График Лавеса - Laves graph

График Лавеса

В геометрии и кристаллографии , то графы Лавеса является бесконечным кубическим симметрическим графом . Его можно встроить в трехмерное пространство с целочисленными координатами, чтобы сформировать структуру с киральной симметрией, в которой три ребра в каждой вершине образуют углы 120 ° друг к другу. Она также может быть определена более абстрактно , как охватывающий граф из полного графа на четыре вершин.

Коксетер  ( +1955 ) назвал этот график после того, как Fritz Лавеса , который первым написал об этом в качестве кристаллической структуры в 1932 г. Он также называется К ₄ кристаллу , (10,3) -a сети , алмаз твин , triamond , и srs net .

Конструкции

Из целочисленной сетки

Регулярно перекос полиэдр , на которую графы Лавеса может быть вписаны

Как описывает Коксетер (1955) , вершины графа Лавеса могут быть определены путем выбора одной из каждых восьми точек трехмерной целочисленной решетки и формирования графа ближайших соседей . В частности, выбираются точки

${\ Displaystyle (0,0,0), \ quad (1,2,3), \ quad (2,3,1), \ quad (3,1,2),}$

${\ Displaystyle (2,2,2), \ quad (3,0,1), \ quad (0,1,3), \ quad (1,3,0),}$

и все другие точки, которые могут быть образованы добавлением к этим координатам числа, кратного четырем. Края Лавеса график соединяют пары точек, евклидово расстояние друг от друга представляет собой квадратный корень из двух , (эти пары отличаются на одну единицу по двум координатам, и одни и те же в третьей координаты). Остальные несмежные пары вершин находятся дальше друг от друга, по крайней мере, на расстоянии друг от друга. Ребра результирующего геометрического графа являются диагоналями подмножества граней правильного косого многогранника с шестью квадратными гранями на вершину, поэтому граф Лавеса вложен в этот косой многогранник. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {6}}}$

Можно чередовать две копии структуры, заполняя одну четвертую точек целочисленной решетки, сохраняя при этом тот факт, что соседние вершины - это в точности пары точек, которые расположены на единицы, а все остальные пары точек находятся дальше отдельно. Две копии являются зеркальным отображением друг друга. ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Как покрывающий граф

В качестве абстрактного графа, граф Лавеса может быть построен как максимальный абелевым накрывающим граф из полного графа . Будучи охватывающими графиками означают , что существует математическая подгруппа из симметрии этого Лавеса графа таким образом, что, когда вершины, которые симметричны друг друг в этой подгруппе собраны вместе в орбиты подгруппы, существует четыре орбиты, и каждая пара орбиты соединены ребрами графа друг с другом. То есть граф, вершины которого являются орбитами, а ребра - смежными парами орбит, является точным . Абелев покрывающий граф означает, что эта подгруппа симметрий является абелевой группой (в данном случае группой, образованной сложением трехмерных целочисленных векторов ), а быть максимальным абелевым накрывающим графом означает, что нет другого покрывающего графа, включающего многомерная абелева группа. Эта конструкция оправдывает одно из альтернативных названий графа Лавеса - кристалл. ${\ displaystyle K_ {4}}$${\ displaystyle K_ {4}}$${\ displaystyle K_ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {3}}$${\ displaystyle K_ {4}}$${\ displaystyle K_ {4}}$

Один из способов построить максимальный абелев покрывающий граф из меньшего графа (в данном случае ) состоит в том, чтобы выбрать остовное дерево из , пусть будет количество ребер, которые не находятся в остовном дереве (в данном случае три ребра, не являющиеся деревом) , и выбрать отличный единичный вектор в каждом из этих не древесных ребер. Затем зафиксируем множество вершин покрывающего графа как упорядоченные пары, где - вершина и - вектор в . Для каждой такой пары и каждого ребра, смежного с in , создайте ребро от до, где равно нулю, если оно принадлежит остовному дереву и в противном случае является базисным вектором, связанным с , и где знак плюс или минус выбирается в соответствии с направлением ребра пройден. Результирующий граф не зависит от выбора остовного дерева, и ту же конструкцию можно интерпретировать более абстрактно, используя теорию гомологии . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle K_ {4}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle d}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle w}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {d}}$${\ displaystyle uv}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (v, w)}$${\ Displaystyle (и, ш \ п \ эпсилон)}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle uv}$${\ displaystyle uv}$

Используя ту же конструкцию, гексагональное замощение плоскости является максимальным абелевым накрывающим графом трехреберного дипольного графа , а ромбовидная кубика является максимальным абелевым накрывающим графом четырехреберного диполя. - Мерная целое число решетка (с ребрами единичной длиной) является максимальной абелева охватывающего графика графа с одной вершиной и сами-петлями . ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$

Характеристики

Граф Лавеса - это кубический граф (в каждой вершине ровно три ребра) и симметричный граф (каждая инцидентная пара вершины и ребра может быть преобразована в любую другую такую ​​пару посредством симметрии графа). Обхват этой структуры составляет 10 - самые короткие циклы в графе есть 10 вершин - и 15 из этих циклов проходят через каждую вершину.

Ячейки диаграммы Вороного этой структуры представляют собой гептадекаэдры с 17 гранями в каждой. Это плезиоэдры , многогранники, изоэдрально выложенные плиткой . Эксперименты со структурами, образованными этими многогранниками, привели Алана Шона к открытию минимальной поверхности гироида .

Один из четырех кубических индуцированных подграфов в блоке дистанционного графа на трехмерной целочисленной решетки , имеющий обхват 10 является изоморфной графой Лавеса.

Физические примеры

Молекулярные кристаллы

Расчеты показывают, что график Лавеса может служить образцом для метастабильного или, возможно, нестабильного аллотропа углерода . Подобно графиту , каждый атом в структуре связан с тремя другими атомами, но в графите смежные атомы имеют те же плоскости связи, что и друг друга, тогда как в этой структуре плоскости связи соседних атомов скручены относительно друг друга вокруг линии, образованной связка с углом закручивания примерно 70,5 °.

График Лавеса может также дать кристаллическую структуру бора ; расчеты предсказывают, что это должно быть стабильно. Другие химические вещества, которые могут образовывать эту структуру, включают SrSi ₂ и элементарный азот .

Другой

Структура графика Лавеса и полученных на его основе поверхностей гироидов также наблюдалась экспериментально в системах мыльная вода и в хитиновых сетях чешуек крыльев бабочек .

Рекомендации

Внешние ссылки

• Баэз, Джон (14 октября 2016 г.), «График Лавеса» , Visual Insight , Американское математическое общество CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )