов . Например, кубика Клебша (см. Иллюстрацию) определяется с помощью некоторого полинома третьей степени от четырех переменных. Знаменитый результат математиков девятнадцатого века Артура Кэли и Джорджа Сэлмона утверждает, что существует ровно 27 прямых линий, целиком лежащих на такой поверхности.

Обобщая эту проблему, можно спросить, сколько линий можно провести на пятом многообразии Калаби – Яу, таком как показанное выше, которое определяется полиномом пятой степени. Эту проблему решил немецкий математик XIX века Герман Шуберт , который обнаружил, что таких линий ровно 2875. В 1986 году геометр Шелдон Кац доказал, что количество кривых, таких как окружности, которые определяются полиномами второй степени и целиком лежат в квинтике, составляет 609 250.

К 1991 году большинство классических задач перечислительной геометрии было решено, и интерес к перечислительной геометрии начал уменьшаться. По словам математика Марка Гросса, «когда старые проблемы были решены, люди вернулись, чтобы проверить числа Шуберта с помощью современных методов, но они уже устарели». Эта область была активизирована в мае 1991 года, когда физики Филип Канделас, Ксения де ла Осса, Пол Грин и Линда Паркс показали, что зеркальную симметрию можно использовать для подсчета числа кривых степени три на квинтике Калаби-Яу. Канделас и его сотрудники обнаружили, что эти шестимерные многообразия Калаби – Яу могут содержать ровно 317 206 375 кривых третьей степени.

В дополнение к подсчету кривых третьей степени на квинтике, Канделас и его сотрудники получили ряд более общих результатов для подсчета рациональных кривых, которые выходят далеко за рамки результатов, полученных математиками. Хотя методы, использованные в этой работе, были основаны на физической интуиции, математики продолжили строго доказывать некоторые предсказания зеркальной симметрии. В частности, числовые предсказания зеркальной симметрии теперь строго доказаны.

Теоретическая физика

Помимо приложений в перечислительной геометрии, зеркальная симметрия является фундаментальным инструментом для проведения вычислений в теории струн. В A-модели топологической теории струн физически интересные величины выражаются в терминах бесконечного числа чисел, называемых инвариантами Громова – Виттена , которые чрезвычайно трудно вычислить. В B-модели вычисления могут быть сведены к классическим интегралам и намного проще. Применяя зеркальную симметрию, теоретики могут перевести сложные вычисления в A-модели в эквивалентные, но технически более простые вычисления в B-модели. Эти вычисления затем используются для определения вероятностей различных физических процессов в теории струн. Зеркальную симметрию можно комбинировать с другими двойственностями, чтобы преобразовать вычисления в одной теории в эквивалентные вычисления в другой теории. Таким образом, передавая вычисления по разным теориям, теоретики могут вычислять количества, которые невозможно вычислить без использования двойственности.

Помимо теории струн, зеркальная симметрия используется для понимания аспектов квантовой теории поля - формализма, который физики используют для описания элементарных частиц . Например, калибровочные теории - это класс высокосимметричных физических теорий, появляющихся в стандартной модели физики элементарных частиц и других разделах теоретической физики. Некоторые калибровочные теории, которые не являются частью стандартной модели, но которые, тем не менее, важны по теоретическим причинам, возникают из струн, распространяющихся на почти сингулярном фоне. Для таких теорий зеркальная симметрия является полезным вычислительным инструментом. В самом деле, зеркальная симметрия может использоваться для выполнения вычислений в важной калибровочной теории в четырех измерениях пространства-времени, которая была изучена Натаном Зайбергом и Эдвардом Виттеном и также известна в математике в контексте инвариантов Дональдсона . Существует также обобщение зеркальной симметрии, называемое трехмерной зеркальной симметрией, которое связывает пары квантовых теорий поля в трех измерениях пространства-времени.

Подходы

Гомологическая зеркальная симметрия

Открытые струны прикреплены к паре D-бран.

В теории струн и связанных с ней теориях физики брана - это физический объект, который обобщает понятие точечной частицы на более высокие измерения. Например, точечная частица может рассматриваться как брана нулевого измерения, а струна может рассматриваться как брана размерности один. Также можно рассматривать браны более высокой размерности. Слово «брана» происходит от слова «мембрана», которое относится к двумерной бране.

В теории струн струна может быть открытой (образуя сегмент с двумя концами) или закрытой (образуя замкнутую петлю). D-браны - важный класс бран, возникающих при рассмотрении открытых струн. Поскольку открытая струна распространяется в пространстве-времени, ее конечные точки должны лежать на D-бране. Буква «D» в D-бране относится к условию, которому она удовлетворяет, - граничному условию Дирихле .

Математически браны можно описать с помощью понятия категории . Это математическая структура, состоящая из объектов , а для любой пары объектов - набор морфизмов между ними. В большинстве примеров объекты являются математическими структурами (такими как множества , векторные пространства или топологические пространства ), а морфизмы - это функции между этими структурами. Можно также рассмотреть категории, в которых объекты представляют собой D-браны и морфизмы между двумя бранами, а также состояния открытых цепочек, натянутых между и . ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$

В B-модели топологической теории струн D-браны представляют собой сложные подмногообразия Калаби – Яу вместе с дополнительными данными, которые физически возникают из-за наличия зарядов на концах струн. Интуитивно можно представить себе подмногообразие как поверхность, вложенную внутрь Калаби – Яу, хотя подмногообразия также могут существовать в размерностях, отличных от двух. На математическом языке категория, имеющая эти браны в качестве объектов, известна как производная категория когерентных пучков на Калаби – Яу. В A-модели D-браны снова можно рассматривать как подмногообразия многообразия Калаби – Яу. Грубо говоря, это то, что математики называют специальными лагранжевыми подмногообразиями . Это означает, среди прочего, что они имеют половину размера пространства, в котором они сидят, и минимизируют длину, площадь или объем. Категория, объектами которой являются эти браны, называется категорией Фукая.

Производная категория когерентных пучков строится с использованием инструментов сложной геометрии , раздела математики, который описывает геометрические кривые в алгебраических терминах и решает геометрические задачи с использованием алгебраических уравнений . С другой стороны, категория Фукая строится с использованием симплектической геометрии , раздела математики, возникшего из исследований классической физики . Симплектическая геометрия изучает пространства, снабженные симплектической формой , математическим инструментом, который можно использовать для вычисления площади на двумерных примерах.

Гипотеза о гомологической зеркальной симметрии Максима Концевича утверждает, что производная категория когерентных пучков на одном многообразии Калаби – Яу в определенном смысле эквивалентна категории Фукая его зеркала. Эта эквивалентность обеспечивает точную математическую формулировку зеркальной симметрии в топологической теории струн. Кроме того, он обеспечивает неожиданный мост между двумя ветвями геометрии, а именно сложной и симплектической геометрией.

Гипотеза Строминджера – Яу – Заслоу

Тор можно рассматривать как союз бесконечно многих кругов , такие как красный в изображении. На каждую точку розового круга приходится по одному кругу.

Другой подход к пониманию зеркальной симметрии был предложен Эндрю Строминджером, Шинг-Тунг Яу и Эриком Заслоу в 1996 году. Согласно их гипотезе, ныне известной как гипотеза SYZ, зеркальную симметрию можно понять, разделив многообразие Калаби – Яу на более простые части. а затем трансформируя их, чтобы получить зеркало Калаби-Яу.

Простейшим примером многообразия Калаби – Яу является двумерный тор или бублик. Рассмотрим круг на этой поверхности, который проходит через отверстие пончика. Примером может служить красный кружок на рисунке. Таких кругов на торе бесконечно много; фактически вся поверхность представляет собой объединение таких кругов.

Можно выбрать вспомогательную окружность (розовый кружок на рисунке) так, чтобы каждая из бесконечного множества окружностей, разлагающих тор, проходила через точку . Говорят, что эта вспомогательная окружность параметризует окружности разложения, то есть существует соответствие между ними и точками . Однако круг - это больше, чем просто список, потому что он также определяет, как эти круги расположены на торе. Это вспомогательное пространство играет важную роль в гипотезе SYZ. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$

Идею разбиения тора на части, параметризованные вспомогательным пространством, можно обобщить. Увеличивая размерность с двух до четырех реальных измерений, Калаби – Яу становится поверхностью K3 . Так же, как тор был разложен на окружности, четырехмерная поверхность K3 может быть разложена на двумерные торы. В данном случае пространство представляет собой обычный шар . Каждая точка на сфере соответствует одному из двумерных торов, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «защемленным» или сингулярным торам. ${\ displaystyle B}$

Многообразия Калаби – Яу, представляющие наибольший интерес для теории струн, имеют шесть измерений. Такое многообразие можно разделить на 3-торы (трехмерные объекты, обобщающие понятие тора), параметризованные 3-сферой (трехмерное обобщение сферы). Каждая точка соответствует 3-тору, за исключением бесконечного множества «плохих» точек, которые образуют сетку из сегментов на Калаби – Яу и соответствуют сингулярным торам. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$

После того, как многообразие Калаби – Яу было разложено на более простые части, зеркальную симметрию можно понять интуитивно геометрическим способом. В качестве примера рассмотрим описанный выше тор. Представьте себе, что этот тор представляет собой «пространство-время» для физической теории . Фундаментальными объектами этой теории будут струны, распространяющиеся в пространстве-времени в соответствии с правилами квантовой механики . Одной из основных двойственностей теории струн является T-дуальность, которая гласит, что струна, распространяющаяся по кругу радиуса , эквивалентна струне, распространяющейся по кругу радиуса в том смысле, что все наблюдаемые величины в одном описании отождествляются с величинами в двойное описание. Например, струна имеет импульс, когда она распространяется по кругу, и она также может наматываться по кругу один или несколько раз. Количество витков струны по кругу называется числом намотки . Если струна имеет импульс и номер витка в одном описании, у нее будет импульс и номер витка в двойном описании. Применяя T-дуальность одновременно ко всем окружностям, которые разлагают тор, радиусы этих окружностей становятся инвертированными, и остается новый тор, который «толще» или «тоньше», чем исходный. Этот тор является зеркалом оригинального Калаби – Яу. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle 1 / R}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p}$

T-дуальность может быть расширена с окружностей на двумерные торы, возникающие при разложении поверхности K3, или на трехмерные торы, возникающие при разложении шестимерного многообразия Калаби – Яу. В общем случае гипотеза SYZ утверждает, что зеркальная симметрия эквивалентна одновременному применению T-дуальности к этим торам. В каждом случае пространство представляет собой своего рода схему, описывающую, как эти торы собираются в многообразие Калаби – Яу. ${\ displaystyle B}$

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия . Монографии по математике из глины . 4 . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
Канделас, Филипп; де ла Осса, Ксения; Грин, Пол; Паркс, Линда (1991). «Пара многообразий Калаби – Яу как точно решаемая суперконформная теория поля». Ядерная физика Б . 359 (1): 21–74. Bibcode : 1991NuPhB.359 ... 21С . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90292-6 .
Канделас, Филипп; Горовиц, Гэри; Строминджер, Эндрю; Виттен, Эдвард (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика Б . 258 : 46–74. Bibcode : 1985NuPhB.258 ... 46С . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (85) 90602-9 .
Канделас, Филипп; Линкер, Моника; Шиммригк, Рольф (1990). «Весовые многообразия Калаби – Яу ». Ядерная физика Б . 341 (1): 383–402. Bibcode : 1990NuPhB.341..383C . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90185-G . ${\ displaystyle \ mathbb {P} _ {4}}$
Диксон, Лэнс (1988). «Некоторые мировые свойства компактификаций суперструн на орбифолдах и т. Д.». ICTP Ser. Теорет. Phys . 4 : 67–126. ISBN 978-9971-5-0452-6.
Гивенталь, Александр (1996). «Эквивариантные инварианты Громова-Виттена». Уведомления о международных математических исследованиях . 1996 (13): 613–663. DOI : 10.1155 / S1073792896000414 . S2CID 554844 .
Гивенталь, Александр (1998). «Зеркальная теорема для торических полных пересечений». Топологическая теория поля, примитивные формы и связанные темы : 141–175. arXiv : alg-geom / 9701016 . Bibcode : 1998tftp.conf..141G . DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0705-4_5 . ISBN 978-1-4612-6874-1. S2CID 2884104 .
Грин, Брайан (2000). Элегантная вселенная: суперструны, скрытые измерения и поиски высшей теории . Случайный дом. ISBN 978-0-9650888-0-0.
Грин, Брайан; Плессер, Ронен (1990). «Двойственность в пространстве модулей Калаби – Яу». Ядерная физика Б . 338 (1): 15–37. Bibcode : 1990NuPhB.338 ... 15G . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90622-K .
Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Джумрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Монографии по математике из глины . 1 . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6. Архивировано 19 сентября 2006 года.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
Хори, Кентаро; Вафа, Джумран (2000). «Зеркальная симметрия». arXiv : hep-th / 0002222 .
Intriligator, Кеннет; Зайберг, Натан (1996). «Зеркальная симметрия в трехмерных калибровочных теориях». Физика Письма Б . 387 (3): 513–519. arXiv : hep-th / 9607207 . Bibcode : 1996PhLB..387..513I . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (96) 01088-X . S2CID 13985843 .
Киккава, Кейджи; Ямасаки, Масами (1984). «Эффекты Казимира в теориях суперструн». Физика Письма Б . 149 (4): 357–360. Bibcode : 1984PhLB..149..357K . DOI : 10.1016 / 0370-2693 (84) 90423-4 .
Концевич, Максим (1995a), "Перечисление рациональных кривых с помощью действий тора", Пространство модулей кривых , Биркхойзер, с. 335, arXiv : hep-th / 9405035 , doi : 10.1007 / 978-1-4612-4264-2_12 , ISBN 978-1-4612-8714-8, S2CID 16131978
Концевич, Максим (1995b). «Гомологическая алгебра зеркальной симметрии». Труды Международного конгресса математиков : 120–139. arXiv : alg-geom / 9411018 . Bibcode : 1994alg.geom.11018K . DOI : 10.1007 / 978-3-0348-9078-6_11 . ISBN 978-3-0348-9897-3. S2CID 16733945 .
Лерче, Вольфганг; Вафа, Джумрун; Уорнер, Николас (1989). «Киральные кольца в суперконформных теориях» ${\ Displaystyle {\ mathcal {N}} = 2}$ (PDF) . Ядерная физика Б . 324 (2): 427–474. Bibcode : 1989NuPhB.324..427L . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (89) 90474-4 .
Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1997). «Зеркальный принцип, я». Азиатский математический журнал . 1 (4): 729–763. arXiv : alg-geom / 9712011 . Bibcode : 1997alg.geom.12011L . DOI : 10.4310 / ajm.1997.v1.n4.a5 . S2CID 8035522 .
Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1999a). «Зеркальный принцип, II». Азиатский математический журнал . 3 : 109–146. arXiv : math / 9905006 . Bibcode : 1999math ...... 5006L . DOI : 10.4310 / ajm.1999.v3.n1.a6 . S2CID 17837291 .
Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (1999b). «Зеркальный принцип, III». Азиатский математический журнал . 3 (4): 771–800. arXiv : math / 9912038 . Bibcode : 1999math ..... 12038L . DOI : 10.4310 / ajm.1999.v3.n4.a4 .
Лиан, Бонг; Лю, Кефэн; Яу, Шинг-Тунг (2000). «Зеркальный принцип, IV». Обзоры по дифференциальной геометрии . 7 : 475–496. arXiv : математика / 0007104 . Bibcode : 2000math ...... 7104L . DOI : 10,4310 / sdg.2002.v7.n1.a15 . S2CID 1099024 .
Мак-Лейн, Сондерс (1998). Категории для рабочего математика . ISBN 978-0-387-98403-2.
Мур, Грегори (2005). "Что такое ... Брана?" (PDF) . Уведомления AMS . 52 : 214 . Проверено 6 августа +2016 .
Сакаи, Норисуке; Сенда, Икуо (1986). «Вакуумные энергии струны, компактифицированной на торе» . Успехи теоретической физики . 75 (3): 692–705. Bibcode : 1986PThPh..75..692S . DOI : 10.1143 / PTP.75.692 .
Строминджер, Эндрю; Яу, Шинг-Тунг; Заслоу, Эрик (1996). «Зеркальная симметрия - это Т-дуальность». Ядерная физика Б . 479 (1): 243–259. arXiv : hep-th / 9606040 . Bibcode : 1996NuPhB.479..243S . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (96) 00434-8 . S2CID 14586676 .
Вафа, Джумрун (1992). «Топологические зеркала и квантовые кольца». Очерки зеркальных многообразий : 96–119. arXiv : hep-th / 9111017 . Bibcode : 1991hep.th ... 11017V . ISBN 978-962-7670-01-8.
Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0-226-87033-5.
Виттен, Эдвард (1990). «О структуре топологической фазы двумерной гравитации». Ядерная физика Б . 340 (2–3): 281–332. Bibcode : 1990NuPhB.340..281W . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90449-N .
Виттен, Эдвард (1992). «Зеркальные многообразия и топологическая теория поля». Очерки зеркальных многообразий : 121–160. ISBN 978-962-7670-01-8.
Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN 978-0-465-02023-2.
Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон по математике . ISBN 978-0-691-11880-2.
Цвибах, Бартон (2009). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88032-9.

дальнейшее чтение

Популяризация

Яу, Шинг-Тунг; Надис, Стив (2010). Форма внутреннего пространства: теория струн и геометрия скрытых измерений Вселенной . Основные книги. ISBN 978-0-465-02023-2.
Заслоу, Эрик (2005). «Физматика». arXiv : физика / 0506153 .
Заслоу, Эрик (2008). «Зеркальная симметрия». В Гауэрсе, Тимоти (ред.). Принстонский компаньон по математике . ISBN 978-0-691-11880-2.

Учебники

Аспинуолл, Пол; Бриджеланд, Том; Кроу, Аластер; Дуглас, Майкл; Гросс, Марк; Капустин, Антон; Мур, Грегори; Сегал, Грэм; Сендрой, Балаж; Уилсон, PMH, ред. (2009). Дирихле Бран и зеркальная симметрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3848-8.
Кокс, Дэвид; Кац, Шелдон (1999). Зеркальная симметрия и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-2127-5.
Хори, Кентаро; Кац, Шелдон; Клемм, Альбрехт; Пандхарипанде, Рахул; Томас, Ричард; Вафа, Джумрун; Вакил, Рави; Заслоу, Эрик, ред. (2003). Зеркальная симметрия (PDF) . Американское математическое общество. ISBN 0-8218-2955-6. Архивировано 19 сентября 2006 года.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

Languages

In other projects