Закон полной вероятности - Law of total probability

В теории вероятностей , то закон (или формула ) полной вероятности является основным правилом в отношении предельных вероятностей для условных вероятностей . Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован через несколько различных событий - отсюда и название.

Заявление

Закон полной вероятности является теорема , что в дискретном случае, состояния , если конечное или счетное разбиение из выборочного пространства (другими словами, набор попарно непересекающихся событий , чей союз является весь выборочное пространство) и каждое событие это измеримо , то для любого события одного и того же вероятностного пространства : ${\ displaystyle \ left \ {{B_ {n}: n = 1,2,3, \ ldots} \ right \}}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle P (A) = \ сумма _ {n} P (A \ cap B_ {n})}

или, альтернативно,

{\ Displaystyle P (A) = \ сумма _ {n} P (A \ mid B_ {n}) P (B_ {n}),}

где, для любого, для которого эти члены просто исключены из суммирования, потому что является конечным. ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle P (B_ {n}) = 0}$ ${\ displaystyle P (A \ mid B_ {n})}$

Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное , и, следовательно, предельную вероятность иногда называют «средней вероятностью»; «общая вероятность» иногда используется в менее формальных текстах. ${\ Displaystyle P (A)}$

Закон полной вероятности также может быть сформулирован для условных вероятностей.

{\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ sum _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n} \ mid C)}

Принимая вышеуказанное и предполагая, что это событие не зависит от любого из : ${\ displaystyle B_ {n}}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$

{\ Displaystyle P (A \ mid C) = \ sum _ {n} P (A \ mid C \ cap B_ {n}) P (B_ {n})}

Неформальная формулировка

Вышеупомянутое математическое утверждение можно интерпретировать следующим образом: учитывая событие с известными условными вероятностями, данное любое из событий, каждое с известной вероятностью, какова общая вероятность того, что произойдет? ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B_ {n}}$ ${\ displaystyle A}$ Ответ на этот вопрос дает . ${\ Displaystyle P (A)}$

Непрерывный случай

Закон полной вероятности распространяется на случай обусловливания событий, генерируемых непрерывными случайными величинами. Позвольте быть вероятностным пространством . Предположим , это случайная величина с функцией распределения , и событие включено . Тогда закон полной вероятности гласит ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) dF_ {X} (x).}$

Если допускает функцию плотности , то результат будет ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle f_ {X}}$

${\ Displaystyle P (A) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (A | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Более того, для конкретного случая, когда , где - борелевское множество, это дает ${\ displaystyle A = \ {Y \ in B \}}$ ${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle P (Y \ in B) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} P (Y \ in B | X = x) f_ {X} (x) dx.}$

Пример

Предположим, что две фабрики поставляют на рынок лампочки . Лампы Factory X работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как лампы Factory Y работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что фабрика X поставляет 60% от общего количества ламп, а Y - 40% от общего количества ламп. Каков шанс, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?

Применяя закон полной вероятности, имеем:

{\ Displaystyle {\ begin {align} P (A) & = P (A \ mid B_ {X}) \ cdot P (B_ {X}) + P (A \ mid B_ {Y}) \ cdot P (B_ {Y}) \\ [4pt] & = {99 \ over 100} \ cdot {6 \ over 10} + {95 \ over 100} \ cdot {4 \ over 10} = {{594 + 380} \ over 1000 } = {974 \ более 1000} \ end {выровнено}}}

куда

${\ Displaystyle P (B_ {X}) = {6 \ более 10}}$ вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена на заводе X ;
${\ Displaystyle P (B_ {Y}) = {4 \ более 10}}$ вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена фабрикой Y ;
${\ displaystyle P (A \ mid B_ {X}) = {99 \ более 100}}$ вероятность того, что лампочка производства X проработает более 5000 часов;
${\ displaystyle P (A \ mid B_ {Y}) = {95 \ более 100}}$ это вероятность того, что лампа производства Y проработает более 5000 часов.

Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет шанс 97,4% проработать более 5000 часов.

Другие имена

Термин « закон полной вероятности» иногда используется для обозначения закона альтернатив , который является частным случаем закона полной вероятности, применяемого к дискретным случайным величинам . Один автор использует терминологию «правила средних условных вероятностей», а другой называет его «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае. Этот результат был назван Гримметом и Уэлшем теоремой о разделении - именем, которое они также дали соответствующему закону полного математического ожидания .

Смотрите также

Примечания

^ ^a ^b Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 31.
^ Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
^ Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для начинающих, для "чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
↑ Джим Питман (1993). Вероятность . Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.
^ Кеннет Baclawski (2008). Введение вероятности с R . CRC Press. п. 179. ISBN. 978-1-4200-6521-3.
^ Вероятность: Введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, теорема 1B.

использованная литература

Введение в вероятность и статистику Роберта Дж. Бивера, Барбары М. Бивер, Томсон Брукс / Коул, 2005 г., стр. 159.
Теория статистики , Марк Дж. Шервиш, Springer, 1995.
Обзор вероятностей Шаума, второе издание , автор: Джон Дж. Шиллер, Сеймур Липшуц, McGraw – Hill Professional, 2010, стр. 89.
Первый курс стохастических моделей , Х. К. Таймс, Джон Вили и сыновья, 2003 г., страницы 431–432.
Промежуточный курс теории вероятностей , Алан Гут, Springer, 1995, страницы 5–6.

[ZK-1] Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 31.

[Pfeiffer1978-2] Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.

[Rumsey2006-3] Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для начинающих, для "чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.

[Pitman1993-4] Джим Питман (1993). Вероятность . Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.

[Baclawski2008-5] Кеннет Baclawski (2008). Введение вероятности с R . CRC Press. п. 179. ISBN. 978-1-4200-6521-3.

[6] Вероятность: Введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, теорема 1B.

Languages

In other projects