Теорема Лере – Хирша - Leray–Hirsch theorem

В математике , то теорема Лере-Хирша является основным результатом на алгебраической топологии из пучков волокон . Он назван в честь Жана Лере и Гая Хирша , которые независимо доказали это в конце 1940-х годов. Его можно рассматривать как мягкое обобщение формулы Кюннета , которая вычисляет когомологии пространства произведения как тензорное произведение когомологий прямых факторов. Это очень частный случай спектральной последовательности Лере .

утверждение

Настроить

Пусть - расслоение со слоем . Предположим , что для каждой степени , тем сингулярных гомологий рационального векторного пространства${\ displaystyle \ pi \ двоеточие E \ longrightarrow B}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle H ^ {p} (F) = H ^ {p} (F; \ mathbb {Q})}$

конечномерно, а включение

${\ displaystyle \ iota \ двоеточие F \ longrightarrow E}$

индуцирует сюръекцию в рациональных когомологиях

${\ displaystyle \ iota ^ {*} \ двоеточие H ^ {*} (E) \ longrightarrow H ^ {*} (F)}$.

Рассмотрим сечение этого сюръекции

${\ Displaystyle s \ двоеточие H ^ {*} (F) \ longrightarrow H ^ {*} (E)}$,

по определению это отображение удовлетворяет

${\ displaystyle \ iota ^ {*} \ circ s = \ mathrm {Id}}$.

Изоморфизм Лере – Хирша

Теорема Лере – Хирша утверждает, что линейное отображение

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} H ^ {*} (F) \ otimes H ^ {*} (B) & \ longrightarrow & H ^ {*} (E) \\\ alpha \ otimes \ beta & \ longmapsto & s (\ alpha) \ smallsmile \ pi ^ {*} (\ beta) \ end {array}}}$

является изоморфизмом -модулей. ${\ Displaystyle Н ^ {*} (В)}$

Постановка в координатах

Другими словами, если для каждого существуют классы ${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle c_ {1, p}, \ ldots, c_ {m_ {p}, p} \ in H ^ {p} (E)}$

которые ограничивают, на каждом слое , на основе когомологий в степени , карта , приведенная ниже тогда изоморфизм из модулей . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle Н ^ {*} (В)}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} H ^ {*} (F) \ otimes H ^ {*} (B) & \ longrightarrow & H ^ {*} (E) \\\ sum _ {i, j , k} a_ {i, j, k} \ iota ^ {*} (c_ {i, j}) \ otimes b_ {k} & \ longmapsto & \ sum _ {i, j, k} a_ {i, j , k} c_ {i, j} \ wedge \ pi ^ {*} (b_ {k}) \ end {array}}}$

где является базисом и, таким образом, порождает основу для${\ displaystyle \ {b_ {k} \}}$${\ Displaystyle Н ^ {*} (В)}$${\ displaystyle \ {\ iota ^ {*} (c_ {i, j}) \ otimes b_ {k} \}}$${\ displaystyle H ^ {*} (F) \ otimes H ^ {*} (B).}$

Ноты