Алмазный кубический - Diamond cubic
Алмаз кубическая кристаллическая структура представляет собой повторяющийся узор из 8 атомов , что некоторые материалы могут принимать как они затвердевают. Хотя первым известным примером был алмаз , другие элементы в группе 14 также принимают эту структуру, включая α-олово , полупроводники кремний и германий и сплавы кремний-германий в любом соотношении. Существуют также кристаллы, такие как высокотемпературная форма кристобалита , которые имеют аналогичную структуру, с одним типом атома (например, кремний в кристобалите) в положениях атомов углерода в алмазе, но с другим типом атома (например, кислород) на полпути между ними (см. Категория: Минералы в космической группе 227 ).
Хотя ее часто называют алмазной решеткой , эта структура не является решеткой в техническом смысле этого слова, используемого в математике.
Кристаллографическая структура
Кубическая структура Алмаза находится в пространственной группе Fd 3 m (пространственная группа 227), которая следует за гранецентрированной кубической решеткой Браве . Решетка описывает повторяющийся узор; для кубических кристаллов алмаза эта решетка «украшена» мотивом из двух тетраэдрически связанных атомов в каждой примитивной ячейке , разделенных 1/4ширины элементарной ячейки в каждом измерении. Алмазную решетку можно рассматривать как пару пересекающихся гранецентрированных кубических решеток, каждая из которых разделена1/4ширины элементарной ячейки в каждом измерении. Многие сложные полупроводники, такие как арсенид галлия , β- карбид кремния и антимонид индия, используют аналогичную структуру цинковой обманки , где каждый атом имеет ближайших соседей из непохожего элемента. Пространственная группа цинковой обманки - F 4 3m, но многие ее структурные свойства очень похожи на структуру алмаза.
Атомный фактор упаковки алмаза кубической структуры (доля пространства , которое должно быть заполнено сферами, которые сосредоточены на вершинах структуры и являются столь же большим , насколько это возможно без перекрытия) являетсяπ √ 3/16≈ 0,34, что значительно меньше (что указывает на менее плотную структуру), чем факторы упаковки для гранецентрированной и объемноцентрированной кубических решеток . Структуры из цинковой обманки имеют более высокий коэффициент упаковки, чем 0,34, в зависимости от относительных размеров двух составляющих их атомов.
Расстояния до первого, второго, третьего, четвертого и пятого ближайших соседей в единицах постоянной кубической решетки равны √ 3/4, √ 2/2, √ 11/4, 1 и √ 19/4, соответственно.
Математическая структура
Математически точкам алмазной кубической структуры могут быть заданы координаты как подмножество трехмерной целочисленной решетки с использованием кубической элементарной ячейки размером четыре единицы в поперечнике. При этих координатах точки конструкции имеют координаты ( x , y , z ), удовлетворяющие уравнениям
- x = y = z (mod 2) и
- x + y + z = 0 или 1 (по модулю 4).
Есть восемь точек (по модулю 4), которые удовлетворяют этим условиям:
- (0,0,0), (0,2,2), (2,0,2), (2,2,0),
- (3,3,3), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3)
Все остальные точки в структуре могут быть получены путем добавления кратных четырех к координатам x , y и z этих восьми точек. Соседние точки в этой структуре находятся на расстоянии √ 3 друг от друга в целочисленной решетке; ребра ромбовидной структуры лежат по диагоналям тела кубов целочисленной сетки. Эта структура может быть расширена до кубической элементарной ячейки , что некоторое число а , единиц по умножению всех координат по а/4.
В качестве альтернативы, каждая точка алмазной кубической структуры может быть задана четырехмерными целочисленными координатами, сумма которых равна нулю или единице. Две точки в структуре алмаза являются смежными тогда и только тогда, когда их четырехмерные координаты отличаются на единицу в одной координате. Общая разница в значениях координат между любыми двумя точками (их четырехмерное манхэттенское расстояние ) дает количество ребер на кратчайшем пути между ними в ромбовидной структуре. Четыре ближайших соседа каждой точки могут быть получены в этой системе координат путем добавления единицы к каждой из четырех координат или путем вычитания единицы из каждой из четырех координат, соответственно, поскольку сумма координат равна нулю или единице. Эти четырехмерные координаты могут быть преобразованы в трехмерные координаты по формуле
- ( a , b , c , d ) → ( a + b - c - d , a - b + c - d , - a + b + c - d ).
Поскольку структура алмаза образует сохраняющее расстояние подмножество четырехмерной целочисленной решетки, это частичный куб .
Еще одна координация алмазного куба включает удаление некоторых ребер из трехмерного сеточного графа. В этой координатизации, которая имеет искаженную геометрию по сравнению со стандартной кубической структурой алмаза, но имеет ту же топологическую структуру, вершины алмазного кубика представлены всеми возможными точками трехмерной сетки, а края алмазного кубика представлены подмножеством Края 3D сетки.
Алмазный кубик иногда называют «решеткой алмаза», но математически это не решетка : не существует трансляционной симметрии, которая переводит точку (0,0,0) в точку (3,3,3), например . Тем не менее, это все еще очень симметричная структура: любая пара падающей вершины и ребер может быть преобразована в любую другую пару падающей на конгруэнцию в евклидове пространства . Более того, кристалл алмаза как космическая сетка обладает сильным изотропным свойством. А именно, для любых двух вершин x и y кристаллической сети и для любого порядка ребер, смежных с x, и любого порядка ребер, смежных с y , существует сохраняющее сеть сравнение, переводящее x в y и каждое x- ребро к упорядоченному так же y- образному краю. Другой (гипотетический) кристалл с этим свойством - граф Лавеса (также называемый кристаллом K 4 , (10,3) -a или алмазным двойником).
Механические свойства
Прочность на сжатие и твердость алмаза и различных других материалов, таких как нитрид бора (который имеет тесно связанную структуру цинковой обманки ), приписываются кубической структуре алмаза.
Точно так же системы ферм , которые следуют геометрии ромбовидного куба, обладают высокой способностью противостоять сжатию за счет минимизации свободной длины отдельных стоек . Алмазная кубическая геометрия также рассматривалась с целью обеспечения жесткости конструкции, хотя конструкции, состоящие из скелетных треугольников , такие как ферма с октетами , оказались более эффективными для этой цели.
Смотрите также
- Аллотропы углерода - материалы, сделанные только из углерода
- Кристаллография - научное исследование кристаллической структуры
- График Лавеса
- Усеченные четырехгранные соты Triakis
использованная литература
внешние ссылки
-
СМИ, связанные с алмазным кубиком на Викискладе? - Программа для построения случайных блужданий по кубической решетке алмаза с самоизбеганием
